8.4 Binomialkoeffisienter og Pascals trekant | Matematikk R1

Pascals trekant, binomialkoeffisienter og binomisk teorem.

50 min

21 oppgaver

Pascals trekantBinomialkoeffisienterBinomisk teoremSymmetri

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.3Kombinasjoner

Betinget sannsynlighet

Ofte endres sannsynligheten for en hendelse når vi får ny informasjon. Dersom du vet at en terning viser et partall, er sannsynligheten for en sekser ikke lenger $\displaystyle \frac{1}{6}$ , men $\displaystyle \frac{1}{3}$ .

Betinget sannsynlighet formaliserer dette: «Hva er sannsynligheten for $A$ , gitt at $B$ har inntruffet?»

Betinget sannsynlighet

A

✏️Eksempel 1: Betinget sannsynlighet med terning

Du kaster en terning. La $A$ = «viser $6$ » og $B$ = «viser partall». Finn $P(A \mid B)$ .

Løsning:

$\displaystyle P(A \cap B) = P(\text{viser } 6) = \frac{1}{6}$ (terning som viser $6$ er også partall)

$\displaystyle P(B) = P(\text{partall}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$

Gitt at terningen viser partall ( $2$ , $4$ eller $6$ ), er det $1$ av $3$ muligheter som gir $6$ .

📝Oppgave 1

Du trekker ett kort fra en kortstokk med $52$ kort. La $A$ = «kortet er en dame» og $B$ = «kortet er et bildekort (knekt, dame, konge)». Finn $P(A \mid B)$ .

📝Oppgave 2

I en undersøkelse blant $200$ elever fant man:
- $120$ liker fotball
- $80$ liker håndball
- $40$ liker begge deler

En tilfeldig elev velges. Finn:
a) $P(\text{fotball} \mid \text{håndball})$
b) $P(\text{håndball} \mid \text{fotball})$

📜Produktsetningen (multiplikasjonsregelen)

Fra definisjonen av betinget sannsynlighet følger produktsetningen:

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

For tre hendelser:

$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A \cap B)$

Bruk: Produktsetningen er spesielt nyttig ved trekning uten tilbakelegging.

✏️Eksempel 2: Trekning uten tilbakelegging

En eske inneholder $8$ røde og $4$ blå kuler. Du trekker $2$ kuler uten tilbakelegging. Finn sannsynligheten for at begge er røde.

Løsning:

La $R_1$ = «første kule er rød» og $R_2$ = «andre kule er rød».

$\displaystyle P(R_1) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$\displaystyle P(R_2 \mid R_1) = \frac{7}{11}$ (etter at én rød er fjernet: $7$ røde av $11$ kuler)

$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2 \mid R_1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} = \frac{14}{33} \approx 0{,}424$

📝Oppgave 3

En eske inneholder $6$ hvite og $4$ svarte kuler. Du trekker $3$ kuler uten tilbakelegging. Finn sannsynligheten for at alle tre er hvite.

Uavhengige hendelser

A

Vanlig feil: Disjunkt vs. uavhengig

Mange blander sammen disjunkthet og uavhengighet:

- Disjunkte hendelser: $P(A \cap B) = 0$ . Når $A$ skjer, kan ikke $B$ skje.
- Uavhengige hendelser: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . At $A$ skjer påvirker ikke sjansen for $B$ .

Eksempel: Kast av to terninger. $A$ = «terning 1 viser $6$ » og $B$ = «terning 2 viser $6$ » er uavhengige, men ikke disjunkte (begge kan skje samtidig).

📝Oppgave 4

En terning kastes og en mynt slås. La $A$ = «terningen viser $5$ » og $B$ = «mynten viser krone». Er $A$ og $B$ uavhengige? Finn $P(A \cap B)$ .

📝Oppgave 5

To terninger kastes. La $A$ = «summen er $7$ » og $B$ = «terning 1 viser $3$ ».
a) Finn $P(A)$ , $P(B)$ og $P(A \cap B)$ .
b) Er $A$ og $B$ uavhengige?

📝Oppgave 6

Sannsynligheten for at en maskin produserer en defekt del er $0{,}02$ . Tre deler produseres uavhengig av hverandre. Finn sannsynligheten for at minst én er defekt.

📜Totalsetningen (loven om total sannsynlighet)

B_1, B_2, \ldots, B_n

være en partisjon av utfallsrommet (gjensidig utelukkende hendelser som til sammen dekker

\Omega

). Da gjelder for enhver hendelse

A

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$

Spesialtilfelle med to alternativer ( $B$ og $B^c$ ):

$P(A) = P(B) \cdot P(A \mid B) + P(B^c) \cdot P(A \mid B^c)$

✏️Eksempel 3: Totalsetningen

En fabrikk har to maskiner. Maskin I produserer $60\%$ av delene, maskin II produserer $40\%$ . Andelen defekte deler er $3\%$ fra maskin I og $5\%$ fra maskin II. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt del er defekt.

Løsning:

La $D$ = «defekt», $M_1$ = «fra maskin I», $M_2$ = «fra maskin II».

$P(M_1) = 0{,}60$ , $P(M_2) = 0{,}40$
$P(D \mid M_1) = 0{,}03$ , $P(D \mid M_2) = 0{,}05$

Totalsetningen:
$P(D) = P(M_1) \cdot P(D \mid M_1) + P(M_2) \cdot P(D \mid M_2)$
$= 0{,}60 \cdot 0{,}03 + 0{,}40 \cdot 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}020 = 0{,}038$

Sannsynligheten for en defekt del er $3{,}8\%$ .

📝Oppgave 7

En butikk får varer fra tre leverandører: A ( $50\%$ ), B ( $30\%$ ), C ( $20\%$ ). Andelen defekte varer er: A: $2\%$ , B: $4\%$ , C: $5\%$ . Finn sannsynligheten for at en tilfeldig vare er defekt.

📝Oppgave 8

En eske har $3$ røde og $2$ blå kuler. Du trekker to kuler uten tilbakelegging. Bruk valgtre og produktsetningen til å finne:
a) $P(\text{begge røde})$
b) $P(\text{ulik farge})$
c) $P(\text{andre kule er rød})$

📝Oppgave 9

To mynter kastes. La $A$ = «begge viser krone» og $B$ = «minst én viser krone». Finn $P(A \mid B)$ .

📝Oppgave 10

P(A) = 0{,}4

P(B) = 0{,}5

P(A \cup B) = 0{,}7

. Finn:
a)

P(A \cap B)

P(A \mid B)

c) Er

A

B

uavhengige?

📝Oppgave 11

Et forsikringsselskap deler kundene i tre risikokategorier: lav ( $50\%$ ), middels ( $35\%$ ) og høy ( $15\%$ ). Sannsynligheten for skademelding i løpet av et år er henholdsvis $2\%$ , $5\%$ og $12\%$ . En kunde melder skade. Finn sannsynligheten for at kunden tilhører høyrisikogruppen.

📝Oppgave 12

To hendelser $A$ og $B$ oppfyller $P(A) = 0{,}3$ og $P(B \mid A) = 0{,}6$ . Finn $P(A \cap B)$ .

📝Oppgave 13

Du har to esker:
- Eske 1: $4$ røde og $6$ blå kuler
- Eske 2: $7$ røde og $3$ blå kuler

Du kaster en mynt. Ved krone trekker du fra eske 1, ved mynt fra eske 2. Kulen du trekker er rød. Finn sannsynligheten for at den ble trukket fra eske 1.

📝Oppgave 14

Vis at dersom $A$ og $B$ er uavhengige, så er $A$ og $B^c$ også uavhengige.

📝Oppgave 15

Et system består av to komponenter i serie (begge må virke). Komponent 1 virker med sannsynlighet $0{,}95$ og komponent 2 med sannsynlighet $0{,}90$ . Komponentene er uavhengige. Finn sannsynligheten for at systemet virker.

📝Oppgave 16

Et system består av to komponenter i parallell (minst én må virke). Komponent 1 virker med sannsynlighet $0{,}95$ og komponent 2 med sannsynlighet $0{,}90$ . Komponentene er uavhengige. Finn sannsynligheten for at systemet virker.

Oppsummering

Betinget sannsynlighet: $\displaystyle P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Produktsetningen: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Uavhengige hendelser: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ -- det å vite om $B$ endrer ikke sannsynligheten for $A$ .

Totalsetningen: $P(A) = \sum P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ -- nyttig for å «dele opp» en beregning.

Huskeregel: Disjunkthet og uavhengighet er ikke det samme!

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.