8.3 Kombinasjoner | Matematikk R1

Uordnede utvalg og binomialkoeffisienter.

50 min

20 oppgaver

KombinasjonerBinomialkoeffisientUordnede utvalgn over k

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.2Permutasjoner

Brukes videre i

8.4Binomialkoeffisienter og Pascals trekant

Sannsynlighet -- fra telling til beregning

Sannsynlighet handler om å tallfeste hvor «trolig» noe er. I kombinatorikken lærte vi å telle mulige utfall. Nå bruker vi dette til å beregne sannsynligheter.

Grunnideen er enkel: Dersom alle utfall er like sannsynlige, er sannsynligheten for en hendelse lik forholdet mellom antall gunstige utfall og totalt antall utfall.

Utfallsrom og hendelser

\Omega

📝Oppgave 1

Skriv opp utfallsrommet $\Omega$ og hendelsen $A$ = «summen er $7$ » når du kaster to terninger.

Klassisk sannsynlighet (Laplace)

\Omega

✏️Eksempel 1: Terningkast

Du kaster to terninger. Finn sannsynligheten for at summen er $7$ .

Løsning:

Fra oppgave 1 vet vi at $|\Omega| = 36$ og $|A| = 6$ .

$P(\text{sum} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$

📝Oppgave 2

Du kaster to terninger. Finn sannsynligheten for at summen er minst $10$ .

📝Oppgave 3

Fra en kortstokk med $52$ kort trekkes ett kort tilfeldig. Finn sannsynligheten for å trekke:

et ess

et hjerterkort

hjerter ess

et bildekort (knekt, dame, konge)

Løs oppgaven Tren

📜Komplementsetningen

Komplementet

A^c

(eller

\bar{A}

) til en hendelse

A

er hendelsen «

A

inntreffer ikke».

$P(A^c) = 1 - P(A)$

Nyttig når: Det er lettere å telle utfallene der $A$ ikke inntreffer enn utfallene der $A$ inntreffer.

✏️Eksempel 2: Komplementsetningen

Du kaster $3$ mynter. Finn sannsynligheten for å få minst én mynt med krone.

Løsning:

$|\Omega| = 2^3 = 8$ (hver mynt har $2$ utfall).

La $A$ = «minst én krone». Da er $A^c$ = «ingen krone» = «bare mynt».

$\displaystyle P(A^c) = P(\text{bare mynt}) = \frac{1}{8}$ (bare utfallet MMM)

$P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

📝Oppgave 4

Du kaster en terning $4$ ganger. Finn sannsynligheten for å få minst én sekser.

📜Addisjonssetningen

For to hendelser

A

B

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

der $A \cup B$ betyr « $A$ eller $B$ (eller begge)» og $A \cap B$ betyr « $A$ og $B$ (begge)».

Spesialtilfelle: Dersom $A$ og $B$ er disjunkte ( $A \cap B = \emptyset$ ):
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

✏️Eksempel 3: Addisjonssetningen

Du trekker ett kort fra en kortstokk med $52$ kort. Finn sannsynligheten for å trekke et hjerterkort eller et ess.

Løsning:

La $A$ = hjerter og $B$ = ess.

$\displaystyle P(A) = \frac{13}{52}$ , $\displaystyle \quad P(B) = \frac{4}{52}$ , $\displaystyle \quad P(A \cap B) = \frac{1}{52}$ (hjerter ess)

$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

Vi trekker fra $P(A \cap B)$ for å unngå å telle hjerter ess dobbelt.

📝Oppgave 5

I en klasse med $30$ elever spiller $18$ fotball, $14$ håndball, og $8$ spiller begge deler. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev spiller fotball eller håndball.

📝Oppgave 6

En boks inneholder $5$ røde, $3$ blå og $2$ grønne kuler. Du trekker én kule tilfeldig. Finn sannsynligheten for at kulen er rød eller blå.

Sannsynlighet med kombinatorikk

Mange sannsynlighetsproblemer krever at vi teller utfall systematisk med kombinatorikk. Oppskriften er:

1. Bestem utfallsrommet og beregn $|\Omega|$
2. Bestem hendelsen $A$ og beregn $|A|$
3. Bruk $\displaystyle P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

Ofte bruker vi $\binom{n}{r}$ for å telle utfall.

✏️Eksempel 4: Korttrekk

Fra en kortstokk med $52$ kort trekkes $5$ kort. Finn sannsynligheten for at nøyaktig $3$ av dem er hjerter.

Løsning:

$|\Omega| = \binom{52}{5} = 2{\,}598{\,}960$

$|A|$ : Velg $3$ hjerter fra $13$ og $2$ ikke-hjerter fra $39$ :

$|A| = \binom{13}{3} \cdot \binom{39}{2} = 286 \cdot 741 = 211{\,}926$

$P(A) = \frac{211{\,}926}{2{\,}598{\,}960} \approx 0{,}0815$

📝Oppgave 7

En komité med $5$ personer velges fra en gruppe med $8$ menn og $6$ kvinner. Finn sannsynligheten for at komitéen har nøyaktig $3$ menn og $2$ kvinner.

📝Oppgave 8

I en boks ligger $10$ kuler nummerert $1$ -- $10$ . Du trekker $3$ kuler tilfeldig (uten tilbakelegging). Finn sannsynligheten for at alle tre kulene har partall.

📝Oppgave 9

6

personer setter seg tilfeldig rundt et rundt bord. Finn sannsynligheten for at to bestemte personer (Per og Kari) sitter ved siden av hverandre.

📝Oppgave 10

Du kaster en mynt $5$ ganger. Finn sannsynligheten for å få nøyaktig $3$ krone.

📝Oppgave 11

I en gruppe på $20$ personer er $5$ venstrehendte. Du velger $4$ personer tilfeldig. Finn sannsynligheten for at minst én er venstrehendt.

📝Oppgave 12

I en klasse på $25$ elever har $7$ fødselsdag i januar. Tre tilfeldige elever trekkes ut til å holde presentasjon. Finn sannsynligheten for at:

a) Alle tre har fødselsdag i januar.
b) Ingen av de tre har fødselsdag i januar.
c) Nøyaktig én har fødselsdag i januar.

📝Oppgave 13

I Lotto trekkes $7$ tall fra $1$ -- $34$ . Finn sannsynligheten for å få nøyaktig $4$ riktige dersom du har levert én rekke.

📝Oppgave 14

To terninger kastes. La $A$ = «summen er $8$ » og $B$ = «begge viser partall». Finn $P(A)$ , $P(B)$ , $P(A \cap B)$ og $P(A \cup B)$ .

📝Oppgave 15

Fødselsdagsproblemet: I en gruppe på

n

personer, hva er sannsynligheten for at minst to har fødselsdag på samme dag? (Anta

365

dager, alle like sannsynlige.)

a) Sett opp uttrykket for $P(\text{alle forskjellige})$ .
b) Beregn sannsynligheten for at minst to deler fødselsdag når $n = 23$ .

Oppsummering

Utfallsrom $\Omega$ : Mengden av alle mulige utfall.

Klassisk sannsynlighet: $\displaystyle P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ (alle utfall like sannsynlige).

Komplementsetningen: $P(A^c) = 1 - P(A)$ -- spesielt nyttig for «minst én»-problemer.

Addisjonssetningen: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Sannsynlighet med kombinatorikk: Bruk $\binom{n}{r}$ til å telle gunstige og totale utfall systematisk.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.