8.3 Kombinasjoner

Å sette tall på det usikre

«Det er nok femti-femti.» «Sjansen er liten.» «Det skjer garantert.» Vi snakker om usikkerhet hele tiden – men upresist. Sannsynlighetsregningen gjør det presist: den setter et tall mellom $0$ og $1$ på hvor trolig noe er, der $0$ betyr umulig og $1$ betyr sikkert.

Og her kommer gevinsten fra kombinatorikken du nettopp har lært: Når alle utfall er like sannsynlige, er sannsynligheten rett og slett et telleforhold – antall gunstige utfall delt på antall mulige. Kast en terning: seks mulige utfall, tre av dem er partall, så sannsynligheten for partall er $\displaystyle \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Å regne sannsynlighet blir å telle, og telle kan du nå.

I dette kapittelet bygger vi det formelle fundamentet: utfallsrom og hendelser, den klassiske sannsynlighetsdefinisjonen, og to regneregler du kommer til å bruke konstant – komplementsetningen og addisjonssetningen.

Utfallsrom, hendelser og klassisk sannsynlighet

Først litt vokabular. Et stokastisk forsøk er et forsøk med usikkert utfall – et terningkast, et korttrekk, et lottotrekk. Utfallsrommet $\Omega$ er mengden av alle mulige utfall; for ett terningkast er $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. En hendelse $A$ er en delmengde av utfallsrommet – «å kaste partall» er hendelsen $A = \{2, 4, 6\}$. Vi skriver $|\Omega|$ for antall mulige utfall og $|A|$ for antall gunstige.

Når alle utfallene er like sannsynlige, gjelder den klassiske sannsynlighetsdefinisjonen (Laplace):

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{totalt antall utfall}}$$

Sannsynligheter ligger alltid mellom $0$ og $1$: $P(A) = 0$ betyr at hendelsen er umulig, $P(A) = 1$ at den er sikker.

La oss kaste to terninger og spørre: hva er sannsynligheten for at summen blir $7$? Utfallsrommet består av alle par $(første, andre)$ – det er $6 \cdot 6 = 36$ like sannsynlige utfall (multiplikasjonsprinsippet!). De gunstige er $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ – seks stykker. Altså $\displaystyle P(\text{sum} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Merk forutsetningen «like sannsynlige»: den er avgjørende. Summene $2$ til $12$ er for eksempel ikke like sannsynlige – det finnes seks veier til sum $7$, men bare én til sum $2$. Velg alltid et utfallsrom der symmetrien garanterer like sannsynlige utfall.

Komplement og addisjon – to uunnværlige regler

Noen hendelser er lettere å telle bakvendt. Kast tre mynter: hva er sannsynligheten for minst én krone? Å telle alle utfallene med én, to eller tre kroner er mulig, men tungvint. Snu heller på det: motsatsen til «minst én krone» er «ingen krone» – og den hendelsen har bare ett utfall (mynt-mynt-mynt) av $2^3 = 8$ mulige. Komplementsetningen sier at for komplementet $A^c$ («$A$ inntreffer ikke») gjelder

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

Dermed: $\displaystyle P(\text{minst én krone}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$. Hver gang du ser ordene «minst én», bør komplementet være din første tanke.

Den andre regelen håndterer «eller». For to hendelser $A$ og $B$ gjelder addisjonssetningen:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

der $A \cup B$ betyr «$A$ eller $B$ (eller begge)» og $A \cap B$ betyr «både $A$ og $B$». Hvorfor minusleddet? Trekk et kort og spør: hjerter eller ess? $\displaystyle P(\text{hjerter}) = \frac{13}{52}$ og $\displaystyle P(\text{ess}) = \frac{4}{52}$ – men hjerter ess ligger i begge bunkene og ville blitt telt dobbelt. Vi trekker fra $\displaystyle P(A \cap B) = \frac{1}{52}$:

$$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$

Bare når $A$ og $B$ er disjunkte – uten felles utfall – forenkler regelen seg til ren addisjon $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Når kombinatorikken tar over tellingen

For terninger og mynter kan vi telle på fingrene. Men hva med dette: du trekker 5 kort fra en kortstokk – hva er sannsynligheten for nøyaktig 3 hjerter? Nå er det millioner av utfall, og det er her verktøyene fra kapittel 8.2 kommer inn. Oppskriften er alltid den samme: bestem utfallsrommet og regn ut $|\Omega|$, tell de gunstige utfallene $|A|$, og del.

Utfallsrommet er alle femkorts-hender: $|\Omega| = \binom{52}{5} = 2\,598\,960$.

De gunstige hendene har nøyaktig 3 hjerter og 2 ikke-hjerter. Her bruker vi multiplikasjonsprinsippet på to kombinasjoner: velg 3 av de 13 hjerterkortene og 2 av de 39 andre kortene:

$$|A| = \binom{13}{3} \cdot \binom{39}{2} = 286 \cdot 741 = 211\,926$$

Dermed blir sannsynligheten

$$P(A) = \frac{211\,926}{2\,598\,960} \approx 0{,}0815$$

– litt over 8 prosent. Legg merke til strukturen i telleren: den typen «velg $k$ av suksessene og resten av de andre»-uttrykk kommer du til å se igjen mange ganger, blant annet i den hypergeometriske fordelingen senere i kapittelet. Sannsynlighetsregning på dette nivået er nitti prosent ryddig telling – og ti prosent å huske å dele på riktig totalantall.

Oppsummering: sannsynlighet er telling med fornuft

Vi har gjort usikkerhet til matematikk. Et stokastisk forsøk har et utfallsrom $\Omega$ av mulige utfall, en hendelse $A$ er en delmengde av det, og når alle utfallene er like sannsynlige, gjelder den klassiske definisjonen $\displaystyle P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ – med verdier som alltid ligger mellom $0$ (umulig) og $1$ (sikkert).

To regneregler gjør livet enklere. Komplementsetningen $P(A^c) = 1 - P(A)$ er snarveien for «minst én»-spørsmål: tell den enkle motsatsen i stedet. Addisjonssetningen $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ håndterer «eller»-spørsmål, der minusleddet hindrer dobbelttelling av utfallene i snittet – og forsvinner helt når hendelsene er disjunkte.

Og når utfallsrommene blir store, overtar kombinatorikken: binomialkoeffisientene teller både totalen ($\binom{52}{5}$ pokerhender) og de gunstige ($\binom{13}{3}\binom{39}{2}$ hender med tre hjerter). I neste kapittel skrur vi opp vanskelighetsgraden med spørsmålet som forandrer alt: hva skjer med sannsynligheten når du får ny informasjon?