8.4 Binomialkoeffisienter og Pascals trekant

Informasjon forandrer alt

En venn kaster en terning bak ryggen din og sier: «Det ble et partall.» Hva er nå sannsynligheten for at det er en sekser? Før beskjeden var svaret $\displaystyle \frac{1}{6}$. Men nå vet du noe: utfallet er $2$, $4$ eller $6$. Tre muligheter, én av dem er seks – sannsynligheten har hoppet til $\displaystyle \frac{1}{3}$.

Dette er kjernen i betinget sannsynlighet: ny informasjon krymper utfallsrommet, og sannsynlighetene må beregnes på nytt innenfor det som er igjen. Spørsmålet «hva er sannsynligheten for $A$, gitt at $B$ har inntruffet?» skrives $P(A \mid B)$, og det er kanskje det viktigste enkeltbegrepet i hele sannsynlighetslæren – det ligger under alt fra medisinske tester til spamfiltre.

I dette kapittelet lærer du definisjonen, produktsetningen for «både-og»-sannsynligheter, det presise skillet mellom uavhengige og disjunkte hendelser (som altfor mange blander sammen), og totalsetningen – verktøyet for å regne seg gjennom oppdelte situasjoner.

Betinget sannsynlighet – det krympede utfallsrommet

Formelt defineres den betingede sannsynligheten for $A$ gitt $B$ som

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$$

Les formelen som et bilde: informasjonen «$B$ har skjedd» innskrenker verden til $B$. Innenfor denne nye, mindre verdenen spør vi hvor stor andel som også tilhører $A$ – altså snittet $A \cap B$ målt i forhold til hele $B$.

Terningeksempelet i formelspråk: La $A$ = «viser 6» og $B$ = «viser partall». Snittet $A \cap B$ er bare utfallet 6, så $\displaystyle P(A \cap B) = \frac{1}{6}$, mens $\displaystyle P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Da blir

$$P(A \mid B) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$$

– akkurat som intuisjonen sa: én gunstig av tre gjenværende muligheter.

Vær nøye med retningen: $P(A \mid B)$ og $P(B \mid A)$ er generelt helt forskjellige tall. Sannsynligheten for at noen er våt gitt at det regner, er ikke den samme som sannsynligheten for at det regner gitt at noen er våt – vedkommende kan jo ha dusjet. Å holde de to retningene fra hverandre er halve kunsten i dette kapittelet, og det er nettopp den forvekslingen Bayes' setning (i kapittel 8.6) er laget for å rydde opp i.

Produktsetningen – sannsynlighet i flere steg

Snur vi definisjonen av betinget sannsynlighet rundt, får vi produktsetningen:

$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$$

Den leses naturlig som en historie i to akter: sannsynligheten for at begge hendelsene skjer, er sannsynligheten for den første ganger sannsynligheten for den andre gitt den første. For tre hendelser fortsetter kjeden: $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A \cap B)$.

Paradegrenen er trekning uten tilbakelegging. En eske inneholder 8 røde og 4 blå kuler, og du trekker to. Hva er sannsynligheten for at begge er røde? Første trekk: $\displaystyle P(R_1) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. Men nå er verden endret – én rød kule er borte. Andre trekk: $\displaystyle P(R_2 \mid R_1) = \frac{7}{11}$. Produktsetningen limer det sammen:

$$P(R_1 \cap R_2) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} = \frac{14}{33} \approx 0{,}424$$

Tenk på det som å vandre nedover et valgtre der grenene er merket med sannsynligheter: du ganger deg nedover langs veien. Hver gren tar hensyn til alt som har skjedd ovenfor – det er nettopp det den betingede sannsynligheten gjør. Dette bildet – tre med sannsynligheter på grenene – er kanskje det nyttigste mentale verktøyet i hele sannsynlighetsregningen, og vi skal bruke det igjen i totalsetningen.

Uavhengighet – og forvekslingen alle gjør

Noen ganger gir informasjon ingen effekt. Vet du at første myntkast ga krone, er sannsynligheten for krone i neste kast fortsatt $\displaystyle \frac{1}{2}$ – mynten har ingen hukommelse. Slike hendelser kalles uavhengige: $P(A \mid B) = P(A)$. Setter vi dette inn i produktsetningen, får vi den ekvivalente og mest brukte betingelsen:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Uavhengighet er en gave når du regner: «både-og»-sannsynligheter blir rene produkter, uten betingede ledd.

Men nå til forvekslingen som feller flest: uavhengig er ikke det samme som disjunkt. Faktisk er det nesten motsatt! Disjunkte hendelser har $A \cap B = \emptyset$, altså $P(A \cap B) = 0$: hvis $A$ skjer, kan $B$ ikke skje. Det er ekstremt sterk avhengighet – informasjonen om $A$ avgjør $B$ fullstendig. Uavhengige hendelser, derimot, kan utmerket godt skje samtidig; poenget er at den ene ikke påvirker sjansen for den andre.

Konkret: Kast to terninger. La $A$ = «terning 1 viser 6» og $B$ = «terning 2 viser 6». Disse er uavhengige – terningene vet ikke om hverandre – men ikke disjunkte, for begge kan vise 6 samtidig: $\displaystyle P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$. Sammenlign med $C$ = «terning 1 viser 6» og $D$ = «terning 1 viser 3»: disse er disjunkte (samme terning kan ikke vise begge), og dermed sterkt avhengige. Memorer eksempelet – det redder deg fra en klassisk eksamensfelle.

Totalsetningen – å regne via oppdeling

Siste verktøy i dette kapittelet løser et vanlig praktisk problem: du vil finne $P(A)$, men sannsynligheten avhenger av hvilken «situasjon» man er i – og du kjenner bare de betingede sannsynlighetene i hver situasjon.

En fabrikk har to maskiner. Maskin I lager 60 % av delene med 3 % defektrate; maskin II lager 40 % med 5 % defektrate. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig del er defekt? Tenk valgtre: først velges maskinen (to grener), deretter avgjøres defekt/ikke (to grener til). Sannsynligheten for «defekt» er summen over de to veiene som ender der:

$$P(D) = P(M_1) \cdot P(D \mid M_1) + P(M_2) \cdot P(D \mid M_2) = 0{,}60 \cdot 0{,}03 + 0{,}40 \cdot 0{,}05 = 0{,}038$$

Altså 3,8 %. Dette er totalsetningen (loven om total sannsynlighet). Generelt: hvis $B_1, B_2, \ldots, B_n$ er en partisjon av utfallsrommet – gjensidig utelukkende hendelser som til sammen dekker alt – gjelder

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$$

Det viktigste spesialtilfellet har bare to alternativer, $B$ og komplementet $B^c$: $P(A) = P(B)P(A \mid B) + P(B^c)P(A \mid B^c)$.

Intuisjonen er et vektet gjennomsnitt: hver situasjon bidrar med sin betingede sannsynlighet, vektet med hvor sannsynlig situasjonen selv er. Totalsetningen er også springbrettet til neste store tema – i kapittel 8.6 snur Bayes' setning regnestykket og spør: gitt at delen var defekt, hvilken maskin kom den fra?

Oppsummering: å regne med det du vet

Ny informasjon krymper utfallsrommet, og betinget sannsynlighet måler verden etter krympingen: $\displaystyle P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Snudd om gir dette produktsetningen $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$ – historien i to akter, perfekt for trekning uten tilbakelegging, der hvert trekk endrer forutsetningene for det neste.

Uavhengige hendelser er de der informasjonen ikke biter: $P(A \mid B) = P(A)$, ekvivalent med $P(A \cap B) = P(A)P(B)$. Og husk det avgjørende skillet: disjunkte hendelser er ikke uavhengige – de er ekstremt avhengige, for den ene utelukker den andre. To terninger som begge kan vise seks er uavhengige; én terning som skulle vist både tre og seks er en umulighet.

Totalsetningen $P(A) = \sum P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ lar deg regne ut en totalsannsynlighet ved å dele verden i situasjoner og ta et vektet gjennomsnitt – som fabrikken med to maskiner og 3,8 % samlet defektrate. Med disse verktøyene er du klar for to kraftfulle fortsettelser: binomisk fordeling, og kronjuvelen Bayes' setning.