8.5 Sannsynlighetsmodeller

Det samme forsøket, om og om igjen

Du gjetter på alle tjue flervalgsoppgavene på en prøve. En fabrikk tester femti komponenter fra samlebåndet. En mynt kastes ti ganger. Tre helt ulike situasjoner – men matematisk er de samme historie: et forsøk med to mulige utfall gjentas et fast antall ganger, og vi teller hvor mange ganger det «lykkes».

For akkurat denne historien finnes en skreddersydd modell: den binomiske fordelingen. Den gir deg sannsynligheten for nøyaktig $k$ suksesser i $n$ forsøk, og den bygger på nettopp de byggesteinene du nå behersker: binomialkoeffisienter for å telle plasseringer, og uavhengighet for å multiplisere sannsynligheter.

I dette kapittelet lærer du å kjenne igjen et binomisk forsøk (fire krav!), å bruke formelen $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, og å beskrive fordelingen med forventningsverdi og standardavvik – hva du bør vente deg, og hvor mye resultatet typisk slingrer.

Hva er et binomisk forsøk?

Modellen krever fire ting, og alle fire må sjekkes før du bruker den. For det første: forsøket gjentas et fast antall ganger, $n$. For det andre: hvert delforsøk har nøyaktig to utfall – vi kaller dem suksess og fiasko, uansett om «suksess» betyr krone, defekt komponent eller riktig svar. For det tredje: sannsynligheten for suksess er den samme i hvert delforsøk, $P(S) = p$. Og for det fjerde: delforsøkene er uavhengige – utfallet av ett påvirker ikke de andre.

Når alt dette holder, er den stokastiske variabelen $X$ = «antall suksesser» binomisk fordelt med parametere $n$ og $p$, og vi skriver $X \sim \text{Bin}(n, p)$.

Eksemplene fra innledningen passer som hånd i hanske: myntkast ti ganger gir $\text{Bin}(10, 0{,}5)$; femti komponenter med 3 % feilrate gir $\text{Bin}(50, 0{,}03)$; tjue flervalgsoppgaver med fire alternativer og ren gjetting gir $\text{Bin}(20, 0{,}25)$.

Men vær på vakt for situasjoner som ligner uten å kvalifisere. Trekker du kort fra en stokk uten å legge tilbake, endres sannsynligheten for hvert trekk – kravet om konstant $p$ ryker, og dermed også uavhengigheten. Da er det en annen fordeling som gjelder (den hypergeometriske, som du møter i kapittel 8.7). Sjekklisten «fast $n$, to utfall, konstant $p$, uavhengighet» er ikke pedanteri – den er forskjellen på riktig og galt svar.

Formelen – telling ganger sannsynlighet

Hvorfor ser formelen ut som den gjør? La oss bygge den. Du kaster en mynt 8 ganger og vil ha nøyaktig 5 krone. Én bestemt rekkefølge – si KKKKKMMM – har sannsynlighet $0{,}5^5 \cdot 0{,}5^3$ ved uavhengighet: fem kronesannsynligheter og tre myntsannsynligheter multiplisert. Men suksessene kan plasseres blant de åtte kastene på mange måter – nøyaktig $\binom{8}{5} = 56$ måter, det er jo kombinasjonstelling! Hver plassering har samme sannsynlighet, så vi ganger opp.

Det generelle resultatet for $X \sim \text{Bin}(n, p)$:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$

Les den som tre faktorer med hver sin jobb: $\binom{n}{k}$ teller hvor suksessene kan stå, $p^k$ er prisen for $k$ suksesser, og $(1-p)^{n-k}$ er prisen for at resten blir fiasko.

Myntregnestykket fullført: $\displaystyle P(X = 5) = \binom{8}{5} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5^3 = 56 \cdot 0{,}5^8 = \frac{56}{256} = \frac{7}{32} \approx 0{,}219$.

Ofte spør oppgaven ikke om «nøyaktig $k$», men om «minst» eller «høyst». Da summerer du – eller smartere: bruker komplementet. $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$ og $P(X > k) = 1 - P(X \leq k)$. Kumulative sannsynligheter $P(X \leq k)$ regnes i praksis med kalkulator eller tabell, men omskrivningene må du holde styr på – det er der poengene sitter.

Forventning og standardavvik – fordelingens tyngdepunkt og slingring

En fordeling er mer enn enkeltsannsynligheter – den har en form. To tall beskriver formen: forventningsverdien sier hvor tyngdepunktet ligger, og standardavviket sier hvor bred fordelingen er. For $X \sim \text{Bin}(n, p)$ er formlene påfallende enkle:

$$\text{E}(X) = np \qquad \text{Var}(X) = np(1-p) \qquad \text{SD}(X) = \sqrt{np(1-p)}$$

Forventningsverdien stemmer med magefølelsen: kaster du mynt 100 ganger, venter du $100 \cdot 0{,}5 = 50$ krone. Gjetter du på 20 firevalgsoppgaver, venter du $20 \cdot 0{,}25 = 5$ riktige.

Et industrielt eksempel: En fabrikk produserer komponenter med 2 % feilrate, og et parti inneholder 200 stykker. Da er $X \sim \text{Bin}(200, 0{,}02)$, med forventet antall defekte $\text{E}(X) = 200 \cdot 0{,}02 = 4$ og standardavvik $\text{SD}(X) = \sqrt{200 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98} = \sqrt{3{,}92} \approx 1{,}98$.

Tolkningen er praktisk gull: i et typisk parti er rundt $4 \pm 2$ komponenter defekte. Finner kvalitetskontrollen 5 defekte, er det helt normalt. Finner de 15 – mer enn fem standardavvik over forventningen – er det et alarmsignal om at noe har endret seg i produksjonen. Forventning forteller hva du skal vente; standardavviket forteller når du bør bli overrasket. Det er denne typen resonnement som gjør binomisk fordeling til et arbeidsverktøy og ikke bare en formel.

Oppsummering: gjentakelsens matematikk

Den binomiske fordelingen er modellen for gjentatte ja/nei-forsøk. Sjekklisten har fire punkter: fast antall forsøk $n$, to utfall per forsøk, konstant suksesssannsynlighet $p$, og uavhengighet. Da er antall suksesser $X \sim \text{Bin}(n, p)$, og sannsynligheten for nøyaktig $k$ suksesser er $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ – en telleterm som plasserer suksessene, ganger sannsynligheten for hver enkelt plassering.

For «minst»- og «høyst»-spørsmål bruker du kumulative sannsynligheter og komplement: $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$. Og fordelingens form fanges av to tall: forventningsverdien $\text{E}(X) = np$ og standardavviket $\text{SD}(X) = \sqrt{np(1-p)}$ – tyngdepunktet og den typiske slingringen rundt det.

Husk også når modellen ikke gjelder: trekning uten tilbakelegging bryter kravene om konstant $p$ og uavhengighet. Hva du gjør da – og hvordan du velger riktig fordeling – er tema for kapittel 8.7. Først skal vi i 8.6 se sannsynlighetsregningen i sitt mest praktiske og overraskende hjørne: Bayes' setning.