7.6 Sinussetningen og cosinussetningen

Tårnet på øya

To landmålere står på hver sin ende av en 200 meter lang strandlinje og sikter mot et tårn på en øy. Ingen av dem kan måle avstanden direkte – det er vann i veien. Men de kan måle vinklene til tårnet. Er det nok til å finne avstanden?

Ja – men ikke med Pytagoras. Pytagoras' setning krever en rett vinkel, og trekanten mellom landmålerne og tårnet har ingen. Til vilkårlige trekanter trenger vi kraftigere verktøy: sinussetningen og cosinussetningen. Sammen med arealsetningen lar de oss «løse» enhver trekant – finne alle sider og vinkler – så lenge vi kjenner nok informasjon.

Vi bruker standardnotasjonen for en trekant $ABC$: siden $a$ er motstående til vinkel $A$, siden $b$ til vinkel $B$, og siden $c$ til vinkel $C$. Underveis møter vi også en felle som har lurt mange: tvetydighetsproblemet, der samme målinger kan beskrive to helt forskjellige trekanter.

Sinussetningen

Sinussetningen sier at i enhver trekant er forholdet mellom en side og sinus til den motstående vinkelen det samme for alle tre par:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Intuisjonen er naturlig: store vinkler «gaper» over store motstående sider, og sinussetningen gjør dette presist. Setningen er verktøyet ditt når du kjenner en side og dens motstående vinkel, pluss én opplysning til – enten en annen vinkel (VVS) eller en annen side (SSV).

La oss løse en trekant. Gitt $A = 40°$, $B = 75°$ og $a = 12$. Først vinkelsummen: $C = 180° - 40° - 75° = 65°$. Så bruker vi sinussetningen for å finne $b$:

$$\frac{12}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 75°} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{12 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} \approx \frac{12 \cdot 0{,}9659}{0{,}6428} \approx 18{,}03$$

Og tilsvarende $\displaystyle c = \frac{12 \cdot \sin 65°}{\sin 40°} \approx 16{,}92$. Hele trekanten er løst med tre målinger som utgangspunkt.

Og landmålerne fra innledningen? De målte $\angle BAC = 63°$ og $\angle ABC = 72°$ med $AB = 200$ m. Vinkelen ved tårnet blir $C = 180° - 63° - 72° = 45°$, og avstanden fra $A$ til tårnet er $\displaystyle b = \frac{200 \cdot \sin 72°}{\sin 45°} \approx 269$ m. Vann i veien? Ikke noe problem.

Tvetydighetsproblemet – når to trekanter passer

Her kommer fellen. Du kjenner to sider og en motstående vinkel (SSV) og bruker sinussetningen til å finne en ny vinkel. Men husk fra likningskapittelet: $\sin B = k$ har to løsninger mellom $0°$ og $180°$ – en spiss vinkel $B$ og den stumpe $180° - B$. Begge kan i noen tilfeller gi en gyldig trekant!

Konkret: i trekant $ABC$ er $a = 8$, $b = 12$ og $A = 30°$. Sinussetningen gir

$$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{12 \cdot 0{,}5}{8} = 0{,}75$$

Det gir $B \approx 48{,}6°$ eller $B \approx 131{,}4°$. Vi sjekker begge mot vinkelsummen. Med $B \approx 48{,}6°$ blir $C \approx 101{,}4°$ – gyldig. Med $B \approx 131{,}4°$ blir $C \approx 18{,}6°$ – også gyldig! Det finnes altså to forskjellige trekanter med nøyaktig disse målene. Oppgaven har to svar, og et fullstendig svar må nevne begge.

Når må du være på vakt? Tenk på den gitte vinkelen $A$ og sidene $a$ (motstående) og $b$. Hvis $A \geq 90°$, er det aldri tvetydighet – en trekant har bare plass til én stump vinkel. Hvis $A < 90°$ men $a \geq b$, er det heller ingen fare – den største siden ligger motsatt den største vinkelen, så $B$ må være mindre enn $A$ og dermed spiss. Faresonen er $A < 90°$ og $a < b$: da må du sjekke om både den spisse og den stumpe kandidaten for $B$ gir en vinkelsum under $180°$.

Cosinussetningen – Pytagoras for alle trekanter

Hva om du kjenner to sider og den mellomliggende vinkelen (SVS), eller alle tre sidene (SSS)? Da har du ikke noe side-vinkel-par, og sinussetningen står fast. Løsningen er cosinussetningen:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Se nøye på den: det er Pytagoras' setning med et korreksjonsledd. Når $C = 90°$, er $\cos C = 0$, og vi får $c^2 = a^2 + b^2$. Er $C$ spiss, trekker leddet fra; er $C$ stump, blir $-2ab\cos C$ positivt og siden lengre. Formelen finnes i tre varianter, én for hver side – mønsteret er alltid «de to andre sidene i annen, minus to ganger produktet ganger cosinus av mellomliggende vinkel».

Eksempel på SVS: $a = 7$, $b = 10$ og $C = 60°$. Da er $c^2 = 49 + 100 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 149 - 70 = 79$, så $c = \sqrt{79} \approx 8{,}89$.

Eksempel på SSS: $a = 5$, $b = 7$, $c = 9$. Vi løser formelen for cosinus:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25 + 49 - 81}{70} = -0{,}1$$

som gir $C = \arccos(-0{,}1) \approx 95{,}7°$. At cosinus ble negativ forteller umiddelbart at vinkelen er stump – logisk nok, siden $c = 9$ er trekantens lengste side. Og i motsetning til sinussetningen er det aldri tvetydighet her: arccos gir en entydig vinkel mellom $0°$ og $180°$.

Arealsetningen og kunsten å velge verktøy

Det siste verktøyet er det enkleste. Kjenner du to sider og den mellomliggende vinkelen, er arealet

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

Logikken: $b\sin C$ er høyden i trekanten når $a$ er grunnlinjen, så formelen er bare «halve grunnlinjen ganger høyden» i forkledning. Med $C = 90°$ blir $\sin C = 1$, og vi får den vanlige formelen $\displaystyle A = \frac{1}{2}ab$. Eksempel: $a = 8$, $b = 11$ og $C = 50°$ gir $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 11 \cdot \sin 50° \approx 44 \cdot 0{,}766 \approx 33{,}7$.

Nå har du tre setninger – men hvilken skal du bruke når? La informasjonen bestemme. Kjenner du to vinkler og en side (VVS): sinussetningen. To sider og motstående vinkel (SSV): sinussetningen, men husk tvetydighetssjekken. To sider og mellomliggende vinkel (SVS): cosinussetningen. Tre sider (SSS): cosinussetningen. Og skal du ha arealet med to sider og mellomliggende vinkel: arealsetningen.

Et godt diagnosespørsmål er: «Har jeg et par av side og motstående vinkel?» Ja – sinussetningen. Nei – cosinussetningen. Disse verktøyene brukes daglig i landmåling, navigasjon, konstruksjon og fysikk – overalt der virkelighetens trekanter nekter å være rettvinklede.

Oppsummering: alle trekanter kan løses

Landmålerne fant avstanden til tårnet uten å krysse vannet – og du har nå verktøyene som gjorde det mulig. Sinussetningen $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ knytter hver side til sin motstående vinkel og brukes i VVS- og SSV-tilfellene. Men i SSV-tilfellet lurer tvetydighetsproblemet: $\sin B = k$ har både en spiss og en stump kandidat, og når den gitte vinkelen er spiss og dens motstående side er kortest, kan begge gi gyldige trekanter – sjekk alltid begge mot vinkelsummen.

Cosinussetningen $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ er Pytagoras med korreksjonsledd og håndterer SVS- og SSS-tilfellene – alltid entydig, siden arccos skiller spisse og stumpe vinkler på fortegnet. Arealsetningen $\displaystyle A = \frac{1}{2}ab\sin C$ gir arealet direkte fra to sider og mellomliggende vinkel.

Og metodevalget koker ned til ett spørsmål: har du et par av side og motstående vinkel? Da bruker du sinussetningen; ellers cosinussetningen. Med disse tre setningene er enhver trekant – på papiret, i terrenget eller til eksamen – innen rekkevidde.