7.3 Trigonometriske likninger

Når bølgen krysser en grense

Tenk deg at vanndybden i en havn følger en sinusfunksjon gjennom døgnet, og at båten din trenger minst tre meter dybde. Spørsmålet «når kan jeg seile inn?» er i bunn og grunn en trigonometrisk likning: du må finne ut når funksjonen passerer en bestemt verdi.

Men her møter du noe nytt. Likningen $x^2 = 4$ har to løsninger. Likningen $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ har uendelig mange – for sinusbølgen krysser høyden $\displaystyle \frac{1}{2}$ to ganger i hver eneste periode, og periodene fortsetter i det uendelige. Strategien blir derfor alltid den samme: finn løsningene i én runde på enhetssirkelen, og legg så til perioden så mange ganger du vil. I dette kapittelet lærer du løsningsformlene for $\sin x = k$, $\cos x = k$ og $\tan x = k$, hvordan du takler sammensatte argumenter som $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3})$, og hvordan du skriver om vanskeligere likninger med substitusjon og identiteter.

Likningen $\sin x = k$

Likningen $\sin x = k$ har bare løsning når $-1 \leq k \leq 1$, siden sinusverdiene aldri forlater dette intervallet. På enhetssirkelen svarer likningen til å tegne den horisontale linja $y = k$ og se hvor den krysser sirkelen – og den krysser i to punkter (så lenge $k \neq \pm 1$): ett i hver ende, symmetrisk om $y$-aksen. Hvis det ene punktet svarer til vinkelen $v$, svarer det andre til $\pi - v$.

Dette gir den generelle løsningsformelen: dersom $\sin v = k$, er

$$x = v + 2n\pi \quad \text{eller} \quad x = \pi - v + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Leddet $2n\pi$ uttrykker at vi kan gå et helt antall runder rundt sirkelen og lande på samme punkt.

La oss løse $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$. Vi kjenner en vinkel som passer: $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, så $\displaystyle v = \frac{\pi}{6}$. Den generelle løsningen blir $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ eller $\displaystyle x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$. Vil du bare ha løsningene i $[0, 2\pi)$, setter du $n = 0$ og får $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$. Legg merke til geometrien: de to løsningene ligger speilsymmetrisk om $y$-aksen, begge med $y$-koordinat $\displaystyle \frac{1}{2}$.

Likningene $\cos x = k$ og $\tan x = k$

For cosinus tegner vi i stedet en vertikal linje $x = k$ på enhetssirkelen. Den krysser sirkelen i to punkter som er speilsymmetriske om $x$-aksen: vinklene $v$ og $-v$. Løsningsformelen blir derfor kompakt:

$$x = \pm v + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

La oss løse $\displaystyle \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vi vet at $\displaystyle \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, men vi trenger negativ cosinus, og det skjer i andre og tredje kvadrant. Vinkelen i andre kvadrant er $\displaystyle v = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Generell løsning: $\displaystyle x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2n\pi$. I $[0, 2\pi)$ gir dette $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$ og $\displaystyle x = 2\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

Tangens er enklest av alle. Siden tangensfunksjonen har periode $\pi$ og tar alle reelle verdier, har $\tan x = k$ alltid løsning, og det er bare én løsningsgren:

$$x = v + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

For eksempel: $\tan x = 1$ gir $\displaystyle v = \frac{\pi}{4}$, altså $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$. I $[0, 2\pi)$ blir løsningene $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$.

Merk forskjellene: sinus og cosinus gir to grener med periode $2\pi$, tangens gir én gren med periode $\pi$. Hold disse tre formlene fra hverandre – de er hele grunnmuren i kapittelet.

Sammensatte argumenter – substitusjon

Hva gjør du med $\displaystyle \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$? Trikset er substitusjon: kall hele argumentet $\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}$, løs den enkle likningen $\displaystyle \sin u = \frac{1}{2}$, og oversett tilbake til $x$ etterpå.

Fra forrige seksjon vet vi at $\displaystyle \sin u = \frac{1}{2}$ gir $\displaystyle u = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ eller $\displaystyle u = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$. Nå setter vi inn igjen. Gren 1: $\displaystyle 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ gir $\displaystyle 2x = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi$, altså $\displaystyle x = -\frac{\pi}{12} + n\pi$. Gren 2: $\displaystyle 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ gir $\displaystyle 2x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$, altså $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$.

Skal vi ha løsningene i $[0, 2\pi)$, må vi prøve flere verdier av $n$ i hver gren. Gren 1: $n = 0$ gir $\displaystyle -\frac{\pi}{12}$ (utenfor), $n = 1$ gir $\displaystyle \frac{11\pi}{12}$, $n = 2$ gir $\displaystyle \frac{23\pi}{12}$. Gren 2: $n = 0$ gir $\displaystyle \frac{\pi}{4}$, $n = 1$ gir $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$. Til sammen fire løsninger: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}, \frac{11\pi}{12}, \frac{5\pi}{4}, \frac{23\pi}{12}$.

Legg merke til hvorfor det ble fire og ikke to: når argumentet inneholder $2x$, svinger funksjonen dobbelt så fort, og perioden i $x$ halveres til $\pi$. Generelt gir faktoren $b$ i argumentet inntil $2|b|$ løsninger i $[0, 2\pi)$ for sinus og cosinus. Glemmer du å sjekke nok verdier av $n$, mister du løsninger – det er den klassiske fellen.

Likninger som må skrives om

Noen likninger ser verre ut enn de er. Ta $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$. Dette er egentlig en andregradslikning i forkledning: sett $t = \cos x$, og du får $2t^2 - t - 1 = 0$, som faktoriseres til $(2t + 1)(t - 1) = 0$. Altså $\displaystyle t = -\frac{1}{2}$ eller $t = 1$. Så oversetter vi tilbake: $\cos x = 1$ gir $x = 0$, og $\displaystyle \cos x = -\frac{1}{2}$ gir $\displaystyle x = \frac{2\pi}{3}$ og $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3}$. Tre løsninger i $[0, 2\pi)$.

Andre ganger blander likningen sinus og cosinus, som i $\sin^2 x + \sin x = \cos^2 x$. Da er den pytagoreiske identiteten redningen: erstatt $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, og alt samler seg om sinus: $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$. Med $t = \sin x$ faktoriserer vi til $(2t - 1)(t + 1) = 0$, så $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ eller $\sin x = -1$. Løsningene i $[0, 2\pi)$ blir $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$, $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2}$.

Én advarsel til slutt, og den er viktig: del aldri på et trigonometrisk uttrykk. Har du $\sin x \cdot (\text{noe}) = 0$ og deler på $\sin x$, kaster du bort alle løsningene der $\sin x = 0$. Flytt heller alt over på én side og faktoriser – da beholder du hver eneste løsning.

Oppsummering: jakten på alle løsningene

Trigonometriske likninger har uendelig mange løsninger fordi funksjonene er periodiske – men vi temmer uendeligheten med faste formler. For $\sin x = k$ (med kjent vinkel $v$ slik at $\sin v = k$) er løsningene $x = v + 2n\pi$ eller $x = \pi - v + 2n\pi$. For $\cos x = k$ er de $x = \pm v + 2n\pi$. For $\tan x = k$ er det bare én gren med kortere periode: $x = v + n\pi$.

Når argumentet er sammensatt, som i $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, setter du $u$ lik hele argumentet, løser for $u$, og oversetter tilbake. Husk å prøve nok verdier av $n$: med faktoren $b$ i argumentet kan det bli inntil $2|b|$ løsninger i $[0, 2\pi)$.

Vanskeligere likninger skrives om: substitusjonen $t = \cos x$ (eller $t = \sin x$) forvandler dem til andregradslikninger, og den pytagoreiske identiteten $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ samler blandede uttrykk på én funksjon. Og den gylne regelen: del aldri på $\sin x$ eller $\cos x$ – faktoriser i stedet, så mister du aldri en løsning.