7.1 Trigonometriske funksjoner og enhetssirkelen

Når trekanten ikke strekker til

Tenk deg at du sitter i et pariserhjul. Gondolen din starter ved bakken, stiger opp, passerer toppen og kommer ned igjen – runde etter runde. Hvis du vil beskrive høyden din som funksjon av vinkelen hjulet har dreid, trenger du sinus og cosinus. Men her dukker det opp et problem: fra ungdomsskolen kjenner du bare sinus og cosinus for spisse vinkler i rettvinklede trekanter, altså vinkler mellom $0°$ og $90°$. Pariserhjulet dreier jo $360°$ – og fortsetter videre!

I dette kapittelet utvider vi definisjonene slik at de gjelder for alle vinkler. Nøkkelen er en av matematikkens mest elegante konstruksjoner: enhetssirkelen – en sirkel med sentrum i origo og radius $1$. Vi skal også bytte til et nytt vinkelmål, radianer, lære eksakte verdier for standardvinklene, og oppdage en sammenheng som binder sinus og cosinus sammen for alltid: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Enhetssirkelen – sinus og cosinus for alle vinkler

Se for deg en peker som starter langs den positive $x$-aksen og roterer mot klokka. Vinkelen $v$ måler hvor langt pekeren har rotert. Pekeren treffer enhetssirkelen i et punkt $P$ – og her kommer den geniale definisjonen: punktet har koordinatene

$$P = (\cos v, \sin v)$$

Cosinus er rett og slett $x$-koordinaten til punktet, og sinus er $y$-koordinaten. Denne definisjonen fungerer for alle reelle verdier av $v$ – også negative vinkler (rotasjon med klokka) og vinkler over $360°$ (flere runder). Tangens defineres som forholdet $\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$, som bare er definert når $\cos v \neq 0$, altså ikke for $v = 90° + n \cdot 180°$.

Koordinatsystemet deler sirkelen inn i fire kvadranter, og fortegnene følger koordinatene. I første kvadrant ($0°$ til $90°$) er både $x$- og $y$-koordinaten positive, så alle tre funksjonene er positive. I andre kvadrant ($90°$ til $180°$) er bare sinus positiv. I tredje kvadrant er bare tangens positiv (minus delt på minus), og i fjerde kvadrant er bare cosinus positiv. En klassisk huskeregel er «Alle Studenter Tar Caffe»: All, Sin, Tan, Cos er positive i henholdsvis kvadrant I, II, III og IV.

La oss prøve dette i praksis. Hva er $\sin 150°$ og $\cos 150°$? Vinkelen $150°$ ligger i andre kvadrant, og referansevinkelen – avstanden til $x$-aksen – er $180° - 150° = 30°$. I andre kvadrant er sinus positiv og cosinus negativ, så $\displaystyle \sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Da blir $\displaystyle \tan 150° = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Radianer – det naturlige vinkelmålet

Grader er en gammel babylonsk oppfinnelse – tallet $360$ ble valgt fordi det er delelig med mange tall. Men i matematikken finnes det et mer naturlig vinkelmål: radianer. Én radian er vinkelen som spenner ut en bue med lengde lik radiusen. Siden omkretsen av en sirkel med radius $r$ er $2\pi r$, tilsvarer en hel omdreining nøyaktig $2\pi$ radianer.

Dermed har vi grunnsammenhengen $\pi \text{ rad} = 180°$. Fra denne kan du regne om begge veier: fra grader til radianer ganger du med $\displaystyle \frac{\pi}{180}$, og fra radianer til grader ganger du med $\displaystyle \frac{180}{\pi}$.

La oss regne om $135°$: vi får $\displaystyle 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$. Og motsatt vei: $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$ radianer blir $\displaystyle \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{5 \cdot 180}{4} = 225°$.

Noen vinkler dukker opp så ofte at du bør kjenne dem igjen umiddelbart: $\displaystyle 30° = \frac{\pi}{6}$, $\displaystyle 45° = \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle 60° = \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle 90° = \frac{\pi}{2}$, $180° = \pi$, $\displaystyle 270° = \frac{3\pi}{2}$ og $360° = 2\pi$. Hvorfor bry seg med radianer? Fordi de forenkler mange formler dramatisk – spesielt når vi skal derivere trigonometriske funksjoner senere i boka. Der gjelder de pene derivasjonsreglene bare i radianer.

Eksakte verdier – verktøykassen du må kunne utenat

For standardvinklene $0$, $\displaystyle \frac{\pi}{6}$, $\displaystyle \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ finnes det eksakte verdier som du må kunne utenat. Heldigvis finnes et vakkert mønster for sinus: verdiene er $\displaystyle \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$ – altså $\displaystyle 0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$. Cosinus har nøyaktig de samme verdiene i motsatt rekkefølge: $\displaystyle 1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, 0$. Tangens får du ved å dele: $\displaystyle 0, \frac{\sqrt{3}}{3}, 1, \sqrt{3}$ og udefinert for $\displaystyle \frac{\pi}{2}$.

Men hva med vinkler utenfor første kvadrant? Da bruker du en to-stegs strategi: finn referansevinkelen (den spisse vinkelen ned til $x$-aksen) og bestem fortegnet ut fra kvadranten.

La oss ta tre eksempler. For $\displaystyle \sin \frac{2\pi}{3}$: vinkelen ligger i andre kvadrant med referansevinkel $\displaystyle \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$, og sinus er positiv der, så $\displaystyle \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. For $\displaystyle \cos \frac{5\pi}{4}$: tredje kvadrant, referansevinkel $\displaystyle \frac{5\pi}{4} - \pi = \frac{\pi}{4}$, og cosinus er negativ der, så $\displaystyle \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. For $\displaystyle \tan \frac{11\pi}{6}$: fjerde kvadrant, referansevinkel $\displaystyle 2\pi - \frac{11\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$, og tangens er negativ der, så $\displaystyle \tan \frac{11\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Den pytagoreiske identiteten

Nå kommer en sammenheng som følger direkte av selve konstruksjonen vår. Punktet $(\cos x, \sin x)$ ligger på enhetssirkelen, og sirkelens likning er $x^2 + y^2 = 1$. Setter vi inn koordinatene, får vi den pytagoreiske identiteten:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Dette gjelder for alle vinkler $x$ – det er Pytagoras' setning forkledd som trigonometri. Identiteten kan skrives om til $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ eller $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, og disse omskrivningene er gull verdt når du skal forenkle trigonometriske uttrykk.

Den lar deg også finne den ene funksjonsverdien når du kjenner den andre. Si at $\displaystyle \sin x = \frac{3}{5}$ og at $x$ ligger i andre kvadrant. Da gir identiteten $\displaystyle \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1$, altså $\displaystyle \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, som gir $\displaystyle \cos x = \pm\frac{4}{5}$. Her må kvadranten avgjøre fortegnet: i andre kvadrant er cosinus negativ, så $\displaystyle \cos x = -\frac{4}{5}$. Til slutt blir $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.

Legg merke til arbeidsflyten: identiteten gir deg størrelsen, kvadranten gir deg fortegnet. Den kombinasjonen kommer du til å bruke igjen og igjen.

Oppsummering: sirkelen som forandret trigonometrien

Vi startet med et pariserhjul og et problem: de gamle trekantdefinisjonene strakk ikke til for vinkler over $90°$. Løsningen var enhetssirkelen, der punktet for vinkelen $v$ har koordinatene $(\cos v, \sin v)$ – cosinus er $x$-koordinaten og sinus er $y$-koordinaten, for alle tenkelige vinkler. Tangens er forholdet $\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$, definert så lenge $\cos v \neq 0$. Fortegnene følger kvadrantene, og huskeregelen «Alle Studenter Tar Caffe» holder orden på dem.

Vi byttet også vinkelmål til radianer, der $\pi$ radianer tilsvarer $180°$, og du regner om med faktorene $\displaystyle \frac{\pi}{180}$ og $\displaystyle \frac{180}{\pi}$. Standardvinklene $0$, $\displaystyle \frac{\pi}{6}$, $\displaystyle \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ har eksakte verdier du må kunne, og for vinkler i andre kvadranter bruker du referansevinkel pluss fortegn fra kvadranten.

Til slutt fant vi den pytagoreiske identiteten $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ – en direkte konsekvens av at punktet ligger på sirkelen. Den lar deg finne cosinus fra sinus (og omvendt), så lenge du lar kvadranten bestemme fortegnet. Disse verktøyene er fundamentet for alt som kommer i de neste kapitlene: grafer, likninger og identiteter.