6.3 Parameterframstilling

Kurven som film, ikke fotografi

Til nå har du beskrevet kurver med likninger som $y = 2x + 3$ eller $x^2 + y^2 = 25$. Slike likninger er som fotografier: de viser hvor kurven ligger, hele kurven på én gang, frosset i tid. Men tenk på en drone som flyr over et jorde, et skip som krysser en fjord, eller en satellitt i bane. Da vil vi ikke bare vite hvor banen ligger – vi vil vite hvor objektet er når. Vi trenger ikke et fotografi, vi trenger en film.

Det er nøyaktig hva parameterframstilling gir oss. I stedet for én likning som binder $x$ og $y$ sammen, lar vi begge koordinatene være funksjoner av en tredje variabel $t$ – parameteren: $x = x(t)$ og $y = y(t)$. For hvert tidspunkt $t$ får vi ett punkt $(x(t), y(t))$, og når $t$ løper, tegner punktet opp kurven – som en lysende prikk som beveger seg over skjermen. Ofte er parameteren bokstavelig talt tiden, men den kan også bare være et hjelpetall som nummererer punktene langs kurven.

Gevinstene er store. Vi kan beskrive kurver som slett ikke er funksjonsgrafer – sirkler og ellipser, for eksempel. Vi kan finne ut når og hvor to bevegelser krysser hverandre. Og med derivasjon kan vi lese av hastighet og fart direkte fra framstillingen. La oss starte med den enkleste filmen av alle: en jevn vandring langs en rett linje.

Linjen som en reise

Hvordan beskriver du en vandring langs en rett linje? Du trenger to opplysninger: hvor du starter, og hvilken retning du går i. Matematisk: et startpunkt $P = (x_0, y_0)$ og en retningsvektor $\vec{v} = [a, b]$. Da er posisjonen etter «$t$ skritt» gitt ved $$\vec{r}(t) = \vec{p} + t \cdot \vec{v}$$ der $\vec{p} = [x_0, y_0]$ er stedvektoren til startpunktet. På komponentform: $x(t) = x_0 + at$ og $y(t) = y_0 + bt$. Ved $t = 0$ står du i startpunktet; for hver enhet $t$ øker, forflytter du deg én hel retningsvektor. Negative $t$-verdier? De gir punktene bakover langs linjen – framstillingen dekker hele linjen, ikke bare en stråle.

La oss lage en konkret reise: linjen gjennom $A = (1, 2)$ og $B = (4, 6)$. Som startpunkt velger vi $A$, og som retningsvektor tar vi $\vec{AB} = [4-1, 6-2] = [3, 4]$. Dermed: $x(t) = 1 + 3t$ og $y(t) = 2 + 4t$. Kontrollen er innebygd: $t = 0$ gir $(1, 2) = A$, og $t = 1$ gir $(4, 6) = B$. Merk at framstillingen ikke er unik – du kunne startet i $B$ eller brukt $[6, 8]$ som retning. Samme linje, annen «kjøreplan».

Og veien tilbake til fotografiet? Vil du ha den vanlige likningen $y = ax + b$, løser du den ene likningen for $t$ og setter inn i den andre. For $x = 1 + 2t$, $y = 3 + 4t$: fra første likning er $\displaystyle t = \frac{x-1}{2}$, og innsatt: $\displaystyle y = 3 + 4 \cdot \frac{x-1}{2} = 3 + 2(x - 1) = 2x + 1$. Rimelighetssjekk: retningsvektoren $[2, 4]$ stiger 4 i $y$ per 2 i $x$, altså stigningstall $\displaystyle \frac{4}{2} = 2$ – akkurat det likningen sier. Parameteren var et stillas; når kurven er bygget, kan det rives.

Kryssende kurs og roterende prikker

Når krysser to reiseruter hverandre? Her lurer en klassisk felle. Tenk på to skip med hver sin kjøreplan: linje 1 med $x = 1 + 2t$, $y = 3 + t$, og linje 2 med $x = 4 + s$, $y = 1 + 2s$. Legg merke til at vi må bruke ulike parameternavn, $t$ og $s$ – de to objektene følger hver sin klokke, og linjene kan godt krysse selv om objektene passerer punktet til ulik «tid». I skjæringspunktet er koordinatene like: $1 + 2t = 4 + s$ og $3 + t = 1 + 2s$. Fra den første: $s = 2t - 3$. Innsatt i den andre: $3 + t = 1 + 2(2t - 3) = 4t - 5$, som gir $3t = 8$, altså $\displaystyle t = \frac{8}{3}$. Da er $\displaystyle x = 1 + \frac{16}{3} = \frac{19}{3}$ og $\displaystyle y = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$ – linjene krysses i $\displaystyle \left(\frac{19}{3}, \frac{17}{3}\right)$.

Parameterframstillingens virkelige triumf kommer likevel for kurver som ikke er grafer til funksjoner. En sirkel stryker med vertikallinjetesten – men som film er den uimotståelig enkel. En sirkel med sentrum $(h, k)$ og radius $r$ er $$x(t) = h + r\cos t, \qquad y(t) = k + r\sin t, \qquad t \in [0, 2\pi)$$ Tenk på $t$ som vinkelen til en roterende viser: $\cos t$ og $\sin t$ leverer rotasjonen, $r$ skalerer, og $(h, k)$ flytter sentrum på plass. For sirkelen med sentrum $(2, 3)$ og radius 4 gir $\displaystyle t = \frac{\pi}{3}$ punktet $\displaystyle x = 2 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 4$, $\displaystyle y = 3 + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 + 2\sqrt{3}$. Avstanden fra sentrum: $\sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16} = 4$ – punktet ligger på sirkelen, som det skal.

Og med én liten vri åpner et helt kurvegalleri seg: bruk ulike radier i de to retningene, $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, og du har en ellipse. For $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ er $a = 3$ og $b = 2$, altså $x = 3\cos t$, $y = 2\sin t$ – og identiteten $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ bekrefter at likningen er oppfylt.

Hastigheten – filmens deriverte

Hvis parameterframstillingen er en film, hva er da den deriverte? Svaret er vakkert: den er hastigheten. Beveger et punkt seg langs $\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]$, er hastighetsvektoren $$\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t) = [x'(t), y'(t)]$$ – vi deriverer hver komponent for seg. Hastighetsvektoren peker alltid i bevegelsesretningen og ligger tangentielt til banen, og dens lengde er farten: $|\vec{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$. (Deriverer du en gang til, får du akselerasjonsvektoren $\vec{a}(t) = \vec{v}\,'(t)$.)

Ta partikkelen med bane $\vec{r}(t) = [1 + 2t, 3 + 4t]$, der $t$ måles i sekunder og posisjon i meter. Derivasjon komponentvis gir $\vec{v}(t) = [2, 4]$ – en konstant vektor, som forteller at partikkelen går i rett linje med jevn hastighet. Farten er $|\vec{v}| = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$ m/s, og etter 3 sekunder er posisjonen $\vec{r}(3) = [7, 15]$.

Mer spennende blir det på en sirkelbane: $\vec{r}(t) = [5\cos t, 5\sin t]$. Nå gir derivasjonen $\vec{v}(t) = [-5\sin t, 5\cos t]$ – en hastighet som hele tiden endrer retning. Og her venter en perle. Regn ut skalarproduktet av posisjon og hastighet: $$\vec{r} \cdot \vec{v} = (5\cos t)(-5\sin t) + (5\sin t)(5\cos t) = -25\cos t \sin t + 25 \sin t \cos t = 0$$ Null – alltid! Hastighetsvektoren står til enhver tid vinkelrett på posisjonsvektoren, altså vinkelrett på radien: den er tangent til sirkelen, akkurat slik en stein i en slynge flyr av gårde langs tangenten i det øyeblikket du slipper. Farten er likevel konstant: $|\vec{v}| = \sqrt{25\sin^2 t + 25\cos^2 t} = 5$. Konstant fart, men stadig skiftende retning – sirkelbevegelsens signatur, fanget i to deriverte komponenter.

Filmen er ferdig klippet

Vi byttet ut fotografiet med film, og kurvene våknet til liv. En parameterframstilling $x = x(t)$, $y = y(t)$ – eller på vektorform $\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]$ – lar punktet $(x(t), y(t))$ tegne kurven mens parameteren $t$ løper, ofte i rollen som tid.

Den rette linjen ble en jevn vandring: $\vec{r}(t) = \vec{p} + t\vec{v}$, med startpunkt og retningsvektor som hele kjøreplanen. Vil du tilbake til den kartesiske likningen, løser du ut $t$ fra den ene likningen og setter inn i den andre. Skal to parameterframstilte linjer krysses, må de få hver sin parameter – $t$ og $s$ – før du setter koordinatene like og løser systemet; de to objektene følger tross alt hver sin klokke.

Så åpnet trigonometrien kurvegalleriet: sirkelen med sentrum $(h, k)$ og radius $r$ er $x = h + r\cos t$, $y = k + r\sin t$, og med ulike «radier» $a$ og $b$ i de to retningene får du ellipsen – kurver ingen funksjonsgraf kan fange. Til slutt kom kronen på verket: derivasjon komponentvis gir hastighetsvektoren $\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)$, tangent til banen, med farten $|\vec{v}(t)|$ som lengde. Den rettlinjede partikkelen hadde konstant $\vec{v} = [2, 4]$; sirkelpartikkelen hadde konstant fart, men evig skiftende retning, med $\vec{v}$ alltid vinkelrett på radien.

Linje, sirkel, bevegelse – tre fortellinger, én notasjon. I kapitlene som kommer, skal nettopp dette språket bære både geometrien til linjer og sirkler og fysikkens problemer om kurs, krefter og kollisjoner.