1.3 Eksponential- og logaritmeligninger | Matematikk R1

Løse eksponentialligninger og logaritmeligninger.

55 min

11 oppgaver

EksponentialligningerLogaritmeligningerLøsningsstrategier

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Potenser og logaritmer

Brukes videre i

5.1Eksponentiell vekst

Eksponentiallikninger

En eksponentiallikning er en likning der den ukjente står i eksponenten. For å løse slike likninger bruker vi logaritmer.

Eksponentiallikning

a^{f(x)} = b

✏️Eksempel 1: Enkle eksponentiallikninger

Løs likningene:

a) $2^x = 16$
b) $3^x = 50$
c) $5^{2x} = 125$

Løsning:

a) $2^x = 16$

Vi ser at $16 = 2^4$ , så $2^x = 2^4$ , altså $x = 4$ .

Alternativt med logaritme: $\displaystyle x = \log_2 16 = \frac{\ln 16}{\ln 2} = 4$

Svar: $x = 4$

b) $3^x = 50$

Her må vi bruke logaritme:
$x = \log_3 50 = \frac{\ln 50}{\ln 3} \approx \frac{3{,}912}{1{,}099} \approx 3{,}56$

Svar: $x \approx 3{,}56$

c) $5^{2x} = 125$

Vi har $125 = 5^3$ , så $5^{2x} = 5^3$
$2x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Svar: $x = 1{,}5$

📝Oppgave 1

Løs eksponentiallikningene.

2^x = 32

3^x = 81

5^x = 20

10^x = 500

4^{x-1} = 16

e^x = 10

Løs oppgaven

✏️Eksempel 2: Likninger med ukjent på begge sider

Løs likningen $2^{x+1} = 5^{x-2}$ .

Løsning:

Vi tar den naturlige logaritmen på begge sider:
$\ln(2^{x+1}) = \ln(5^{x-2})$
$(x+1)\ln 2 = (x-2)\ln 5$

Vi utvider:
$x \ln 2 + \ln 2 = x \ln 5 - 2\ln 5$

Samler $x$ -leddene på én side:
$x \ln 2 - x \ln 5 = -2\ln 5 - \ln 2$
$x(\ln 2 - \ln 5) = -2\ln 5 - \ln 2$
$x = \frac{-2\ln 5 - \ln 2}{\ln 2 - \ln 5} = \frac{2\ln 5 + \ln 2}{\ln 5 - \ln 2}$

Med kalkulator:
$x = \frac{2 \cdot 1{,}609 + 0{,}693}{1{,}609 - 0{,}693} = \frac{3{,}911}{0{,}916} \approx 4{,}27$

Svar: $\displaystyle x = \frac{2\ln 5 + \ln 2}{\ln 5 - \ln 2} \approx 4{,}27$

📝Oppgave 2

Løs eksponentiallikningene.

2 \cdot 3^x = 54

5 \cdot 2^{x+1} = 80

3^{2x} = 7^x

2^{x+3} = 3^{x-1}

Løs oppgaven

Logaritmelikninger

En logaritmelikning er en likning der den ukjente står inne i en logaritme. Vi løser slike likninger ved å bruke definisjonen av logaritme.

Logaritmelikning

\log_a(f(x))

✏️Eksempel 3: Logaritmelikninger

Løs likningene:

a) $\ln x = 3$
b) $\lg(2x + 1) = 2$
c) $\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln 8$

Løsning:

a) $\ln x = 3$

Ved definisjonen: $x = e^3 \approx 20{,}09$

Svar: $x = e^3 \approx 20{,}09$

b) $\lg(2x + 1) = 2$

Ved definisjonen: $2x + 1 = 10^2 = 100$
$2x = 99 \quad \Rightarrow \quad x = 49{,}5$

Sjekk: $2 \cdot 49{,}5 + 1 = 100 > 0$ ✓

Svar: $x = 49{,}5$

c) $\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln 8$

Bruker logaritmesetningen $\ln a + \ln b = \ln(a \cdot b)$ :
$\ln[(x-1)(x+1)] = \ln 8$
$(x-1)(x+1) = 8$
$x^2 - 1 = 8$
$x^2 = 9$
$x = \pm 3$

Sjekk: For $x = 3$ : $\ln 2 + \ln 4 = \ln 8$ ✓
For $x = -3$ : $\ln(-4)$ er udefinert ✗

Svar: $x = 3$

📝Oppgave 3

Løs logaritmelikningene. Husk å sjekke løsningen!

\ln x = 5

\lg x = -1

\ln(3x - 2) = 0

\lg(x^2) = 4

\ln x + \ln(x + 2) = \ln 3

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4: Likninger med logaritmer på begge sider

Løs likningen $\log_2(x + 3) = \log_2(2x - 1) + 1$ .

Løsning:

Vi skriver om høyre side:
$\log_2(x + 3) = \log_2(2x - 1) + \log_2 2$
$\log_2(x + 3) = \log_2[2(2x - 1)]$
$\log_2(x + 3) = \log_2(4x - 2)$

Siden logaritmene er like:
$x + 3 = 4x - 2$
$5 = 3x$
$x = \frac{5}{3}$

Sjekk:
- $\displaystyle x + 3 = \frac{5}{3} + 3 = \frac{14}{3} > 0$ ✓
- $\displaystyle 2x - 1 = \frac{10}{3} - 1 = \frac{7}{3} > 0$ ✓

Svar: $\displaystyle x = \frac{5}{3}$

Praktiske anvendelser

Eksponentiallikninger dukker ofte opp i praktiske sammenhenger, spesielt i modeller for vekst og nedbryting.

Halveringstid og doblingstid

N(t) = N_0 \cdot a^t

✏️Eksempel 5: Radioaktiv nedbryting

Karbon-14 har en halveringstid på 5730 år. Et arkeologisk funn inneholder 35 % av den opprinnelige mengden karbon-14. Hvor gammelt er funnet?

Løsning:

Med halveringstid $T_{1/2} = 5730$ år har vi vekstmodellen:
$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$

Vi skal finne $t$ når $N(t) = 0{,}35 N_0$ :
$0{,}35 N_0 = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$
$0{,}35 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$

Tar logaritmen på begge sider:
$\ln 0{,}35 = \frac{t}{5730} \cdot \ln\frac{1}{2}$
$t = \frac{5730 \cdot \ln 0{,}35}{\ln 0{,}5}$
$t = \frac{5730 \cdot (-1{,}050)}{-0{,}693} \approx 8680 \text{ år}$

Svar: Funnet er omtrent 8680 år gammelt.

✏️Eksempel 6: Bakterievekst

En bakteriekultur dobler seg hver 3. time.

a) Finn en modell for antall bakterier $N(t)$ etter $t$ timer, gitt at det er 1000 bakterier ved $t = 0$ .
b) Hvor lang tid tar det før det er 50 000 bakterier?

Løsning:

a) Doblingstid $T_2 = 3$ timer gir:
$N(t) = N_0 \cdot 2^{t/3} = 1000 \cdot 2^{t/3}$

b) Vi løser $1000 \cdot 2^{t/3} = 50000$ :
$2^{t/3} = 50$
$\frac{t}{3} = \log_2 50 = \frac{\ln 50}{\ln 2} \approx 5{,}64$
$t \approx 16{,}9 \text{ timer}$

Svar: Det tar omtrent 17 timer.

📝Oppgave 4

Løs oppgavene.

En bakteriekultur vokser med 15 % per time. Finn doblingstiden.

Et radioaktivt stoff har halveringstid 10 dager. Hvor stor andel er igjen etter 25 dager?

En investering vokser med 5 % årlig rente. Hvor lang tid tar det å tredoble investeringen?

📝Oppgave 5

Løs de sammensatte oppgavene.

Løs $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$

Løs $2^x + 2^{-x} = 3$

Løs $\ln(\ln x) = 0$

Løs oppgaven

Gjør dette i GeoGebra

Løsning av eksponentiallikning grafisk

Finn skjæringspunktet mellom

y = 2^x

y = 5

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 2^x
g(x) = 5
A = Intersect(f, g)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Logaritmiske skalaer

Noen størrelser spenner over mange tierpotenser, for eksempel lydintensitet, energien i jordskjelv og konsentrasjonen av et luktstoff. Slike størrelser måles ofte på en logaritmisk skala: skalaverdien forteller hvor mange tierpotenser størrelsen er, ikke størrelsen selv.

Lydstyrken $L$ i desibel (dB) er gitt ved

$L = 10 \lg \frac{I}{I_0}$

der $I$ er lydintensiteten i W/m² og $I_0 = 10^{-12}$ W/m² er den svakeste lyden øret kan høre.

For to lyder med intensitet $I_1$ og $I_2$ gir logaritmesetningen for en brøk

$L_2 - L_1 = 10 \lg \frac{I_2}{I_0} - 10 \lg \frac{I_1}{I_0} = 10 \lg \frac{I_2}{I_1}$

📜Fast økning på skalaen gir fast faktor

Øker lydstyrken med

d

dB, multipliseres intensiteten med

$\frac{I_2}{I_1} = 10^{d/10}$

uansett hvor på skalaen vi starter. Det samme gjelder alle logaritmiske skalaer: en fast økning i skalaverdien svarer til en fast vekstfaktor for størrelsen.

✏️Eksempel 7: Desibel

Lydstyrken er $L = 10 \lg \dfrac{I}{10^{-12}}$ , der $I$ er intensiteten i W/m².

a) Finn intensiteten når lydstyrken er $85$ dB.

b) Hvor mange prosent øker intensiteten når lydstyrken øker med $3$ dB?

$10 \lg \frac{I}{10^{-12}} = 85$
$\lg \frac{I}{10^{-12}} = 8{,}5$
$\frac{I}{10^{-12}} = 10^{8{,}5}$
$I = 10^{8{,}5} \cdot 10^{-12} = 10^{-3{,}5} \approx 3{,}2 \cdot 10^{-4}$

Svar: Intensiteten er omtrent $3{,}2 \cdot 10^{-4}$ W/m².

$10 \lg \frac{I_2}{I_1} = 3$
$\lg \frac{I_2}{I_1} = 0{,}3$
$\frac{I_2}{I_1} = 10^{0{,}3} \approx 1{,}995$

Vekstfaktoren $1{,}995$ svarer til en økning på $99{,}5\,\%$ .

Svar: Intensiteten øker med omtrent $99{,}5\,\%$ , altså nesten en dobling.

✏️Eksempel 8: En modell med logaritme

Intensiteten til en lukt er modellert ved

$D(C) = 1{,}8 \lg C - 0{,}6$

der $C$ er konsentrasjonen av luktstoffet. Grensen for å gripe inn er $D = 3{,}9$ .

a) Hvilken konsentrasjon svarer grensen til?

b) Hvor mye øker $D$ når konsentrasjonen dobles?

$1{,}8 \lg C - 0{,}6 = 3{,}9$
$1{,}8 \lg C = 4{,}5$
$\lg C = 2{,}5$
$C = 10^{2{,}5} = 100\sqrt{10} \approx 316$

Svar: Grensen nås ved $C = 100\sqrt{10} \approx 316$ .

$\begin{aligned} D(2C) - D(C) &= 1{,}8 \lg(2C) - 1{,}8 \lg C \\ &= 1{,}8 \lg \frac{2C}{C} \\ &= 1{,}8 \lg 2 \\ &\approx 0{,}54 \end{aligned}$

Svar: $D$ øker med omtrent $0{,}54$ hver gang konsentrasjonen dobles, uansett startverdi.

✏️Eksempel 9: Bestem grunntallet fra en graf

Figuren over viser grafen til $f(x) = \log_a x$ . Bestem grunntallet $a$ .

Grafen går gjennom punktet

(4, 1)

, så

f(4) = 1

$\log_a 4 = 1$
$a^1 = 4$

Kontroll: Grafen går gjennom $(1, 0)$ , og $\log_4 1 = 0$ ✓

Svar: $a = 4$

📝Oppgave 6

Momentmagnituden

M

til et jordskjelv er gitt ved

$M = \frac{2}{3} \lg E - 3{,}2$

der $E$ er energien som frigjøres, målt i joule.

Vis at $E = 10^{1{,}5M + 4{,}8}$ .

Hvor mange ganger så stor blir energien når $M$ øker med $1$ ?

Et jordskjelv har $M = 7$ og et annet $M = 5$ . Hvor mange ganger så mye energi frigjøres i det største?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Lydstyrken er $L = 10 \lg \dfrac{I}{10^{-12}}$ , der $I$ er intensiteten i W/m².

Finn intensiteten når lydstyrken er $120$ dB.

Hvor mange prosent øker intensiteten når lydstyrken øker med $2$ dB?

Én høyttaler gir en viss lydstyrke. Hvor mange desibel øker lydstyrken når en like sterk høyttaler slås på i tillegg, slik at intensiteten dobles?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Luktintensiteten

I

fra et anlegg er modellert ved

$I = 1{,}5 \lg C - 0{,}5$

der $C$ er antall luktenheter per kubikkmeter luft. Lukten regnes som akseptabel når $I \leq 2{,}5$ .

Regn ut luktintensiteten når $C = 500$ . Er lukten akseptabel?

Finn den største verdien av $C$ som gir akseptabel lukt.

Hvor mange prosent må konsentrasjonen reduseres fra $C = 500$ for at lukten skal bli akseptabel?

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Grunntall og parametre fra grafer.

Grafen til $f(x) = \log_a x$ går gjennom punktet $(9, 2)$ . Bestem $a$ .

Grafen til $g(x) = \log_a x + b$ går gjennom punktene $(1, 2)$ og $(8, 5)$ . Bestem $a$ og $b$ .

Vis at grafen til $h(x) = \log_{1/a} x$ er speilbildet av grafen til $\log_a x$ om $x$ -aksen.

Løs oppgaven

Oppsummering

Eksponentiallikninger:
- $a^{f(x)} = b$ løses ved $\displaystyle f(x) = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$
- Ta logaritmen på begge sider når ukjent er i eksponenten

Logaritmelikninger:
- $\log_a f(x) = c$ løses ved $f(x) = a^c$
- Husk å sjekke at løsningen gir positivt argument

Logaritmiske skalaer:
- $L = 10 \lg \dfrac{I}{I_0}$ : $d$ dB mer gir intensiteten ganget med $10^{d/10}$
- En fast økning på en logaritmisk skala svarer til en fast vekstfaktor

Praktiske anvendelser:
- Doblingstid: $\displaystyle T_2 = \frac{\ln 2}{\ln a}$
- Halveringstid: $\displaystyle T_{1/2} = -\frac{\ln 2}{\ln a}$

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.