1.2 Potenser og logaritmer | Matematikk R1

Regneregler for potenser og logaritmer.

55 min

11 oppgaver

PotensreglerLogaritmereglerNaturlig logaritmeBriggske logaritmer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.3Eksponential- og logaritmeligninger 4.2Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner

Potenser

Potenser er en forkortet skrivemåte for gjentatt multiplikasjon. I R1 utvider vi potensreglene til å gjelde for alle reelle eksponenter.

Potens med rasjonale og reelle eksponenter

a > 0

📜Potensregler

For

a, b > 0

og alle reelle tall

r

s

$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
$(a^r)^s = a^{r \cdot s}$
$(ab)^r = a^r \cdot b^r$
$\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}$

✏️Eksempel 1: Potensregning

Forenkle uttrykkene:

a) $2^3 \cdot 2^5$
b) $\displaystyle \frac{3^7}{3^4}$
c) $(2^3)^4$
d) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}$
e) $\displaystyle 27^{-\frac{1}{3}}$

Løsning:

a) $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$

Svar: $256$

b) $\displaystyle \frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27$

Svar: $27$

c) $(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} = 4096$

Svar: $4096$

d) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$
Alternativt: $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 = 4$

Svar: $4$

e) $\displaystyle 27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}$

Svar: $\displaystyle \frac{1}{3}$

📝Oppgave 1

Forenkle uttrykkene.

5^2 \cdot 5^3

\displaystyle \frac{2^{10}}{2^6}

(3^2)^3

\displaystyle 16^{\frac{3}{4}}

\displaystyle 81^{-\frac{1}{2}}

\displaystyle \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{3}{2}}

Løs oppgaven

Logaritmer

Logaritmen er den omvendte operasjonen til eksponentiering. Hvis $a^x = b$ , så er $x = \log_a b$ (logaritmen av $b$ med grunntall $a$ ).

Logaritme

a > 0

Viktige verdier å huske:

- $\ln 1 = 0$ og $\lg 1 = 0$ (fordi $a^0 = 1$ )
- $\ln e = 1$ og $\lg 10 = 1$ (fordi $a^1 = a$ )
- $\ln e^x = x$ og $e^{\ln x} = x$ (de opphever hverandre)

Logaritmesetningene

Regnereglene for logaritmer kommer fra potensreglene. Vi utleder setningen for et produkt.

For $a > 0$ og $b > 0$ gir definisjonen av $\lg$ at

$a = 10^{\lg a} \quad \text{og} \quad b = 10^{\lg b}$

Vi multipliserer og bruker potensregelen $10^r \cdot 10^s = 10^{r+s}$ :

$a \cdot b = 10^{\lg a} \cdot 10^{\lg b} = 10^{\lg a + \lg b}$

Tallet $10$ må altså opphøyes i $\lg a + \lg b$ for å gi $a \cdot b$ . Det er definisjonen av $\lg(a \cdot b)$ :

$\lg(a \cdot b) = \lg a + \lg b$

Setningene for en brøk og en potens utledes på samme måte i oppgave 2.

📜Logaritmesetningene

For

a > 0

b > 0

og alle reelle tall

x

$\lg(a \cdot b) = \lg a + \lg b$
$\lg\left(\frac{a}{b}\right) = \lg a - \lg b$
$\lg(a^x) = x \cdot \lg a$

De samme setningene gjelder for $\ln$ og for $\log_c$ med et annet grunntall $c > 0$ , $c \neq 1$ . Utledningen er den samme med $e$ eller $c$ i stedet for $10$ .

📝Oppgave 2

La $a > 0$ og $b > 0$ . Bruk at $a = 10^{\lg a}$ og $b = 10^{\lg b}$ .

Vis at $\lg\left(\dfrac{a}{b}\right) = \lg a - \lg b$ .

Vis at $\lg(a^x) = x \cdot \lg a$ for alle reelle tall $x$ .

Bruk resultatet i b) til å vise at $\lg\dfrac{1}{a} = -\lg a$ .

✏️Eksempel 2: Logaritmeregning

Forenkle uttrykkene:

a) $\ln(e^5)$
b) $\lg 100 + \lg 10$
c) $\ln 8 - \ln 2$
d) $2\ln 3 + \ln 4$
e) $\log_2 32$

Løsning:

a) $\ln(e^5) = 5$ (logaritme av eksponentialfunksjon med samme grunntall)

Svar: $5$

b) $\lg 100 + \lg 10 = \lg(100 \cdot 10) = \lg 1000 = 3$
Alternativt: $\lg 100 + \lg 10 = 2 + 1 = 3$

Svar: $3$

c) $\displaystyle \ln 8 - \ln 2 = \ln\frac{8}{2} = \ln 4$

Svar: $\ln 4$

d) $2\ln 3 + \ln 4 = \ln 3^2 + \ln 4 = \ln 9 + \ln 4 = \ln 36$

Svar: $\ln 36$

e) $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$

Svar: $5$

Gjør dette i GeoGebra

Logaritmefunksjoner

Sammenlikning av

\ln x

\lg x

\log_2 x

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = ln(x)
g(x) = log(x)
h(x) = log(2, x)
A = (1, 0)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 3

Regn ut uten kalkulator.

\lg 1000

\ln e^4

\log_3 81

\displaystyle \log_5 \frac{1}{25}

\log_4 2

e^{\ln 7}

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Skriv som én logaritme.

\ln 5 + \ln 3

\lg 50 - \lg 5

3\ln 2

2\ln 5 - \ln 25

\displaystyle \frac{1}{2}\ln 16 + \ln 3

\ln a + 2\ln b - 3\ln c

Løs oppgaven

Skifte av grunntall

Ofte trenger vi å skrive om en logaritme fra ett grunntall til et annet, for eksempel når kalkulatoren bare har $\ln$ og $\lg$ .

Setter vi $y = \log_a x$ , er $a^y = x$ . Vi tar $\ln$ på begge sider og bruker $\ln(a^y) = y \ln a$ :

$y \ln a = \ln x$

$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Med $\lg$ i stedet for $\ln$ får vi på samme måte $\log_a x = \dfrac{\lg x}{\lg a}$ .

✏️Eksempel 3: Skifte av grunntall

a) Skriv om $\log_5 7$ med naturlig logaritme.
b) Regn ut $\log_3 20$ med kalkulator.

Løsning:

a) $\displaystyle \log_5 7 = \frac{\ln 7}{\ln 5}$

Svar: $\displaystyle \log_5 7 = \frac{\ln 7}{\ln 5}$

b) $\displaystyle \log_3 20 = \frac{\ln 20}{\ln 3} \approx \frac{2{,}996}{1{,}099} \approx 2{,}73$

Kontroll: $3^{2{,}73} \approx 20$ ✓

Svar: $\log_3 20 \approx 2{,}73$

📝Oppgave 5

Skriv om med naturlig logaritme og regn ut med kalkulator.

\log_2 10

\log_7 50

\log_{0{,}5} 8

\log_4 \sqrt{2}

Løs oppgaven

Sammenheng mellom potenser og logaritmer

Eksponentialfunksjonen $a^x$ og logaritmefunksjonen $\log_a x$ er omvendte funksjoner av hverandre. De opphever hverandre.

📜Eksponential og logaritme opphever hverandre

For

a > 0

a \neq 1

$a^{\log_a x} = x \quad \text{for } x > 0$
$\log_a(a^x) = x \quad \text{for alle } x$

Spesielt:
- $e^{\ln x} = x$ og $\ln(e^x) = x$
- $10^{\lg x} = x$ og $\lg(10^x) = x$

For $a > 0$ gir dette $a^r = \left(e^{\ln a}\right)^r = e^{r \ln a}$ .

📝Oppgave 6

Forenkle uttrykkene.

e^{2\ln 3}

\ln(e^{x+1})

10^{2\lg 5}

e^{\ln x + \ln y}

\displaystyle \ln\left(\frac{e^a}{e^b}\right)

Løs oppgaven

Oppsummering

Potensregler: For $a, b > 0$ :
- $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
- $\displaystyle \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
- $(a^r)^s = a^{rs}$

Logaritmesetningene: For $x, y > 0$ :
- $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
- $\displaystyle \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
- $\log_a(x^r) = r \cdot \log_a x$

Skifte av grunntall:
$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Eksponential og logaritme opphever hverandre:
$a^{\log_a x} = x \quad \text{og} \quad \log_a(a^x) = x$

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.