4.2
Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner

4.2 Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner

Alle fag for VG2

Derivasjon av e^x, a^x, ln(x) og log_a(x).

55 min
11 oppgaver
Derivasjon av e^xDerivasjon av ln(x)Derivasjon av a^xDerivasjon av log_a(x)
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 11 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Brukes videre i
4.3Kjerneregelen

Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner

Eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner har spesielle derivasjonsregler. I dette kapittelet skal vi se hvorfor exe^x er så spesiell – den er sin egen deriverte!

Den naturlige eksponentialfunksjonen

Funksjonen f(x)=exf(x) = e^x har en helt unik egenskap: den er lik sin egen deriverte. Vi viser det med definisjonen av den deriverte:

ex+h−exh=ex⋅eh−exh=ex⋅eh−1h\frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h} = e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h}

Faktoren exe^x avhenger ikke av hh. Det som gjenstår, er grenseverdien av eh−1h\displaystyle \frac{e^h - 1}{h} når h→0h \to 0:

hh0,10{,}10,010{,}010,0010{,}001−0,001-0{,}001
eh−1h\displaystyle \frac{e^h - 1}{h}1,05171{,}05171,00501{,}00501,00051{,}00050,99950{,}9995

Tabellen viser at grenseverdien er 11. Tallet e≈2,718e \approx 2{,}718 er nettopp det grunntallet som gjør denne grenseverdien lik 11. For grunntallet 22 blir den ln⁡2≈0,693\ln 2 \approx 0{,}693 (se kapittel 3.3). Dermed er
(ex)′=lim⁡h→0ex⋅eh−1h=ex⋅1=ex(e^x)' = \lim_{h \to 0} e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot 1 = e^x
📜Derivasjon av exe^x
Hvis f(x)=exf(x) = e^x, så er

f′(x)=exf'(x) = e^x

Med ord: exe^x er sin egen deriverte.

✏️Eksempel 1: Derivasjon av exe^x

Deriver følgende funksjoner:

a) f(x)=exf(x) = e^x
b) g(x)=3exg(x) = 3e^x
c) h(x)=ex+x2h(x) = e^x + x^2

Løsning:

a) f(x)=exf(x) = e^x
f′(x)=exf'(x) = e^x

Svar: f′(x)=exf'(x) = e^x

b) g(x)=3exg(x) = 3e^x
g′(x)=3⋅ex=3exg'(x) = 3 \cdot e^x = 3e^x (konstant faktor-regelen)

Svar: g′(x)=3exg'(x) = 3e^x

c) h(x)=ex+x2h(x) = e^x + x^2
h′(x)=ex+2xh'(x) = e^x + 2x (sumregelen)

Svar: h′(x)=ex+2xh'(x) = e^x + 2x

Eksponentialfunksjoner med andre grunntall

Hva om grunntallet ikke er ee? For eksempel 2x2^x eller 10x10^x? Da må vi bruke en litt annen formel.

📜Derivasjon av axa^x
Hvis f(x)=axf(x) = a^x der a>0a > 0 og a≠1a \neq 1, så er

f′(x)=ax⋅ln⁡af'(x) = a^x \cdot \ln a

Spesialtilfelle: Når a=ea = e, får vi ln⁡e=1\ln e = 1, så (ex)′=ex⋅1=ex(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x.

Bevis for formelen
✏️Eksempel 2: Derivasjon av axa^x

Deriver følgende funksjoner:

a) f(x)=2xf(x) = 2^x
b) g(x)=10xg(x) = 10^x
c) h(x)=3⋅5xh(x) = 3 \cdot 5^x

Løsning:

a) f(x)=2xf(x) = 2^x
f′(x)=2x⋅ln⁡2f'(x) = 2^x \cdot \ln 2

Svar: f′(x)=2xln⁡2f'(x) = 2^x \ln 2

b) g(x)=10xg(x) = 10^x
g′(x)=10x⋅ln⁡10g'(x) = 10^x \cdot \ln 10

Svar: g′(x)=10xln⁡10g'(x) = 10^x \ln 10

c) h(x)=3⋅5xh(x) = 3 \cdot 5^x
h′(x)=3⋅5x⋅ln⁡5h'(x) = 3 \cdot 5^x \cdot \ln 5

Svar: h′(x)=3⋅5xln⁡5h'(x) = 3 \cdot 5^x \ln 5

📝Oppgave 1

Deriver følgende eksponentialfunksjoner.

a
f(x)=exf(x) = e^x
b
g(x)=5exg(x) = 5e^x
c
h(x)=3xh(x) = 3^x
d
p(x)=2⋅4xp(x) = 2 \cdot 4^x
Løs oppgaven

Den naturlige logaritmen

Den naturlige logaritmen ln⁡x\ln x er den inverse funksjonen til exe^x. Det viser seg at den deriverte av ln⁡x\ln x har en overraskende enkel form.

📜Derivasjon av ln⁡x\ln x
Hvis f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x der x>0x > 0, så er

f′(x)=1xf'(x) = \frac{1}{x}

Bevis for formelen
✏️Eksempel 3: Derivasjon av ln⁡x\ln x

Deriver følgende funksjoner:

a) f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x
b) g(x)=5ln⁡xg(x) = 5 \ln x
c) h(x)=x2+ln⁡xh(x) = x^2 + \ln x

Løsning:

a) f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x
f′(x)=1x\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}

Svar: f′(x)=1x\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}

b) g(x)=5ln⁡xg(x) = 5 \ln x
g′(x)=5⋅1x=5x\displaystyle g'(x) = 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x}

Svar: g′(x)=5x\displaystyle g'(x) = \frac{5}{x}

c) h(x)=x2+ln⁡xh(x) = x^2 + \ln x
h′(x)=2x+1x\displaystyle h'(x) = 2x + \frac{1}{x}

Svar: h′(x)=2x+1x\displaystyle h'(x) = 2x + \frac{1}{x}

Logaritmer med andre grunntall

For logaritmer med andre grunntall enn ee bruker vi sammenhengen med den naturlige logaritmen.

📜Derivasjon av log⁡ax\log_a x
Hvis f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x der a>0a > 0, a≠1a \neq 1 og x>0x > 0, så er

f′(x)=1x⋅ln⁡af'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}

Begrunnelse: Formelen følger fra at log⁡ax=ln⁡xln⁡a\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}.

✏️Eksempel 4: Derivasjon av log⁡ax\log_a x

Deriver følgende funksjoner:

a) f(x)=log⁡2xf(x) = \log_2 x
b) g(x)=log⁡10x=lg⁡xg(x) = \log_{10} x = \lg x
c) h(x)=3log⁡5xh(x) = 3 \log_5 x

Løsning:

a) f(x)=log⁡2xf(x) = \log_2 x
f′(x)=1x⋅ln⁡2\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln 2}

Svar: f′(x)=1xln⁡2\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}

b) g(x)=log⁡10xg(x) = \log_{10} x
g′(x)=1x⋅ln⁡10\displaystyle g'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln 10}

Svar: g′(x)=1xln⁡10\displaystyle g'(x) = \frac{1}{x \ln 10}

c) h(x)=3log⁡5xh(x) = 3 \log_5 x
h′(x)=3⋅1x⋅ln⁡5=3xln⁡5\displaystyle h'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x \cdot \ln 5} = \frac{3}{x \ln 5}

Svar: h′(x)=3xln⁡5\displaystyle h'(x) = \frac{3}{x \ln 5}

📝Oppgave 2

Deriver følgende logaritmefunksjoner.

a
f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x
b
g(x)=4ln⁡xg(x) = 4 \ln x
c
h(x)=log⁡3xh(x) = \log_3 x
d
p(x)=2log⁡10xp(x) = 2 \log_{10} x
Løs oppgaven
📝Oppgave 3

Deriver følgende funksjoner.

a
f(x)=ex+ln⁡xf(x) = e^x + \ln x
b
g(x)=x3−2exg(x) = x^3 - 2e^x
c
h(x)=2x+3ln⁡xh(x) = 2^x + 3\ln x
d
p(x)=5x−log⁡5xp(x) = 5^x - \log_5 x
Løs oppgaven
✏️Eksempel 5: Kombinerte funksjoner

Deriver funksjonen f(x)=x2+3ex−2ln⁡xf(x) = x^2 + 3e^x - 2\ln x.

Løsning:

Vi deriverer hvert ledd for seg:
f′(x)=(x2)′+(3ex)′−(2ln⁡x)′f'(x) = (x^2)' + (3e^x)' - (2\ln x)'

f′(x)=2x+3ex−2xf'(x) = 2x + 3e^x - \frac{2}{x}

Svar: f′(x)=2x+3ex−2x\displaystyle f'(x) = 2x + 3e^x - \frac{2}{x}

✏️Eksempel 6: Tangent til eksponentialfunksjon

Finn tangentens likning til f(x)=exf(x) = e^x i punktet (0,1)(0, 1).

Løsning:

Vi har f(x)=exf(x) = e^x og f′(x)=exf'(x) = e^x.

I punktet x=0x = 0:
- f(0)=e0=1f(0) = e^0 = 1 ✓
- f′(0)=e0=1f'(0) = e^0 = 1

Tangentens stigningstall er a=1a = 1.

Tangentens likning (ettpunktsformelen):
y−1=1(x−0)y - 1 = 1(x - 0)
y=x+1y = x + 1

Svar: Tangenten har likningen y=x+1y = x + 1.

📝Oppgave 4

Finn tangentens likning i det angitte punktet.

a
f(x)=exf(x) = e^x i punktet (1,e)(1, e)
b
f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x i punktet (1,0)(1, 0)
c
f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x i punktet (e,1)(e, 1)
Løs oppgaven
📝Oppgave 5

Løs følgende oppgaver.

a

For hvilken xx-verdi har tangenten til f(x)=exf(x) = e^x stigningstall 33?

b

For hvilken xx-verdi har tangenten til f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x stigningstall 12\displaystyle \frac{1}{2}?

c

Vis at f(x)=ex−xf(x) = e^x - x har et minimum for x=0x = 0.

Løs oppgaven
📝Oppgave 6

Finn den dobbeltderiverte f′′(x)f''(x).

a
f(x)=ex+x2f(x) = e^x + x^2
b
f(x)=3ln⁡xf(x) = 3\ln x
c
f(x)=2xf(x) = 2^x
Løs oppgaven

Oppsummering

Eksponentialfunksjoner:
- (ex)′=ex(e^x)' = e^x
- (ax)′=ax⋅ln⁡a(a^x)' = a^x \cdot \ln a

Logaritmefunksjoner:
- (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}
- (log⁡ax)′=1x⋅ln⁡a\displaystyle (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}

Nyttige sammenhenger:
- exe^x og ln⁡x\ln x er inverse funksjoner
- ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a}
- log⁡ax=ln⁡xln⁡a\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.