4.2 Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner

Funksjonen som speiler seg selv

Tenk deg en bakteriekoloni i en petriskål. Jo flere bakterier det er, desto flere nye bakterier dannes per time. Vekstfarten er med andre ord proporsjonal med hvor mye som allerede finnes – og det er nettopp dette som kjennetegner eksponentiell vekst. Men her ligger et matematisk spørsmål og lurer: hvis $f(x)$ beskriver mengden, hva er da $f'(x)$, altså vekstfarten?

I forrige kapittel bygde vi en verktøykasse for å derivere polynomer, brøker og røtter. Men eksponentialfunksjoner som $2^x$ og logaritmefunksjoner som $\ln x$ passer ikke inn i potensregelen – her står $x$ i eksponenten eller inne i en logaritme, ikke i grunntallet. De trenger egne regler.

I dette kapittelet skal du møte en av matematikkens vakreste overraskelser: det finnes en funksjon som er sin egen deriverte. Tallet $e \approx 2{,}718$ er definert nettopp slik at dette skal stemme, og det gjør $e^x$ til selve navet i alt som handler om vekst og forfall – fra renter og radioaktivitet til befolkningsmodeller. Vi skal derivere $e^x$, generelle eksponentialfunksjoner $a^x$, den naturlige logaritmen $\ln x$ og logaritmer med vilkårlig grunntall.

Funksjonen som er sin egen deriverte

Her er kapittelets hovedperson: hvis $f(x) = e^x$, så er $f'(x) = e^x$. Funksjonen og dens deriverte er identiske. Tegner du grafen til $e^x$, er stigningstallet i hvert eneste punkt nøyaktig lik funksjonsverdien i det samme punktet. Når grafen passerer høyden 5, stiger den med fart 5. Når den passerer 100, stiger den med fart 100.

Dette er ikke en tilfeldighet, men selve definisjonen av tallet $e$. Av alle eksponentialfunksjoner $a^x$ finnes det nøyaktig ett grunntall der vekstfarten blir lik funksjonsverdien selv, og det grunntallet er $e \approx 2{,}718$. Faktisk er $e^x$ den eneste funksjonen – bortsett fra den kjedelige $f(x) = 0$ – som er lik sin egen deriverte. Det er derfor $e^x$ dukker opp overalt i fysikk, biologi og økonomi: naturen er full av prosesser der endringen er proporsjonal med mengden.

Det fine er at de gamle reglene våre fortsatt gjelder. Konstant faktor: $g(x) = 3e^x$ gir $g'(x) = 3e^x$. Sumregelen: $h(x) = e^x + x^2$ gir $h'(x) = e^x + 2x$. Vi har bare fått en ny brikke som passer rett inn i verktøykassa fra forrige kapittel – og den brikken er forbløffende lett å huske: $e^x$ deriverer seg selv.

Hva med andre grunntall?

Bakterier dobler seg gjerne: mengden følger $2^x$. Og hva med $10^x$, som ligger bak hele desibel- og pH-skalaen? Disse funksjonene er ikke lik sin egen deriverte – men de er nesten. Regelen lyder: hvis $f(x) = a^x$ der $a > 0$ og $a \neq 1$, så er $f'(x) = a^x \cdot \ln a$. Den deriverte er funksjonen selv, ganget med en korreksjonsfaktor $\ln a$.

Hvorfor akkurat $\ln a$? Trikset er å skrive om $a^x$ ved hjelp av $e$. Siden $e^{\ln a} = a$, har vi $a^x = (e^{\ln a})^x = e^{x \ln a}$. Deriverer vi dette (med kjerneregelen, som du møter i neste kapittel), kommer faktoren $\ln a$ ut: $(e^{x \ln a})' = e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a$. Alle eksponentialfunksjoner er altså forkledde utgaver av $e^x$ – det er derfor $e$ er så sentral.

Konkret: $(2^x)' = 2^x \cdot \ln 2$, og $(10^x)' = 10^x \cdot \ln 10$. Med konstant faktor: $(3 \cdot 5^x)' = 3 \cdot 5^x \cdot \ln 5$.

Og legg merke til hvordan alt henger sammen: setter vi $a = e$ i den generelle formelen, blir korreksjonsfaktoren $\ln e = 1$, og vi får $(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$. Spesialtilfellet vårt fra forrige seksjon er bare den generelle regelen med den peneste mulige konstanten. Matematikk på sitt mest elegante.

Logaritmen svarer med en brøk

Den naturlige logaritmen $\ln x$ er den inverse funksjonen til $e^x$ – den «angrer» eksponentialfunksjonen. Man kunne kanskje gjette at den deriverte ble noe komplisert, men resultatet er overraskende enkelt: for $x > 0$ er $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$. En logaritme deriveres til en helt vanlig brøk.

Beviset utnytter nettopp at funksjonene er inverse. Hvis $y = \ln x$, så er $e^y = x$. Deriverer vi begge sider med hensyn på $x$, får vi $\displaystyle e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$, og dermed $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. Legg også merke til hva formelen forteller: når $x$ er stor, er $\displaystyle \frac{1}{x}$ liten – logaritmekurven flater ut og vokser stadig saktere, akkurat slik grafen ser ut.

For logaritmer med andre grunntall bruker vi omskrivingen $\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$. Siden $\displaystyle \frac{1}{\ln a}$ bare er en konstant faktor, får vi $\displaystyle (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}$. For eksempel er $\displaystyle (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$ og $\displaystyle (\lg x)' = (\log_{10} x)' = \frac{1}{x \ln 10}$, og med konstant: $\displaystyle (3\log_5 x)' = \frac{3}{x \ln 5}$.

Nå kan vi blande alt sammen. Funksjonen $f(x) = x^2 + 3e^x - 2\ln x$ deriveres ledd for ledd: $\displaystyle f'(x) = 2x + 3e^x - \frac{2}{x}$. Og tangenter fungerer som før: for $f(x) = e^x$ i punktet $(0, 1)$ er stigningstallet $f'(0) = e^0 = 1$, så ettpunktsformelen gir $y - 1 = 1 \cdot (x - 0)$, altså tangenten $y = x + 1$.

Vekstens grammatikk

I dette kapittelet har du lært å derivere funksjonene som beskriver vekst og forfall. Kjernen er én bemerkelsesverdig funksjon: $e^x$, som er sin egen deriverte – $(e^x)' = e^x$. Tallet $e \approx 2{,}718$ er skreddersydd for nettopp dette, og det gjør $e^x$ til den naturlige byggesteinen i alle vekstmodeller.

For andre grunntall kommer en korreksjonsfaktor: $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$. Formelen følger av at enhver eksponentialfunksjon kan skrives som $a^x = e^{x \ln a}$ – de er alle forkledde utgaver av $e^x$. Setter du $a = e$, blir faktoren $\ln e = 1$, og spesialtilfellet faller pent på plass.

Logaritmene svarte med uventet enkelhet: $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$, et resultat vi beviste ved å utnytte at $\ln x$ og $e^x$ er inverse funksjoner. Og med omskrivingen $\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ fikk vi $\displaystyle (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}$.

Sammen med reglene fra forrige kapittel kan du nå derivere kombinasjoner som $x^2 + 3e^x - 2\ln x$ uten å nøle, og finne tangenter til eksponentialkurver. I neste kapittel løfter vi verktøykassa enda et hakk: kjerneregelen lar oss derivere sammensatte funksjoner som $e^{3x}$ og $\ln(x^2 + 1)$ – funksjoner med funksjoner inni.