1.2 Potenser og logaritmer

Oppfinnelsen som forlenget astronomenes liv

Skottland, 1614. Den eksentriske godseieren John Napier publiserer et verk han har brukt tjue år av livet på: en bok med tabeller over noe han kaller logaritmer. På denne tiden satt astronomer som Johannes Kepler begravd i regnearbeid -- baneberegninger krevde multiplikasjon av tall med mange siffer, for hånd, om og om igjen. Napiers tabeller forvandlet hver slik multiplikasjon til en enkel addisjon. Matematikeren Laplace skal senere ha sagt at logaritmene «fordoblet astronomenes levetid» ved å halvere arbeidet deres.

Hva var trikset? Napier hadde oppdaget en dyp sammenheng: når du ganger potenser med samme grunntall, adderer du eksponentene. Hvis hvert tall kan skrives som en potens av et fast grunntall, kan all multiplikasjon oversettes til addisjon i eksponentenes verden -- og logaritmen er nettopp oversettelsen, den som finner eksponenten.

I dag har kalkulatoren overtatt regnearbeidet, men logaritmene er blitt viktigere enn noensinne. Richterskalaen for jordskjelv, pH-skalaen i kjemi, desibelskalaen for lyd og informasjonsmåling i informatikk er alle logaritmiske. Og i R1 er logaritmen verktøyet som lar oss løse ligninger der den ukjente sitter fast i en eksponent.

I dette kapittelet bygger vi fundamentet: først utvider vi potensbegrepet til alle reelle eksponenter, så møter vi logaritmen som potensens motstykke -- og til slutt ser vi at de to opphever hverandre fullstendig.

Potenser med alle slags eksponenter

Du kjenner potenser som gjentatt multiplikasjon: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$. Men hva skal $8^{2/3}$ eller $5^{\sqrt{2}}$ bety? Du kan ikke gange $8$ med seg selv «to tredjedels gang». I R1 utvider vi definisjonen slik at potensene gir mening for alle reelle eksponenter: for $a > 0$ definerer vi $a^r = e^{r \ln a}$. De viktigste spesialtilfellene er $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, $a^0 = 1$ og $\displaystyle a^{-r} = \frac{1}{a^r}$.

Det fine er at de velkjente potensreglene fortsetter å gjelde uansett eksponent. For $a, b > 0$ og reelle tall $r$ og $s$:

$$a^r \cdot a^s = a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \qquad (a^r)^s = a^{rs}$$

og dessuten $(ab)^r = a^r b^r$ og $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}$.

La oss se reglene i sving. $2^3 \cdot 2^5 = 2^8 = 256$ -- multiplikasjon blir addisjon av eksponenter, akkurat Napiers poeng. $\displaystyle \frac{3^7}{3^4} = 3^3 = 27$ -- divisjon blir subtraksjon. $(2^3)^4 = 2^{12} = 4096$ -- potens av potens ganger eksponentene.

Brøkeksponentene er røtter i forkledning: $8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$, eller smartere, $8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4$. Og negative eksponenter snur brøken: $\displaystyle 27^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}$. Med dette språket på plass er vi klare til å møte logaritmen.

Logaritmen -- jakten på eksponenten

En logaritme svarer på ett bestemt spørsmål: hvilken eksponent må grunntallet opphøyes i for å gi dette tallet? Formelt, for $a > 0$, $a \neq 1$ og $b > 0$:

$$\log_a b = x \quad \Leftrightarrow \quad a^x = b$$

Spør du «$\log_2 32$?», spør du egentlig «$2$ opphøyd i hva gir $32$?» -- og svaret er $5$, siden $2^5 = 32$. To grunntall er så vanlige at de har egne navn: den naturlige logaritmen $\ln x = \log_e x$ med Eulers tall $e \approx 2{,}718$ som grunntall, og den briggske logaritmen (tierlogaritmen) $\lg x = \log_{10} x$. Noen verdier bør sitte i ryggmargen: $\ln 1 = 0$ og $\lg 1 = 0$ (fordi $a^0 = 1$), og $\ln e = 1$ og $\lg 10 = 1$ (fordi $a^1 = a$).

Napiers store innsikt blir nå til tre logaritmeregler, som er potensreglene lest baklengs. For $x, y > 0$:

$$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$$
$$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$$
$$\log_a(x^r) = r \cdot \log_a x$$

Produkt blir sum, kvotient blir differanse, og potenser kan «hentes ned» som faktorer. Akkurat dette siste er grunnen til at logaritmer løser eksponentialligninger -- men det kommer i neste kapittel.

Se reglene i aksjon: $\lg 100 + \lg 10 = \lg 1000 = 3$. $\displaystyle \ln 8 - \ln 2 = \ln \frac{8}{2} = \ln 4$. Og $2\ln 3 + \ln 4 = \ln 9 + \ln 4 = \ln 36$ -- her brukte vi først potensregelen baklengs, så produktregelen. Hver gang gjør logaritmen tung multiplikasjon om til lett addisjon, nøyaktig slik den gjorde for Kepler.

Skifte av grunntall og den inverse sammenhengen

Kalkulatoren din har som regel bare to logaritmeknapper: $\ln$ og $\lg$. Hva gjør du da med $\log_5 7$? Du bytter grunntall. For alle gyldige grunntall gjelder

$$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\lg x}{\lg a}$$

Dermed er $\displaystyle \log_5 7 = \frac{\ln 7}{\ln 5}$, og for eksempel $\displaystyle \log_3 20 = \frac{\ln 20}{\ln 3} \approx \frac{2{,}996}{1{,}099} \approx 2{,}73$. Rimelighetssjekken stemmer: $3^{2{,}73} \approx 20$. Formelen sier noe pent: alle logaritmefunksjoner er egentlig samme funksjon, bare skalert med en konstant. Velger du ett grunntall, har du i prinsippet alle.

Til slutt det som binder hele kapittelet sammen: potensfunksjonen og logaritmefunksjonen med samme grunntall er inverse av hverandre -- de opphever hverandre fullstendig, som å pakke inn og pakke ut. For $a > 0$, $a \neq 1$:

$$a^{\log_a x} = x \;\; \text{for } x > 0, \qquad \log_a(a^x) = x \;\; \text{for alle } x$$

Spesielt er $e^{\ln x} = x$ og $\ln(e^x) = x$, og tilsvarende $10^{\lg x} = x$ og $\lg(10^x) = x$. Det er verdt å stoppe opp ved hvorfor dette er opplagt: $\log_a x$ er per definisjon den eksponenten $a$ må opphøyes i for å gi $x$ -- så når vi faktisk opphøyer $a$ i den, får vi selvsagt $x$.

Denne invers-sammenhengen er arbeidsverktøyet i neste kapittel: står den ukjente fanget i en eksponent, frigjør vi den med en logaritme. Står den fanget i en logaritme, frigjør vi den med en potens. Napiers fire hundre år gamle idé er fremdeles nøkkelen.

Fortellingen i et nøtteskall

Vi begynte hos John Napier i 1614, hos en mann som brukte tjue år på tabeller fordi han hadde sett at multiplikasjon kan oversettes til addisjon. Den oversettelsen heter logaritme, og i dette kapittelet har du lært språket den snakker.

Først utvidet vi potensene til alle reelle eksponenter, med $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, $a^0 = 1$ og $\displaystyle a^{-r} = \frac{1}{a^r}$ som hjørnesteiner, og med regnereglene $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$, $\displaystyle \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$ og $(a^r)^s = a^{rs}$ intakte hele veien.

Så møtte vi logaritmen som svaret på spørsmålet «hvilken eksponent?»: $\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b$, med $\ln$ (grunntall $e$) og $\lg$ (grunntall $10$) som de to viktigste variantene. Logaritmereglene er potensreglene speilvendt: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, $\displaystyle \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ og $\log_a(x^r) = r\log_a x$.

Med grunntallskifte $\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ kan kalkulatoren regne ut enhver logaritme, og invers-sammenhengen $a^{\log_a x} = x$ og $\log_a(a^x) = x$ forteller at potens og logaritme opphever hverandre.

Richterskalaen, pH-verdier, desibel -- overalt der naturen spenner over mange størrelsesordener, dukker logaritmen opp. Og i neste kapittel blir den ditt våpen når den ukjente gjemmer seg i en eksponent.