1.3 Eksponential- og logaritmeligninger

Beinrestene som røper sin egen alder

En arkeolog børster forsiktig jorden av et beinfragment. Hvor gammelt er det? Tusen år? Ti tusen? Svaret ligger gjemt i atomene. Alt levende tar opp det radioaktive isotopet karbon-14 gjennom hele livet, men i dødsøyeblikket stopper påfyllet, og karbon-14 begynner å forsvinne -- halvparten hvert 5730. år. Måler arkeologen at bare $35\,\%$ av den opprinnelige mengden er igjen, kan alderen regnes ut nøyaktig.

Men se på regnestykket som da må løses:

$$0{,}35 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$$

Den ukjente $t$ sitter fanget oppe i eksponenten. Ingen av metodene du kan fra før -- flytte ledd, faktorisere, abc-formel -- får den ned derfra. Det er her forrige kapittels logaritmer går fra å være vakker teori til å bli et presisjonsverktøy: logaritmen er nøkkelen som låser opp eksponenten.

I dette kapittelet lærer du å løse to beslektede ligningstyper. I eksponentialligninger står den ukjente i eksponenten, og vi befrir den ved å ta logaritmen på begge sider. I logaritmeligninger står den ukjente inne i en logaritme, og vi befrir den ved å gå motsatt vei -- opphøye grunntallet i begge sider. Til slutt bruker vi verktøyene på virkeligheten: radioaktiv nedbryting, bakterievekst, halveringstid og doblingstid. Beinfragmentets alder skal vi faktisk regne ut.

Eksponentialligninger -- å hente den ukjente ned

En eksponentialligning har formen $a^{f(x)} = b$ med $a > 0$, $a \neq 1$ og $b > 0$. Strategien er alltid den samme: ta logaritmen på begge sider, slik at potensregelen $\ln(a^r) = r \ln a$ henter eksponenten ned som en vanlig faktor. Da blir $\displaystyle f(x) = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$, og resten er kjent algebra.

Noen ganger slipper vi logaritmen helt. I $2^x = 16$ ser vi at $16 = 2^4$, så $x = 4$ direkte -- samme grunntall på begge sider betyr at eksponentene må være like. Tilsvarende med $5^{2x} = 125$: siden $125 = 5^3$ er $2x = 3$, altså $\displaystyle x = \frac{3}{2}$.

Men i $3^x = 50$ er $50$ ingen pen potens av $3$. Da tar vi logaritmen:

$$x = \log_3 50 = \frac{\ln 50}{\ln 3} \approx \frac{3{,}912}{1{,}099} \approx 3{,}56$$

Det vanskeligste tilfellet er når den ukjente står i eksponenten på begge sider, som i $2^{x+1} = 5^{x-2}$. Vi tar $\ln$ på begge sider og henter ned begge eksponentene: $(x+1)\ln 2 = (x-2)\ln 5$. Nå er dette bare en lineær ligning der $\ln 2$ og $\ln 5$ er konstanter! Vi ganger ut, samler $x$-leddene på én side og faktoriserer:

$$x(\ln 2 - \ln 5) = -2\ln 5 - \ln 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2\ln 5 + \ln 2}{\ln 5 - \ln 2} \approx 4{,}3$$

Behandle logaritmeverdiene som tallene de er, så oppfører ligningen seg pent.

Logaritmeligninger -- og fellen du må unngå

I en logaritmeligning står den ukjente inne i en logaritme, som i $\ln x = 3$. Nå går vi motsatt vei av i stad: vi bruker definisjonen $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$ og opphøyer grunntallet i begge sider. Fra $\ln x = 3$ får vi $x = e^3 \approx 20{,}09$. Fra $\lg(2x+1) = 2$ får vi $2x + 1 = 10^2 = 100$, altså $x = 49{,}5$.

Men logaritmeligninger har en felle som eksponentialligninger ikke har: logaritmen er bare definert for positive argumenter. Algebraen kan servere løsninger som ser plettfrie ut, men som gir negativt tall inn i logaritmen. Derfor må du alltid sjekke løsningene mot den opprinnelige ligningen.

Se på $\ln(x-1) + \ln(x+1) = \ln 8$. Produktregelen slår sammen venstresiden: $\ln[(x-1)(x+1)] = \ln 8$, så $(x-1)(x+1) = 8$, det vil si $x^2 - 1 = 8$ og $x = \pm 3$. To kandidater! For $x = 3$: argumentene blir $2$ og $4$, begge positive -- godkjent. For $x = -3$: argumentet $x - 1 = -4$ er negativt, og $\ln(-4)$ finnes ikke. Løsningen $x = -3$ er en falsk løsning som oppsto da vi slo sammen logaritmene. Svaret er $x = 3$ alene.

Når det står logaritmer på begge sider, samler vi alt til én logaritme på hver side og sammenligner argumentene. I $\log_2(x+3) = \log_2(2x-1) + 1$ skriver vi $1 = \log_2 2$, slår sammen høyresiden til $\log_2[2(2x-1)] = \log_2(4x-2)$, og leser av $x + 3 = 4x - 2$, som gir $\displaystyle x = \frac{5}{3}$. Sjekken viser at begge argumentene er positive, så løsningen står seg.

Halveringstid, doblingstid -- og beinfragmentets alder

Nå løser vi gåten fra innledningen. Eksponentiell endring beskrives med modellen $N(t) = N_0 \cdot a^t$, der $N_0$ er startmengden og $a$ er vekstfaktoren. To størrelser fanger dynamikken i ett tall. Doblingstiden $T_2$ er tiden det tar før mengden er doblet: $N_0 \cdot a^{T_2} = 2N_0$ gir $\displaystyle T_2 = \frac{\ln 2}{\ln a}$. Halveringstiden $T_{1/2}$ er tiden til halvparten gjenstår: $\displaystyle T_{1/2} = \frac{\ln(1/2)}{\ln a} = -\frac{\ln 2}{\ln a}$. Legg merke til at begge er uavhengige av $N_0$ -- en bakteriekoloni dobler seg like fort enten den er stor eller liten.

Tilbake til arkeologen. Karbon-14 har halveringstid $5730$ år, så mengden følger $\displaystyle N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$. Med $35\,\%$ igjen løser vi $\displaystyle 0{,}35 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$. Logaritmen henter ned eksponenten:

$$\ln 0{,}35 = \frac{t}{5730}\ln\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{5730 \cdot \ln 0{,}35}{\ln 0{,}5} \approx 8700 \text{ år}$$

Beinet er altså rundt $8700$ år gammelt -- fra steinalderen.

Samme verktøy virker på vekst. En bakteriekultur som dobler seg hver tredje time og starter med $1000$ bakterier, følger $N(t) = 1000 \cdot 2^{t/3}$. Når passerer den $50\,000$? Vi løser $2^{t/3} = 50$, tar logaritmen og får $\displaystyle \frac{t}{3} = \frac{\ln 50}{\ln 2} \approx 5{,}64$, altså $t \approx 17$ timer.

Mønsteret er det samme hver gang: sett opp modellen, isoler potensen, ta logaritmen, løs for tiden. Fire steg fra måling til svar.

Fortellingen i et nøtteskall

Et beinfragment fra steinalderen åpnet kapittelet, og nå kan du faktisk datere det selv. Underveis har du lært å fange den ukjente uansett hvor den gjemmer seg.

I eksponentialligninger står den ukjente i eksponenten. Våpenet er å ta logaritmen på begge sider, slik at regelen $\ln(a^r) = r\ln a$ henter den ned: $a^{f(x)} = b$ gir $\displaystyle f(x) = \frac{\ln b}{\ln a}$. Kan begge sider skrives med samme grunntall, sammenligner vi eksponentene direkte. Står den ukjente i eksponenten på begge sider, gir logaritmen oss en lineær ligning der $\ln 2$ og $\ln 5$ bare er tall.

I logaritmeligninger står den ukjente inne i logaritmen, og vi går motsatt vei: $\log_a f(x) = c$ gir $f(x) = a^c$. Men her lurer fellen -- logaritmen krever positive argumenter, så hver kandidat må sjekkes mot den opprinnelige ligningen. Falske løsninger, som $x = -3$ i $\ln(x-1) + \ln(x+1) = \ln 8$, skal avsløres og forkastes.

Til slutt så vi verktøyene i arbeid. Eksponentielle modeller $N(t) = N_0 \cdot a^t$ har doblingstid $\displaystyle T_2 = \frac{\ln 2}{\ln a}$ og halveringstid $\displaystyle T_{1/2} = -\frac{\ln 2}{\ln a}$, begge uavhengige av startmengden. Karbon-14-datering, bakterievekst, radioaktivt avfall, renters rente -- overalt er oppskriften den samme: modell, isolér potensen, logaritme, løs.

Den ukjente kan gjemme seg i en eksponent, men den kan ikke gjemme seg for logaritmen.