4.4 Skisse, nullpunkter og tangentlinje

$$f(x)=0$$

Merk skillet mot stasjonærpunktene: der er det $f'$ som er null, ikke $f$. De to har ingenting med hverandre å gjøre, og å regne ABC på feil av dem er en klassisk tidstyv.

$$x^{3}-3x^{2}=x^{2}(x-3)\ \Longrightarrow\ x=0\ \text{eller}\ x=3$$

Se alltid etter en felles faktor først; deretter kan ABC brukes på det som blir igjen. En faktor i annen potens gir et dobbelt nullpunkt — der berører grafen aksen uten å krysse den.

$$f(x)=x^{2}(x-3):\ \text{berører i}\ x=0,\ \text{krysser i}\ x=3$$

Grunnen er at $x^{2}$ ikke skifter fortegn i null — funksjonen kommer ned til aksen og snur, eller flater ut mot den. I skissen er dette et synlig og poenggivende detalj.

$$\text{vekstintervaller}+\text{krumning}+\text{ekstrempunkter}+\text{nullpunkter}\ \to\ \text{én kurve}$$

Sensor sammenligner skissen med dine egne resultater. Stemmer de, gir hvert element uttelling; strider de mot hverandre, faller poengene bort selv om regningen var riktig.

$$\text{(1) akser med enheter}\quad\text{(2) nullpunkter}\quad\text{(3) topp og bunn}\quad\text{(4) vendepunkt}\quad\text{(5) form utover}$$

Marker punktene med koordinater, og la kurven bøye slik $f''$ krever. Punkt fem er oppførselen i endene: for et polynom av odde grad går kurven i motsatte retninger, for like grad i samme.

$$f'<0\ \text{på}\ (0,2)\ \Longrightarrow\ \text{kurven MÅ falle der i skissen}$$

Det er dette som skiller en poenggivende skisse fra en dekorasjon. Får du en kurve som ikke lar seg tegne konsistent, er det som regel en fortegnsfeil et sted i skjemaet — og da har skissen gjort deg en tjeneste.

$$y-f(x_1)=f'(x_1)\,(x-x_1)$$

Stigningstallet er den deriverte i punktet, ikke funksjonsverdien. Det er samme formel som den lineære approksimasjonen i kap. 3.2 — tangenten er nettopp den lineære tilnærmingen, skrevet som en likning.

$$x=x_1\ \Longrightarrow\ y=f(x_1)+f'(x_1)\cdot 0=f(x_1)$$

Kontrollen tar fem sekunder og fanger både fortegnsfeil og forvekslingen av $f$ og $f'$. Den bør være standard før du går videre til neste delpunkt.

$$f'\ \text{over aksen}\ \Rightarrow\ f\ \text{vokser};\qquad f'\ \text{under}\ \Rightarrow\ f\ \text{avtar};\qquad f'\ \text{krysser}\ \Rightarrow\ \text{stasjonærpunkt}$$

Merk at det er posisjonen, ikke stigningen, til $f'$-kurven som teller. Stiger $f'$-kurven, betyr det at $f$ er konveks — det er en annen opplysning, og den kommer fra fortegnet på $f''$.

$$y=f(x_1)+f'(x_1)\,(x-x_1)$$

Funksjonsverdien gir høyden, den deriverte gir hellingen. Å bytte om de to er den vanligste enkeltfeilen i delpunktet, og kontrollen er å sette $x=x_1$ inn igjen og se om du får $f(x_1)$.

$$\text{posisjon (over/under aksen)}\ \to\ \text{vekst i }f;\qquad \text{stigning}\ \to\ \text{krumning i }f$$

Et bunnpunkt på $f'$-kurven er derfor et vendepunkt for $f$, ikke et bunnpunkt. Å blande de to avlesningene er den klassiske feilen i den omvendte oppgaven.

$$\text{grov skisse som stemmer}\ >\ \text{pen skisse som ikke stemmer}$$

Får du en kurve som ikke lar seg tegne uten å bryte med skjemaet, har du sannsynligvis en fortegnsfeil. Skissen er dermed også en kontroll på regningen, ikke bare et sluttprodukt.

$$f(x)=(x-a)^{2}g(x)\ \Longrightarrow\ \text{grafen berører aksen i}\ x=a$$

Fordi $(x-a)^{2}$ er positiv på begge sider, skifter ikke $f$ fortegn der. I skissen skal kurven komme ned til aksen og snu — et lite, men poenggivende detalj.

$$x_{\text{vende}}=\frac{x_{\text{topp}}+x_{\text{bunn}}}{2}$$

Grunnen er at $f''$ er lineær, så nullpunktet dens ligger midt mellom røttene til $f'$. Stemmer det ikke i din utregning, er det en regnefeil et sted — og kontrollen tar fem sekunder.

$$f'(x)=2x-4\ \Longrightarrow\ f(x)=x^{2}-4x+C$$

Formen ligger fast — vekst, krumning, ekstrempunkter og vendepunkter er de samme — men den loddrette plasseringen er ukjent. Derfor kan man aldri lese funksjonsverdier ut av en $f'$-graf.