Tilbake
5.1
Alle fag for Høyskole

5.1 Nivåkurver og deres helning

Helningen $y'(x)=-F'_x/F'_y$ langs en nivåkurve $F(x,y)=c$ — verktøyet bak indifferenskurver og isokvanter.

55 min
8 oppgaver
Nivåkurverderes helning
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Kapitlet bygger på kap. 1.2 (partiellderiverte) og kap. 3.1 (differensialet). Utledningen av helningsformelen starter nettopp i differensialet, så det er verdt å ha friskt.

Sist du var her — de to du trenger:

fx′=deriver mht. x, hold y konstant,fy′=deriver mht. y, hold x konstantf'_x=\text{deriver mht. }x\text{, hold }y\text{ konstant},\qquad f'_y=\text{deriver mht. }y\text{, hold }x\text{ konstant}

dF=Fx′ dx+Fy′ dydF=F'_x\,dx+F'_y\,dy

Du trenger dessuten kvotientregelen fra kap. 1.1 og kjerneregelen fra Kjerneregelen i R1 — begge brukes når kurven deriveres implisitt.

Du har 300 kroner å bruke på kaffe og boller, og du liker begge deler. Det finnes mange kombinasjoner som gjør deg like fornøyd: fire kaffe og to boller, eller tre kaffe og fire boller. Tegner du alle slike kombinasjoner i et diagram, får du en kurve.

Det er en nivåkurve. Den samler alle punktene der en funksjon — her tilfredsheten din — har samme verdi. Og det interessante spørsmålet er ikke hvor kurven ligger, men hvor bratt den er: hvor mange boller må du få for å gi fra deg én kaffe og fortsatt være like fornøyd?

Svaret på det spørsmålet er kurvens helning, og hele resten av økonomifaget bruker den. Den heter noe annet i hvert delfelt — bytteforhold, marginal substitusjonsrate, teknisk substitusjonsforhold — men det er én formel, og du utleder den på fire linjer.

Kapitlet er bygget som fire løkker: hva en nivåkurve er, utledningen av helningsformelen, implisitt derivasjon som alternativ vei, og den økonomiske tolkningen.

Løkke 1 — Hva en nivåkurve er (~12 min)

Nivåkurve
En nivåkurve er samlingen av alle punkter der funksjonen har én og samme verdi.

F(x,y)=cF(x,y)=c

Tallet cc kalles nivået. Endrer du cc, får du en ny kurve i samme diagram. Navnet kommer fra kart: høydekotene på et turkart er nivåkurver for terrenghøyden, og hver kote binder sammen alle punktene som ligger like høyt.

Nivåkurvekart
Tegner du flere nivåer i samme diagram, får du et kart over hele funksjonen — uten å tegne den i tre dimensjoner.

F(x,y)=c1,F(x,y)=c2,F(x,y)=c3, …F(x,y)=c_1,\quad F(x,y)=c_2,\quad F(x,y)=c_3,\ \dots

Tett mellom kurvene betyr at funksjonen endrer seg raskt; stor avstand betyr at den endrer seg sakte. To nivåkurver med ulikt nivå kan aldri skjære hverandre, for da ville funksjonen hatt to verdier i samme punkt.

Implisitt gitt funksjon y=y(x)y=y(x)
Langs en nivåkurve bestemmer xx som regel yy — selv når vi ikke kan skrive en formel for sammenhengen.

F(x,y(x))=cF\big(x,y(x)\big)=c

Vi sier at likningen gir yy implisitt som funksjon av xx. Nøkkelen til hele kapitlet ligger i denne skrivemåten: så snart yy er en funksjon av xx, kan vi snakke om y′(x)y'(x) — og siden må vi huske det når vi deriverer videre.

✏️Eksempel 1: Nivåkurvene til et produkt

La F(x,y)=xyF(x,y)=xy, der xx og yy begge er positive.

a) Skriv nivåkurven F(x,y)=12F(x,y)=12 på formen y=y(x)y=y(x).

b) Finn tre punkter på kurven, og beskriv hvordan den ser ut.

c) Ligger punktet (2,5)(2,5) på kurven? Hva sier det om nivået der?

a) Vi løser xy=12xy=12 for yy. For x>0x>0 kan vi dele på xx:

y=12xy=\frac{12}{x}

Dette er en hyperbelgren i første kvadrant.

b) Tre punkter: (2,6)(2,6), (3,4)(3,4) og (6,2)(6,2). I alle tre er produktet 12 ✓.

Formen: kurven faller hele veien — jo større xx, jo mindre yy må til for å holde produktet på 12. Den nærmer seg begge aksene uten å nå dem: for x→∞x\to\infty går y→0y\to 0, og for x→0+x\to 0^{+} går y→∞y\to\infty. Kurven bøyer dessuten oppover (den flater ut mot høyre) — det viser vi i kap. 5.2.

c) Sett inn: F(2,5)=2⋅5=10≠12F(2,5)=2\cdot 5=10\ne 12. Punktet ligger altså ikke på kurven xy=12xy=12, men på nivåkurven xy=10xy=10, som ligger nærmere origo.

Merk hvordan nivåene ordner seg. Kurvene for c=10c=10, c=12c=12 og c=20c=20 ligger som skall utenpå hverandre, med den laveste verdien innerst. Det er den strukturen som gjør at man kan lese av hele funksjonen fra kartet: å bevege seg utover betyr høyere verdi.

📝Oppgave 1
NK

La F(x,y)=x+2yF(x,y)=x+2y.

a) Skriv nivåkurven F(x,y)=10F(x,y)=10 på formen y=y(x)y=y(x).

b) Hvilken form har kurven?

c) Ligger punktet (4,3)(4,3) på kurven?

Løkke 2 — Helningsformelen, utledet (~15 min)

Utledning med intuisjon

Dette er en av de få utledningene eksamen kan be om direkte. Den er fire steg lang, og hvert steg har en tolkning du bør kunne si i én setning.

---

Steg 1 — skriv opp differensialet til FF.

dF=Fx′ dx+Fy′ dydF=F'_x\,dx+F'_y\,dy

Intuisjon: flytter vi oss litt i planet, endres FF av to grunner — litt fordi xx endret seg, litt fordi yy endret seg. Differensialet fra kap. 3.1 legger de to bidragene sammen.

---

Steg 2 — bruk at vi holder oss på kurven.

dF=0dF=0

Intuisjon: langs nivåkurven er funksjonsverdien konstant lik cc. Beveger vi oss langs kurven, endres altså ikke FF i det hele tatt — den samlede endringen er null. Dette er hele grunnen til at nivåkurver har en helning som kan regnes ut.

---

Steg 3 — sett de to sammen og flytt over.

Fx′ dx+Fy′ dy=0 ⟹ Fy′ dy=−Fx′ dxF'_x\,dx+F'_y\,dy=0\ \Longrightarrow\ F'_y\,dy=-F'_x\,dx

Intuisjon: de to bidragene må oppheve hverandre nøyaktig. Trekker xx-bidraget funksjonsverdien opp, må yy-bidraget trekke like mye ned. Minustegnet i formelen kommer inn her, og det er ikke en regneteknisk detalj — det er selve balansekravet.

---

Steg 4 — del på Fy′ dxF'_y\,dx.

dydx=−Fx′Fy′,Fy′≠0\frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x}{F'_y},\qquad F'_y\ne 0

Intuisjon: forholdet mellom skrittene bestemmes av forholdet mellom følsomhetene. Er FF svært følsom for xx og lite følsom for yy, må yy bevege seg mye for å veie opp et lite skritt i xx — og da er kurven bratt.

---

Merk betingelsen Fy′≠0F'_y\ne 0. Vi delte på Fy′F'_y, og det krever at den ikke er null. Er Fy′=0F'_y=0 i et punkt, står kurven loddrett der, og y′y' finnes ikke. Å nevne betingelsen er en billig markør på at du har oversikt — og den koster deg én linje.

📜Nivåkurvens helning
For nivåkurven F(x,y)=cF(x,y)=c, der yy er gitt implisitt som funksjon av xx, er helningen

y′(x)=−Fx′Fy′,Fy′≠0.y'(x)=-\frac{F'_x}{F'_y},\qquad F'_y\ne 0.

Fortegnet på y′y' avgjør om kurven stiger eller faller. Har Fx′F'_x og Fy′F'_y samme fortegn, er y′<0y'<0 og kurven faller. Har de motsatt fortegn, er y′>0y'>0 og kurven stiger.

Det vanlige tilfellet i økonomi er at begge er positive — mer av begge goder gir høyere nytte — og da faller kurven alltid.

Betingelsen Fy′≠0F'_y\ne 0
Formelen krever at nevneren ikke er null, og det er en reell begrensning, ikke en formalitet.

Fy′=0 ⟹ kurven sta˚r loddrett; y′ finnes ikkeF'_y=0\ \Longrightarrow\ \text{kurven står loddrett; }y'\text{ finnes ikke}

Et eksempel er sirkelen x2+y2=25x^{2}+y^{2}=25 i punktet (5,0)(5,0): der er Fy′=2y=0F'_y=2y=0, og kurven har en loddrett tangent. I de aller fleste eksamensoppgavene er Fy′≠0F'_y\ne 0 i hele det aktuelle området, men å si det er verdt et halvt poeng.

Hva fortegnet på y′y' forteller
Helningens fortegn leses direkte av fortegnene til de to partiellderiverte.

y′<0 (fallende)na˚rFx′ og Fy′ har samme fortegny'<0\ \text{(fallende)}\quad\text{når}\quad F'_x\ \text{og}\ F'_y\ \text{har samme fortegn}

Er begge positive — som for en nyttefunksjon der begge goder er ønsket — må mer av det ene kompenseres med mindre av det andre. Kurven faller. Er Fy′<0F'_y<0 mens Fx′>0F'_x>0, snur konklusjonen, og kurven stiger.

✏️Eksempel 2: Helningen på to måter

For nivåkurven xy=12xy=12 med x,y>0x,y>0:

a) Finn y′(x)y'(x) med formelen −Fx′/Fy′-F'_x/F'_y.

b) Finn y′(x)y'(x) ved å løse for yy og derivere direkte.

c) Vis at de to svarene er like, og tolk fortegnet.

a) Med formelen. Sett F(x,y)=xyF(x,y)=xy. Da er

Fx′=y,Fy′=xF'_x=y,\qquad F'_y=x

y′(x)=−Fx′Fy′=−yxy'(x)=-\frac{F'_x}{F'_y}=-\frac{y}{x}

Betingelsen Fy′=x≠0F'_y=x\ne 0 er oppfylt siden x>0x>0.

b) Ved å løse eksplisitt. Fra xy=12xy=12 får vi y=12x−1y=12x^{-1}, som deriveres direkte:

y′(x)=−12x−2=−12x2y'(x)=-12x^{-2}=-\frac{12}{x^{2}}

c) Sammenligning. De to uttrykkene ser ulike ut, men de er det samme. Sett y=12/xy=12/x inn i svaret fra a):

−yx=−12/xx=−12x2-\frac{y}{x}=-\frac{12/x}{x}=-\frac{12}{x^{2}}

Identisk ✓.

Merk forskjellen i form. Formelen gir svaret uttrykt i både xx og yy; den eksplisitte veien gir det i xx alene. Begge er riktige, og sensor godtar begge. Formelvarianten er den vanlige på eksamen, fordi den virker også når yy ikke lar seg isolere.

Tolkning av fortegnet: både Fx′=yF'_x=y og Fy′=xF'_y=x er positive i første kvadrant, så y′=−y/x<0y'=-y/x<0 og kurven faller overalt. Det stemmer med bildet: skal produktet holdes konstant, må den ene faktoren ned når den andre går opp.

Størrelsen på helningen er y/xy/x, altså forholdet mellom koordinatene. I (2,6)(2,6) er helningen −3-3 (bratt), i (6,2)(6,2) er den −1/3-1/3 (slak). Kurven flater ut mot høyre.

📝Oppgave 2
Sjanger NK

Finn y′(x)y'(x) med formelen −Fx′/Fy′-F'_x/F'_y for hver nivåkurve:

a) x2+y=7x^{2}+y=7

b) 3x+5y=203x+5y=20

c) x2y3=72x^{2}y^{3}=72 med x,y>0x,y>0

📝Oppgave 3
Sjanger NK

En bedrift har produktfunksjonen F(K,L)=K1/2L1/2F(K,L)=K^{1/2}L^{1/2} og holder produksjonen fast på Yˉ=10\bar Y=10. Vi tegner KK langs den loddrette aksen og LL langs den vannrette.

a) Finn FK′F'_K og FL′F'_L.

b) Finn helningen dKdL\dfrac{dK}{dL} langs kurven F(K,L)=10F(K,L)=10.

c) Regn ut helningen i punktet (K,L)=(10,10)(K,L)=(10,10), og tolk tallet.

Løkke 3 — Implisitt derivasjon som alternativ vei (~12 min)

Implisitt derivasjon
Implisitt derivasjon er å derivere hele likningen med hensyn på xx, mens man husker at yy selv er en funksjon av xx.

ddx[F(x,y(x))]=ddx c=0\frac{d}{dx}\Big[F\big(x,y(x)\big)\Big]=\frac{d}{dx}\,c=0

I praksis betyr det at hver gang du deriverer et ledd som inneholder yy, må kjerneregelen brukes og faktoren y′y' dukker opp. Til slutt løser du den likningen for y′y'. Metoden gir alltid samme svar som formelen, og sensor godtar begge veier.

Faktoren y′y' fra kjerneregelen
Den ene tingen som skiller implisitt derivasjon fra vanlig derivasjon, er at yy-ledd gir en ekstra faktor.

ddx yn=n yn−1 y′,ddx(xy)=y+x y′\frac{d}{dx}\,y^{n}=n\,y^{n-1}\,y',\qquad \frac{d}{dx}\big(xy\big)=y+x\,y'

Glemmer du faktoren y′y', har du behandlet yy som en konstant, og svaret blir galt. Denne vanen er dessuten selve nøkkelen til kap. 5.2, der den samme påminnelsen kommer tilbake som fagets feil #3.

✏️Eksempel 3: Implisitt derivasjon på en ellipse
Betrakt nivåkurven

x2+4y2=25,x^{2}+4y^{2}=25,

og se på den øvre halvdelen, der y>0y>0.

a) Finn y′(x)y'(x) ved implisitt derivasjon.

b) Kontroller svaret med formelen −Fx′/Fy′-F'_x/F'_y.

c) Regn ut helningen i punktet (3,2)(3,2), og bekreft at punktet ligger på kurven.

a) Implisitt derivasjon. Vi deriverer begge sider mht. xx og husker at y=y(x)y=y(x).

Leddet x2x^{2} gir 2x2x. Leddet 4y24y^{2} gir, med kjerneregelen, 8y y′8y\,y'. Høyresiden er en konstant og gir 0:

2x+8y y′=02x+8y\,y'=0

Løs for y′y':

8y y′=−2x ⟹ y′=−2x8y=−x4y8y\,y'=-2x\ \Longrightarrow\ y'=-\frac{2x}{8y}=-\frac{x}{4y}

b) Kontroll med formelen. Sett F(x,y)=x2+4y2F(x,y)=x^{2}+4y^{2}. Da er Fx′=2xF'_x=2x og Fy′=8yF'_y=8y, så

y′=−Fx′Fy′=−2x8y=−x4yy'=-\frac{F'_x}{F'_y}=-\frac{2x}{8y}=-\frac{x}{4y}

Identisk ✓. De to veiene er den samme regningen, sett fra to kanter.

c) Først kontrollen: 32+4⋅22=9+16=253^{2}+4\cdot 2^{2}=9+16=25 ✓, så punktet ligger på kurven.

y′(3)=−34⋅2=−38=−0,375y'(3)=-\frac{3}{4\cdot 2}=-\frac{3}{8}=-0{,}375

Tolkning: kurven faller i dette punktet, og ganske slakt — går vi én enhet mot høyre, faller yy med omtrent 0,3750{,}375.

Merk hvorfor vi begrenset oss til y>0y>0. Hele ellipsen er ikke en funksjonsgraf: over hver xx mellom −5-5 og 55 ligger det to yy-verdier. Skrivemåten y=y(x)y=y(x) krever at vi velger én av halvdelene. På nedre halvdel (y<0y<0) gir samme formel positiv helning — kurven stiger der.

📝Oppgave 4
Sjanger NK

Finn y′(x)y'(x) ved implisitt derivasjon, og kontroller med formelen −Fx′/Fy′-F'_x/F'_y:

a) x2+y2=25x^{2}+y^{2}=25

b) xy+y2=20xy+y^{2}=20

c) x+ln⁡y=3x+\ln y=3 med y>0y>0

— naturlig pausepunkt —

Så langt er alt regneteknikk. Resten av kapitlet handler om hva tallet y′y' betyr — og det er den delen som kommer igjen i Lagrange-oppgaven i Del 8.

Løkke 4 — Den økonomiske lesningen (~16 min)

Indifferenskurve
En indifferenskurve er nivåkurven til en nyttefunksjon: alle vareknipper som gjør konsumenten like fornøyd.

U(x,y)=uˉU(x,y)=\bar u

Ordet «indifferent» betyr likegyldig — konsumenten er likegyldig mellom to punkter på samme kurve. Kurver lenger fra origo betyr høyere nytte, og siden mer av begge goder er bedre (Ux′>0U'_x>0 og Uy′>0U'_y>0), faller kurvene alltid.

Isokvant
En isokvant er nivåkurven til en produktfunksjon: alle kombinasjoner av innsatsfaktorer som gir samme produserte mengde.

F(K,L)=YˉF(K,L)=\bar Y

Navnet betyr «lik mengde». Isokvanten svarer på spørsmålet: hvor mye mer kapital trengs hvis vi kutter én arbeidstime og likevel skal produsere like mye? Den brukes i kostnadsminimering i kap. 9.2.

Marginal substitusjonsrate (MRS)
Den marginale substitusjonsraten — forkortet MRS — er hvor mye av det ene godet du må få for å gi fra deg én enhet av det andre og fortsatt være like fornøyd.

MRS=∣ y′ ∣=Ux′Uy′\mathrm{MRS}=\left|\,y'\,\right|=\frac{U'_x}{U'_y}

Med andre ord: MRS er helningen på indifferenskurven, uten fortegnet. Den er et bytteforhold, ikke en pris — den sier hva konsumenten selv synes, ikke hva markedet krever. Faller MRS når man beveger seg mot høyre langs kurven, kalles det avtakende marginal substitusjonsrate, og det er tema i kap. 5.2.

Broen til Lagrange: MRS = prisforhold
I optimum velger konsumenten det punktet der hennes eget bytteforhold er lik markedets.

MRS=Ux′Uy′=p1p2\mathrm{MRS}=\frac{U'_x}{U'_y}=\frac{p_1}{p_2}

Det betyr geometrisk at indifferenskurven tangerer budsjettlinjen p1x+p2y=mp_1x+p_2y=m: de to har samme helning i optimumspunktet. Hele Lagrange-metoden i kap. 8.2 er en algebraisk måte å finne det tangeringspunktet på — og helningsformelen du har lært her, er halve begrunnelsen.

✏️Eksempel 4: Eksamensnivå — indifferenskurve og bytteforhold
En husholdning har nyttefunksjonen

U(x,y)=x y,x,y>0,U(x,y)=\sqrt{x}\,\sqrt{y},\qquad x,y>0,

der xx er strøm og yy er alt annet forbruk.

a) Finn helningen y′(x)y'(x) langs indifferenskurven U(x,y)=6U(x,y)=6, og avgjør om kurven stiger eller faller. Begrunn.

b) Skriv kurven eksplisitt og kontroller svaret i a).

c) Regn ut den marginale substitusjonsraten i punktene (3,12)(3,12) og (9,4)(9,4), og tolk forskjellen.

d) Prisene er p1=2p_1=2 og p2=1p_2=1. I hvilket punkt på kurven er MRS lik prisforholdet?

a) Vi bruker formelen. De partiellderiverte er

Ux′=12x−1/2y1/2=12yx,Uy′=12xyU'_x=\frac{1}{2}x^{-1/2}y^{1/2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}},\qquad U'_y=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}

y′(x)=−Ux′Uy′=−y/xx/y=−yxy'(x)=-\frac{U'_x}{U'_y}=-\frac{\sqrt{y}/\sqrt{x}}{\sqrt{x}/\sqrt{y}}=-\frac{y}{x}

Begrunnelse for fortegnet: i første kvadrant er både Ux′>0U'_x>0 og Uy′>0U'_y>0 (mer av begge goder gir høyere nytte), og x,y>0x,y>0. Derfor er y′=−y/x<0y'=-y/x<0 i hele området, og kurven faller overalt. Betingelsen Uy′≠0U'_y\ne 0 er oppfylt.

b) Eksplisitt kontroll. Fra xy=6\sqrt{xy}=6 får vi xy=36xy=36, altså y=36/xy=36/x. Derivert:

y′=−36x2y'=-\frac{36}{x^{2}}

Setter vi y=36/xy=36/x inn i svaret fra a), får vi −36/xx=−36x2-\dfrac{36/x}{x}=-\dfrac{36}{x^{2}} ✓. Samme svar.

c) Marginal substitusjonsrate er tallverdien av helningen, altså MRS=y/x\mathrm{MRS}=y/x.

I (3,12)(3,12): kontroller først at punktet ligger på kurven — 3⋅12=363\cdot 12=36 ✓. Da er

MRS=123=4\mathrm{MRS}=\frac{12}{3}=4

I (9,4)(9,4): 9⋅4=369\cdot 4=36 ✓, og

MRS=49≈0,44\mathrm{MRS}=\frac{4}{9}\approx 0{,}44

Tolkning. I (3,12)(3,12) har husholdningen lite strøm og mye annet. Der er den villig til å gi fra seg 4 enheter annet forbruk for å få én enhet strøm til. I (9,4)(9,4) er situasjonen snudd: der gir hun bare fra seg 0,440{,}44 enheter annet forbruk for én enhet strøm.

Bytteforholdet faller altså når hun får mer strøm. Det er avtakende marginal substitusjonsrate, og det er nettopp den egenskapen som gjør at kurven bøyer oppover — vist formelt i kap. 5.2.

d) Vi setter MRS lik prisforholdet:

yx=p1p2=21=2 ⟹ y=2x\frac{y}{x}=\frac{p_1}{p_2}=\frac{2}{1}=2\ \Longrightarrow\ y=2x

Sammen med kurvens likning xy=36xy=36 gir det

x⋅2x=36 ⟹ x2=18 ⟹ x=18=32≈4,24x\cdot 2x=36\ \Longrightarrow\ x^{2}=18\ \Longrightarrow\ x=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4{,}24

og dermed y=2x=62≈8,49y=2x=6\sqrt{2}\approx 8{,}49.

Kontroll: xy=32⋅62=18⋅2=36xy=3\sqrt2\cdot 6\sqrt2=18\cdot 2=36 ✓, og y/x=2y/x=2 ✓.

Konklusjon: tangeringspunktet er (32, 62)(3\sqrt2,\,6\sqrt2). Det er nøyaktig det punktet Lagrange-metoden i kap. 8.2 vil finne — bare langs en annen vei.

📝Oppgave 5
Sjanger NK

En husholdning har nyttefunksjonen U(x,y)=x1/3y2/3U(x,y)=x^{1/3}y^{2/3} med x,y>0x,y>0.

a) Finn Ux′U'_x og Uy′U'_y.

b) Finn helningen y′(x)y'(x) langs en indifferenskurve, og forenkl.

c) Skriv opp den marginale substitusjonsraten, og regn den ut i punktet (8,8)(8,8).

📝Oppgave 6
Sjanger SU

Avgjør om hver påstand er sann eller usann, og begrunn med utregning.

a) «For nivåkurven x2+y2=4x^{2}+y^{2}=4 er y′=xyy'=\dfrac{x}{y}.»

b) «Dersom Fx′>0F'_x>0 og Fy′<0F'_y<0, faller nivåkurven.»

c) «Nivåkurvene til F(x,y)=2x+3yF(x,y)=2x+3y er parallelle rette linjer.»

📝Oppgave 7
Sjanger NK
Betrakt nivåkurven

xy+y2=20,x,y>0.xy+y^{2}=20,\qquad x,y>0.

a) Finn y′(x)y'(x) med formelen −Fx′/Fy′-F'_x/F'_y, og med implisitt derivasjon. Vis at de gir samme svar.

b) Avgjør om kurven stiger eller faller i første kvadrant. Begrunn.

c) Punktet (1,4)(1,4) ligger på kurven. Finn helningen der, og skriv opp tangentlinjens likning.

📝Oppgave 8
Sjanger NK

La FF være en deriverbar funksjon av to variabler med Fx′>0F'_x>0 og Fy′>0F'_y>0 i hele første kvadrant, og betrakt nivåkurven F(x,y)=cF(x,y)=c.

a) Vis at kurven faller i hele første kvadrant.

b) En student hevder: «Siden Fx′F'_x og Fy′F'_y begge er positive, er kurven brattest der Fx′F'_x er størst.» Vurder påstanden.

c) La i tillegg G(x,y)=(F(x,y))3G(x,y)=\big(F(x,y)\big)^{3}. Vis at GG og FF har nøyaktig samme nivåkurver med samme helning, og forklar hvorfor det er nyttig.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Helningsformelen
Den ene formelen hele kapitlet handler om, verdt å kunne utenat i begge retninger.

y′(x)=−Fx′Fy′,Fy′≠0y'(x)=-\frac{F'_x}{F'_y},\qquad F'_y\ne 0

Den frie variabelens deriverte står i telleren, den avhengiges i nevneren, og minustegnet kommer fra at de to bidragene til dFdF skal oppheve hverandre. Sensor forventer denne veien, men godtar implisitt derivasjon som likeverdig.

Nivåkurven til en Cobb-Douglas-funksjon
For funksjonstypen som dominerer faget, har helningen en form du kan skrive ned direkte.

U=xαyβ ⟹ y′=−α yβ xU=x^{\alpha}y^{\beta}\ \Longrightarrow\ y'=-\frac{\alpha\,y}{\beta\,x}

Forholdet mellom eksponentene er hele svaret. For U=xyU=\sqrt{x}\sqrt{y} er α=β=12\alpha=\beta=\tfrac12, og helningen blir −y/x-y/x. Å kjenne igjen dette sparer et halvt minutt hver gang.

Nivåkurver tåler strengt voksende omforminger
Bytter du FF med en strengt voksende funksjon av FF, endres verken kurvene eller helningen.

G=g(F), g′>0 ⟹ yG′=yF′G=g(F),\ g'>0\ \Longrightarrow\ y'_{G}=y'_{F}

Grunnen er at faktoren g′(F)g'(F) opptrer i både teller og nevner og forkortes bort. Praktisk betyr det at xy\sqrt{xy} kan erstattes med xyxy, og xαyβx^{\alpha}y^{\beta} med αln⁡x+βln⁡y\alpha\ln x+\beta\ln y — samme kurver, mye lettere regning.

Når helningen ikke finnes
I punkter der nevneren er null, står kurven loddrett og y′y' er udefinert.

Fy′=0 ⟹ loddrett tangentF'_y=0\ \Longrightarrow\ \text{loddrett tangent}

Sirkelen x2+y2=25x^{2}+y^{2}=25 har dette i (5,0)(5,0) og (−5,0)(-5,0). Der er ikke yy en funksjon av xx i det hele tatt, siden kurven vender om. I økonomiske modeller med x,y>0x,y>0 inntreffer det sjelden, men å nevne at det er sjekket, viser oversikt.

Helning i et punkt mot helningsfunksjon
Formelen gir et uttrykk; oppgaven spør ofte etter et tall.

y′=−yx(uttrykk),y′(3)=−43(tall i punktet (3,4))y'=-\frac{y}{x}\quad\text{(uttrykk)},\qquad y'(3)=-\frac{4}{3}\quad\text{(tall i punktet }(3,4))

Skal du regne ut helningen i et punkt, må du først kontrollere at punktet faktisk ligger på kurven. Setter du inn et punkt som ikke gjør det, får du et tall — men det tallet svarer ikke på noe.

To likeverdige veier til svaret
Sensor godtar begge metodene fullt ut, så velg etter hva som er raskest.

formelen −Fx′Fy′ellerimplisitt derivasjon av F(x,y)=c\text{formelen }-\frac{F'_x}{F'_y}\qquad\text{eller}\qquad\text{implisitt derivasjon av }F(x,y)=c

Formelen er raskest når FF er lett å partiellderivere. Implisitt derivasjon er ofte lettere når likningen har få og enkle ledd — og den er alltid den beste kontrollen, fordi den er en helt uavhengig regning.

Kontroll ved å løse eksplisitt
Lar likningen seg løse for yy, har du en gratis fasit.

xy=12 ⟹ y=12x ⟹ y′=−12x2=−yxxy=12\ \Longrightarrow\ y=\frac{12}{x}\ \Longrightarrow\ y'=-\frac{12}{x^{2}}=-\frac{y}{x}

Regn begge veier og se om de stemmer. Kontrollen tar under et minutt og fanger både glemte minustegn og ombytte av teller og nevner. På eksamen er den vel anvendt tid når svaret skal bæres videre til neste delpunkt.

Slik ser en nivåkurve ut

Figur i ord — nivåkurve med tangent. Tegn et vanlig koordinatsystem med xx vannrett og yy loddrett, og hold deg i første kvadrant (begge positive). Kurven F(x,y)=cF(x,y)=c kommer inn høyt oppe til venstre, faller bratt til å begynne med, og flater deretter ut mot høyre uten å treffe xx-aksen. Den ligner en glidebane sett fra siden.

Marker et punkt (x0,y0)(x_0,y_0) et sted midt på kurven, med stiplede hjelpelinjer ned til xx-aksen og bort til yy-aksen, slik at koordinatene kan leses av. Legg en rett linje gjennom punktet som berører kurven uten å krysse den: det er tangenten, og stigningstallet dens er y′=−Fx′/Fy′y'=-F'_x/F'_y. Fordi kurven faller, heller linjen nedover mot høyre.

Tegn til slutt en kurve til, litt lenger ut fra origo. Det er nivåkurven for et høyere nivå cc. De to kurvene har samme form og krysser aldri hverandre.

Leser du diagrammet økonomisk, er den nederste kurven en indifferenskurve for lav nytte og den øverste for høyere nytte, og tangentens bratthet er den marginale substitusjonsraten i punktet.

Repetisjonsoppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.