5.2 Krumning på nivåkurven: $y''$ og «husk at $y=y(x)$»

Andrederiverten $y''(x)$ på nivåkurven — og den kritiske feilen sensor advarer mot: å glemme at $y$ er en funksjon av $x$.

50 min

8 oppgaver

Krumning på nivåkurven$y''$husk at $y=y(x)$

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Nivåkurver og deres helning

Brukes videre i

5.PPrøver til del 5: Nivåkurver og implisitt derivasjon

Her ligger den ene feilen sensor har skrevet en egen fotnote om.

Krumning på nivåkurven er fast del av NK-oppgaven — sjanger NK, nivåkurve og implisitt derivasjon, som står i 12 av 16 sett i arkivet (75 prosent) og i alle 9 ordinære. Når temaet kommer som storoppgave blant Oppgave 3–5, følger konveksitetsspørsmålet nesten alltid rett etter helningen.

Feilen sensor advarer eksplisitt mot: når du deriverer $y'$ én gang til, må du huske at $y$ selv er en funksjon av $x$ . Glemmer du det, får du ofte riktig fortegn på svaret — og likevel lite uttelling, fordi fremgangsmåten er feil. Det er fagets feil #3, og den er lumsk nettopp fordi den ikke alltid røper seg i sluttsvaret.

Det oppgaven ber om: finn $y''(x)$ langs kurven, avgjør fortegnet i det aktuelle området, og konkluder om kurven er konveks eller konkav — gjerne med en skisse og en økonomisk tolkning.

Merk kravet om område, ikke punkt. En påstand om at kurven er konveks, skal begrunnes for hele det området du påstår det i — ikke bare i ett innsatt punkt. Å regne ut $y''$ i ett tall og konkludere generelt er samme type feil som å «bevise» et globalt ekstrempunkt ved innsetting.

Kapitlet har høyeste prioritet.

Forkunnskaper. Kapitlet forutsetter kap. 5.1 (helningen

y'=-F'_x/F'_y

) og kap. 1.1 (produkt- og kvotientregelen). Den siste oppgaven bruker i tillegg kap. 1.2 (andreordens partiellderiverte

F''_{xx}

F''_{xy}

) og kap. 1.3 (kjerneregelen for flere variabler) — resten av kapitlet klarer seg uten dem. Krumningsbegrepet i seg selv utdypes i kap. 4.1, men alt du trenger her, står i løkke 2.

Sist du var her — de to formlene alt bygger på:

$y'(x)=-\frac{F'_x}{F'_y},\qquad F'_y\ne 0$

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

Og den ene påminnelsen hele kapitlet dreier seg om: langs kurven er $y=y(x)$ , så $\dfrac{d}{dx}y=y'$ .

I forrige kapittel fant du at bytteforholdet mellom strøm og annet forbruk var 4 i ett punkt på indifferenskurven og 0,44 i et annet. Bytteforholdet var altså ikke konstant — det falt når husholdningen fikk mer strøm.

Det er en helt allmenn observasjon: har du mye av noe, gir du det lettere fra deg. Og den observasjonen har en presis matematisk form: helningen $y'$ blir mindre bratt etter hvert som du beveger deg mot høyre, altså vokser $y'$ (fra $-4$ mot $-0{,}44$ ). At en derivert vokser, betyr at den andrederiverte er positiv.

Så: $y''>0$ langs kurven er nøyaktig det samme som avtakende bytteforhold. Det er hele koblingen mellom matematikken og økonomien i dette kapitlet.

Kapitlet er bygget som tre løkker: å derivere $y'$ én gang til, å lese fortegnet, og oppskriften med eksamensdrill.

Løkke 1 — Å derivere $y'$ én gang til (~15 min)

Andrederiverten

y''

på nivåkurven

y''(x)=\frac{d}{dx}\left(-\frac{F'_x}{F'_y}\right)

Den kritiske påminnelsen:

y=y(x)

y

Feil #3: å glemme at

y=y(x)

— riktig fortegn, feil metode

Dette er den ene feilen i temaet som sensor har kommentert eksplisitt, og den er farlig fordi den ofte gir riktig konklusjon.

Slik ser feilen ut. Anta $y'=-\dfrac{y}{x}$ og at studenten skal finne $y''$ . Behandler han $y$ som en konstant, får han

$y''\stackrel{\text{feil}}{=}-y\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac1x\right)=\frac{y}{x^{2}}$

Det korrekte er noe annet. Kvotientregelen, med $y$ som funksjon av $x$ :

$y''=-\frac{y'\cdot x-y\cdot 1}{x^{2}}=-\frac{\left(-\dfrac{y}{x}\right)x-y}{x^{2}}=-\frac{-y-y}{x^{2}}=\frac{2y}{x^{2}}$

Legg merke til hva som skjedde. Det gale svaret $y/x^{2}$ og det riktige $2y/x^{2}$ har samme fortegn. Konklusjonen «kurven er konveks» blir altså riktig i begge tilfeller — men bare den ene besvarelsen får uttelling, fordi metoden bærer poengene, ikke svaret.

Vaksinen: før du deriverer, skriv én linje: «Langs kurven er $y=y(x)$ , så hvert $y$ -ledd gir en faktor $y'$ .» Deretter setter du inn uttrykket for $y'$ underveis. To ekstra linjer, og feilen er umulig å gjøre.

✏️Eksempel 1: Full utledning av $y''$, steg for steg

For nivåkurven $xy=12$ med $x,y>0$ :

a) Finn $y'(x)$ .

b) Finn $y''(x)$ , og vis hvert sted du bruker at $y=y(x)$ .

c) Avgjør om kurven er konveks eller konkav i første kvadrant. Begrunn.

d) Kontroller svaret ved å løse likningen eksplisitt.

a) Med

F(x,y)=xy

F'_x=y

F'_y=x

, så

$y'=-\frac{y}{x}$

b) Deriver én gang til. Vi bruker kvotientregelen på $-\dfrac{y}{x}$ , med teller $y$ og nevner $x$ .

Her er stedet der $y=y(x)$ gjør seg gjeldende: den deriverte av telleren er ikke null, men $y'$ .

$y''=-\frac{y'\cdot x-y\cdot 1}{x^{2}}$

Sett inn uttrykket for $y'$ fra a) — dette er steg to som mange hopper over:

$y'\cdot x=\left(-\frac{y}{x}\right)x=-y$

$y''=-\frac{-y-y}{x^{2}}=-\frac{-2y}{x^{2}}=\frac{2y}{x^{2}}$

c) Fortegn og konklusjon. I første kvadrant er $y>0$ og $x^{2}>0$ , så

$y''=\frac{2y}{x^{2}}>0\quad\text{for alle }x,y>0$

Konklusjon: nivåkurven er konveks i hele første kvadrant, fordi $y''>0$ overalt der.

Merk at konklusjonen gjelder et område, ikke et punkt — vi har vist fortegnet for alle $x>0$ , ikke bare for én verdi.

d) Kontroll. Fra $xy=12$ får vi $y=12x^{-1}$ , som deriveres to ganger:

$y'=-12x^{-2},\qquad y''=24x^{-3}=\frac{24}{x^{3}}$

Stemmer dette med $2y/x^{2}$ ? Sett inn $y=12/x$ :

$\frac{2y}{x^{2}}=\frac{2\cdot 12/x}{x^{2}}=\frac{24}{x^{3}}$

Identisk ✓.

Økonomisk lesning. Er dette en indifferenskurve, betyr $y''>0$ at bytteforholdet avtar: jo mer $x$ konsumenten har, jo mindre $y$ er hun villig til å gi fra seg for én enhet til. Det er standardantakelsen i konsumentteori, og den er grunnen til at indifferenskurver alltid tegnes med bunnen inn mot origo.

📝Oppgave 1

La $y'=-\dfrac{y}{2x}$ langs en nivåkurve, med $x,y>0$ .

a) Skriv opp den deriverte av telleren $-y$ med hensyn på $x$ , og forklar hvorfor den ikke er null.

b) Bruk kvotientregelen til å finne $y''$ , og sett inn uttrykket for $y'$ underveis.

c) Hva er fortegnet til $y''$ i første kvadrant?

📝Oppgave 2

Sjanger NK

La nivåkurven være $x^{2}y^{3}=72$ med $x,y>0$ .

a) Finn $y'(x)$ med formelen $-F'_x/F'_y$ , og forenkl.

b) Finn $y''(x)$ , og vis hvor du bruker at $y=y(x)$ .

c) Er kurven konveks eller konkav i første kvadrant? Begrunn.

Løkke 2 — Konveks eller konkav (~13 min)

Konveks nivåkurve

y''>0\ \text{i hele området}\ \Longrightarrow\ \text{konveks der}

Konkav nivåkurve

y''<0\ \text{i hele området}\ \Longrightarrow\ \text{konkav der}

Avtakende marginal substitusjonsrate

y''>0\ \Longleftrightarrow\ \mathrm{MRS}=\lvert y'\rvert\ \text{avtar når }x\text{ øker}

📝Oppgave 3

Sjanger NK.…

For fire nivåkurver er helning og krumning allerede regnet ut. Avgjør i hvert tilfelle om kurven stiger eller faller, og om den er konveks eller konkav i første kvadrant ( $x,y>0$ ).

a) $y'=-\dfrac{y}{x}$ og $y''=\dfrac{2y}{x^{2}}$

b) $y'=-\dfrac{x}{y}$ og $y''=-\dfrac{25}{y^{3}}$

c) $y'=-2y$ og $y''=4y$

d) $y'=3x^{2}$ og $y''=6x$

✏️Eksempel 2: En konkav nivåkurve

Betrakt den øvre halvdelen av kurven

$x^{2}+4y^{2}=25,\qquad y>0.$

a) Finn $y'(x)$ .

b) Finn $y''(x)$ , og forenkl ved hjelp av kurvens egen likning.

c) Avgjør krumningen for $y>0$ . Begrunn.

a) Med

F(x,y)=x^{2}+4y^{2}

F'_x=2x

F'_y=8y

$y'=-\frac{2x}{8y}=-\frac{x}{4y}$

b) Kvotientregelen på $-\dfrac{x}{4y}$ , med teller $x$ og nevner $4y$ . Nevnerens deriverte er $4y'$ , ikke null — her brukes $y=y(x)$ :

$y''=-\frac{1\cdot 4y-x\cdot 4y'}{(4y)^{2}}=-\frac{4y-4xy'}{16y^{2}}=-\frac{y-xy'}{4y^{2}}$

Sett inn $y'=-\dfrac{x}{4y}$ , som gir $xy'=-\dfrac{x^{2}}{4y}$ :

$y-xy'=y+\frac{x^{2}}{4y}=\frac{4y^{2}+x^{2}}{4y}$

$y''=-\frac{1}{4y^{2}}\cdot\frac{4y^{2}+x^{2}}{4y}=-\frac{x^{2}+4y^{2}}{16y^{3}}$

Forenkling med kurvens egen likning: på kurven er $x^{2}+4y^{2}=25$ , så

$y''=-\frac{25}{16y^{3}}$

Dette siste grepet er verdt et poeng i seg selv. Å bruke betingelsen til å rydde svaret er nettopp den «åpenbare forenklingen» sensor krever.

c) Fortegn og konklusjon. For $y>0$ er $y^{3}>0$ , og telleren 25 er positiv, så

$y''=-\frac{25}{16y^{3}}<0\quad\text{for alle }y>0$

Konklusjon: den øvre halvdelen av kurven er konkav.

Sjekk mot bildet: kurven er den øvre halvdelen av en ellipse. Den starter nesten vannrett i toppunktet $(0\,;\,2{,}5)$ og blir brattere og brattere ned mot $(5,0)$ . En fallende kurve som blir brattere, er nettopp en konkav kurve ✓.

Tallkontroll: i $x=1$ er $y=\sqrt{24}/2=2{,}449$ , og formelen gir $y''=-25/(16\cdot 14{,}70)=-0{,}106$ . I $x=4$ er $y=1{,}5$ og $y''=-25/(16\cdot 3{,}375)=-0{,}463$ . Krumningen er negativ begge steder og blir sterkere mot høyre — som forventet.

📝Oppgave 4

Sjanger NK

La nivåkurven være $x+\ln y=3$ med $y>0$ .

a) Finn $y'(x)$ .

b) Finn $y''(x)$ .

c) Avgjør krumningen, og kontroller svaret ved å løse eksplisitt for $y$ .

📝Oppgave 5

Sjanger SU

Avgjør om hver påstand er sann eller usann, og begrunn med utregning.

a) «Langs en nivåkurve er $\dfrac{d}{dx}\,y^{2}=2y$ .»

b) «En fallende nivåkurve med $y''>0$ har avtakende marginal substitusjonsrate.»

c) «Hvis $y''$ er positiv i punktet $(2,3)$ , er kurven konveks overalt.»

— naturlig pausepunkt —

Du har nå både regnemåten og tolkningen. Resten av kapitlet samler det til en oppskrift du kan kjøre på tid.

Løkke 3 — Oppskriften og eksamensdrill (~16 min)

Firestegsoppskriften for

y''

\text{(1) }y'=-\frac{F'_x}{F'_y}\ \to\ \text{(2) deriver med }y=y(x)\ \to\ \text{(3) sett inn }y'\ \to\ \text{(4) fortegn i området}

Innsetting av

y'

underveis

y'

Krumning i et område, ikke i et punkt

y''>0\ \text{for alle }x,y>0\quad\text{(område)},\qquad y''(3)>0\quad\text{(bare ett punkt)}

Bruk kurvens likning til å rydde

y''=-\frac{x^{2}+4y^{2}}{16y^{3}}\quad\xrightarrow{\ x^{2}+4y^{2}=25\ }\quad y''=-\frac{25}{16y^{3}}

✏️Eksempel 3: Eksamensnivå — full nivåkurveoppgave

En bedrift har en teknologi som gir kurven

$xy+y^{2}=20,\qquad x,y>0,$

der $x$ er en innsatsfaktor og $y$ en annen.

a) Finn $y'(x)$ .

b) Vis at kurven faller i hele første kvadrant.

c) Finn $y''(x)$ , og forenkl ved hjelp av kurvens likning.

d) Avgjør krumningen, og beskriv hvordan kurven ser ut.

a) Med

F(x,y)=xy+y^{2}

$F'_x=y,\qquad F'_y=x+2y$

$y'=-\frac{y}{x+2y}$

Betingelsen $F'_y=x+2y\ne 0$ er oppfylt i første kvadrant, siden begge ledd er positive.

b) I første kvadrant er telleren $y>0$ og nevneren $x+2y>0$ . Da er

$y'=-\frac{(+)}{(+)}<0$

Konklusjon: kurven faller i hele første kvadrant. Merk at dette er et områdeargument — vi har vist fortegnet for alle $x,y>0$ , ikke bare i ett punkt.

c) Vi deriverer $y'=-\dfrac{y}{x+2y}$ med kvotientregelen. Her brukes $y=y(x)$ to steder: telleren $y$ gir $y'$ , og nevneren $x+2y$ gir $1+2y'$ .

$y''=-\frac{y'(x+2y)-y\,(1+2y')}{(x+2y)^{2}}$

Sett inn $y'=-\dfrac{y}{x+2y}$ i de to delene hver for seg.

Første del:

$y'(x+2y)=-\frac{y}{x+2y}\cdot(x+2y)=-y$

Andre del:

$y(1+2y')=y-\frac{2y^{2}}{x+2y}=\frac{y(x+2y)-2y^{2}}{x+2y}=\frac{xy}{x+2y}$

Sett sammen:

$y'(x+2y)-y(1+2y')=-y-\frac{xy}{x+2y}=-\frac{y(x+2y)+xy}{x+2y}=-\frac{2xy+2y^{2}}{x+2y}$

$y''=\frac{2xy+2y^{2}}{(x+2y)^{3}}=\frac{2y(x+y)}{(x+2y)^{3}}$

Forenkling med kurvens likning. Telleren inneholder $xy+y^{2}=y(x+y)$ , som på kurven er lik 20:

$y''=\frac{2\cdot 20}{(x+2y)^{3}}=\frac{40}{(x+2y)^{3}}$

d) Fortegn og konklusjon. I første kvadrant er $x+2y>0$ , så $(x+2y)^{3}>0$ og

$y''=\frac{40}{(x+2y)^{3}}>0\quad\text{for alle }x,y>0$

Konklusjon: kurven er konveks i hele første kvadrant.

Slik ser den ut (figur i ord): i et koordinatsystem med $x$ vannrett og $y$ loddrett starter kurven høyt oppe til venstre, ved $x\to 0^{+}$ nærmer $y$ seg $\sqrt{20}\approx 4{,}47$ . Den faller deretter mot høyre, bratt til å begynne med og stadig slakere, og nærmer seg $x$ -aksen uten å nå den. Bunnen vender inn mot origo — den karakteristiske isokvantformen.

Tallkontroll: i $(1,4)$ er $y'=-\tfrac49\approx -0{,}44$ og $y''=40/9^{3}=0{,}055$ . I $(5\,;\,2{,}62)$ er $y'\approx -0{,}25$ og $y''\approx 0{,}037$ . Kurven faller begge steder, og helningen er svakere lenger til høyre ✓ — akkurat som $y''>0$ krever.

📝Oppgave 6

Sjanger NK

La indifferenskurven være $U(x,y)=x^{1/2}y^{1/2}=6$ med $x,y>0$ .

a) Finn $y'(x)$ .

b) Finn $y''(x)$ .

c) Avgjør krumningen, og gi den økonomiske tolkningen.

📝Oppgave 7

Sjanger NK

La nivåkurven være $x^{2}+y^{2}=25$ , og se på delen i første kvadrant ( $x,y>0$ ).

a) Finn $y'(x)$ og $y''(x)$ .

b) Forenkl $y''$ ved hjelp av kurvens likning, og avgjør krumningen.

c) Regn ut $y'$ og $y''$ i punktet $(3,4)$ , og forklar hva tallene sier om kurvens form der.

📝Oppgave 8

Sjanger NK

La $U$ være en to ganger deriverbar nyttefunksjon med $U'_x>0$ og $U'_y>0$ i hele første kvadrant, og betrakt indifferenskurven $U(x,y)=\bar u$ .

a) Skriv opp $y'$ og forklar hvorfor kurven faller.

b) En student skriver: «Siden $y'=-U'_x/U'_y$ , og både $U'_x$ og $U'_y$ er funksjoner av $x$ og $y$ , er $y''=0$ når $U$ er homogen.» Vurder resonnementet.

c) Vis at $y''$ generelt inneholder faktoren $y'$ , ved å derivere $y'=-\dfrac{U'_x}{U'_y}$ og skrive ut hvor $y=y(x)$ brukes.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Standardresultatet

xy=c

xy=c\ \Longrightarrow\ y'=-\frac{y}{x},\qquad y''=\frac{2y}{x^{2}}>0

Skisse som stemmer med fortegnene

y'<0\ \text{og}\ y''>0\ \Longrightarrow\ \text{faller, bratt til venstre, flater ut mot høyre}

Kontroll ved eksplisitt løsning

y

Riktig fortegn, feil metode

\text{feil: }y''=\frac{y}{x^{2}}\qquad\text{riktig: }y''=\frac{2y}{x^{2}}

Slik ser de to krumningene ut

Figur i ord. Tegn to koordinatsystemer ved siden av hverandre, begge med $x$ vannrett og $y$ loddrett og bare første kvadrant med.

Til venstre, den konvekse kurven. Den kommer inn høyt oppe nær $y$ -aksen, faller bratt de første stykkene, og flater deretter gradvis ut mot høyre uten å treffe $x$ -aksen. Legg en tangent inn i et punkt langt til venstre: den heller kraftig nedover. Legg en til i et punkt langt til høyre: den er nesten vannrett. Helningen har altså gått fra sterkt negativ til svakt negativ — den har vokst — og det er nettopp $y''>0$ .

Til høyre, den konkave kurven. Den starter nesten vannrett oppe til venstre og blir stadig brattere mot høyre, til den stuper ned mot $x$ -aksen. Tangenten i det venstre punktet er nesten flat; tangenten i det høyre er bratt. Helningen har gått fra svakt negativ til sterkt negativ — den har avtatt — og det er $y''<0$ .

Begge kurvene faller. Forskjellen ligger ikke i om de faller, men i om de faller stadig saktere eller stadig raskere.

Repetisjonsoppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

5.2 Krumning på nivåkurven: $y''$ og «husk at $y=y(x)$»

Løkke 1 — Å derivere y′y'y′ én gang til (~15 min)

Løkke 2 — Konveks eller konkav (~13 min)

Løkke 3 — Oppskriften og eksamensdrill (~16 min)

Begrepsbank

Slik ser de to krumningene ut

Løkke 1 — Å derivere $y'$ én gang til (~15 min)