Tilbake
1.3
Alle fag for Høyskole

1.3 Kjerneregelen for flere variabler (totalderivert)

Når de indre variablene selv er funksjoner: kjerneregelen som sum av bidrag, og totalderiverten.

45 min
8 oppgaver
Kjerneregelen for flere variabler (totalderivert)
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på kap. 1.2 (partiellderiverte, fx′f'_x og fy′f'_y) og kap. 1.1 (kjerneregelen i én variabel). Trenger du å friske opp hva en sammensatt funksjon er, ligger det i Sammensatte funksjoner og Kjerneregelen i R1-boka.

Nøkkelen du bygger videre på er kjerneregelen slik du kjenner den fra én variabel:

ddxf(u(x))=f′(u(x))⋅u′(x)\frac{d}{dx}f\big(u(x)\big)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)

I dette kapitlet skjer det bare én ting nytt: det er flere veier inn til den ytre funksjonen, og da må du legge sammen bidragene fra hver vei.

Strømprisen påvirker to ting i en husholdning: hvor mye strøm som brukes, og hvor mye som brukes på alt annet. Begge deler påvirker den samlede utgiften. Vil du vite hva én øre høyere strømpris gjør med utgiften totalt, må du legge sammen begge virkningene — den gjennom strømforbruket og den gjennom resten av forbruket.

Det er nøyaktig hva kjerneregelen for flere variabler gjør. Når en størrelse påvirker en annen langs flere veier, får hver vei sitt eget bidrag, og bidragene legges sammen.

Kapitlet er bygget som fire løkker: én ytre variabel (løkke 1), to ytre variabler (løkke 2), tilbakesubstitusjon og kontroll (løkke 3), og totalderiverten df/dx=fx′+fy′ y′(x)df/dx=f'_x+f'_y\,y'(x) (løkke 4), som er broen til nivåkurvene i Del 5.

Løkke 1 — Én ytre variabel: kjeden t→(x,y)→zt\to(x,y)\to z (~11 min)

Sammensatt funksjon av flere variabler
En sammensatt funksjon av flere variabler oppstår når de variablene en funksjon avhenger av, selv avhenger av noe annet. Da er den ytre funksjonen indirekte en funksjon av de nye størrelsene.

z=f(x,y)medx=x(t), y=y(t)⟹z=z(t)z=f(x,y)\quad\text{med}\quad x=x(t),\ y=y(t)\quad\Longrightarrow\quad z=z(t)

Vi kaller xx og yy de indre variablene (eller kjernene) og tt den ytre variabelen. Eksempel: nytten din avhenger av mat og transport, og begge deler avhenger av inntekten din — så nytten avhenger indirekte av inntekten.

Indre og ytre variabler

Den ytre variabelen er den du deriverer med hensyn på til slutt — den du faktisk skrur på. De indre variablene er mellomleddene som formidler effekten.

I G(x,y)G(x,y) med x=x(s,t)x=x(s,t) og y=y(s,t)y=y(s,t) er ss og tt ytre, mens xx og yy er indre. Retningen i kjeden er alltid: ytre variabel → indre variabler → funksjonsverdi.

Å tegne et lite avhengighetsdiagram (piler fra ss til xx og yy, og videre fra xx og yy til GG) tar fem sekunder og forhindrer den vanligste feilen: å glemme et bidrag.

📜Kjerneregelen med én ytre variabel
Er z=f(x,y)z=f(x,y) der x=x(t)x=x(t) og y=y(t)y=y(t), får du den deriverte av zz mht. tt ved å legge sammen bidraget fra hver indre variabel:

dzdt=fx′⋅dxdt+fy′⋅dydt\frac{dz}{dt}=f'_{x}\cdot\frac{dx}{dt}+f'_{y}\cdot\frac{dy}{dt}

Hvert ledd har samme form: «hvor følsom ff er for den indre variabelen» ganger «hvor følsom den indre variabelen er for tt». Antall ledd i summen er alltid lik antall indre variabler — to indre variabler gir to ledd.

Merk skrivemåten: dz/dtdz/dt (rett dd), fordi zz til slutt bare avhenger av tt alene.

Bidragsprinsippet
Hver vei fra den ytre variabelen inn til funksjonen gir ett bidrag, og bidragene legges sammen. Dette er hele ideen bak kjerneregelen for flere variabler.

dzdt=fx′ x′(t)⏟veien via x+fy′ y′(t)⏟veien via y\frac{dz}{dt}=\underbrace{f'_{x}\,x'(t)}_{\text{veien via }x}+\underbrace{f'_{y}\,y'(t)}_{\text{veien via }y}

Intuisjonen: når tt øker litt, flytter både xx og yy på seg, og begge flyttingene endrer ff. Den samlede endringen er summen. Å glemme det ene bidraget er det samme som å late som om den ene variabelen sto stille — og det er den nest vanligste feilen i denne oppgavetypen.

✏️Eksempel 1: To indre variabler, én ytre

La z=x y2z=x\,y^{2}, der x=t2x=t^{2} og y=ety=e^{t}. Finn dzdt\dfrac{dz}{dt}, uttrykt ved tt.

Steg 1 — de partiellderiverte av den ytre funksjonen.

zx′=y2,zy′=2xyz'_{x}=y^{2},\qquad z'_{y}=2xy

Intuisjon: zx′z'_x måler hvor mye zz endres når bare xx flyttes; zy′z'_y det samme for yy.

Steg 2 — de deriverte av de indre funksjonene.

dxdt=2t,dydt=et\frac{dx}{dt}=2t,\qquad \frac{dy}{dt}=e^{t}

Intuisjon: dette er hvor raskt hver indre variabel flytter seg når tt øker.

Steg 3 — sett sammen etter kjerneregelen.

dzdt=y2⋅2t+2xy⋅et\frac{dz}{dt}=y^{2}\cdot 2t+2xy\cdot e^{t}

Steg 4 — substituer tilbake for xx og yy, slik at svaret står i den opprinnelige variabelen tt. Med x=t2x=t^{2} og y=ety=e^{t} er y2=e2ty^{2}=e^{2t} og 2xy=2t2et2xy=2t^{2}e^{t}:

dzdt=2t e2t+2t2et⋅et=2t e2t+2t2e2t\frac{dz}{dt}=2t\,e^{2t}+2t^{2}e^{t}\cdot e^{t}=2t\,e^{2t}+2t^{2}e^{2t}

Steg 5 — forenkle (sensorkrav): sett 2te2t2te^{2t} utenfor.

dzdt=2t e2t (1+t)\frac{dz}{dt}=2t\,e^{2t}\,(1+t)

Kontroll ved direkte innsetting. Setter vi inn med én gang, er z=t2(et)2=t2e2tz=t^{2}\big(e^{t}\big)^{2}=t^{2}e^{2t}, og produktregelen gir 2te2t+t2⋅2e2t=2te2t(1+t)2te^{2t}+t^{2}\cdot 2e^{2t}=2te^{2t}(1+t). ✓ Samme svar.

Når lønner det seg å sette inn først? Her var det raskest, fordi uttrykket ble enkelt. Men på eksamen er de indre funksjonene ofte generelle (bare kalt x(t)x(t)), og da er innsetting umulig — kjerneregelen er den eneste veien. Øv på begge.

📝Oppgave 1
P1

La z=3x+4yz=3x+4y, der x=t2x=t^{2} og y=5ty=5t.

a) Finn zx′z'_{x} og zy′z'_{y}.

b) Finn dxdt\dfrac{dx}{dt} og dydt\dfrac{dy}{dt}.

c) Sett sammen til dzdt\dfrac{dz}{dt}, uttrykt ved tt, og kontroller ved å sette inn for xx og yy først.

📝Oppgave 2
Sjanger P1

La z=ln⁡(x+y)z=\ln(x+y), der x=t3x=t^{3} og y=2ty=2t. Finn dzdt\dfrac{dz}{dt}, uttrykt ved tt.

Løkke 2 — To ytre variabler: ∂G/∂s\partial G/\partial s og ∂G/∂t\partial G/\partial t (~12 min)

Eksamensvarianten har som regel to ytre variabler. Du får G(x,y)G(x,y) og opplysningen at x=x(s,t)x=x(s,t) og y=y(s,t)y=y(s,t), og skal finne begge de partiellderiverte av GG mht. ss og tt.

Prinsippet er akkurat det samme — du gjør bare den samme jobben to ganger, én gang for hver ytre variabel. Og fordi det nå finnes flere variabler igjen etter derivasjonen, skriver vi ∂\partial i stedet for dd.

📜Kjerneregelen med to ytre variabler
Er G=G(x,y)G=G(x,y) der x=x(s,t)x=x(s,t) og y=y(s,t)y=y(s,t), deriverer du mht. én ytre variabel om gangen, og summerer bidragene fra begge de indre:

∂G∂s=Gx′ ∂x∂s+Gy′ ∂y∂s,∂G∂t=Gx′ ∂x∂t+Gy′ ∂y∂t\frac{\partial G}{\partial s}=G'_{x}\,\frac{\partial x}{\partial s}+G'_{y}\,\frac{\partial y}{\partial s},\qquad \frac{\partial G}{\partial t}=G'_{x}\,\frac{\partial x}{\partial t}+G'_{y}\,\frac{\partial y}{\partial t}

Legg merke til at Gx′G'_{x} og Gy′G'_{y} er de samme i begge formlene — du regner dem ut én gang og gjenbruker dem. Det er bare de indre deriverte som skifter.

Antall ledd i summen
Antall ledd i kjerneregelen er alltid lik antall indre variabler, uansett hvor mange ytre variabler oppgaven har.

to indre variabler (x,y) ⟹ to ledd i hver formel\text{to indre variabler}\ (x,y)\ \Longrightarrow\ \text{to ledd i hver formel}

Har du bare skrevet ett ledd, har du glemt en vei. Rask kontroll før du regner videre: tell leddene, og sammenlign med antall indre variabler i oppgaveteksten.

Når skrives dd og når skrives ∂\partial?
Skrivemåten forteller om det er flere variabler igjen etter derivasjonen. Er det bare én ytre variabel igjen, skriver vi rett dd; er det flere, skriver vi ∂\partial.

dzdt (eˊn ytre variabel),∂G∂s (to ytre variabler, s og t)\frac{dz}{dt}\ \text{(én ytre variabel)},\qquad \frac{\partial G}{\partial s}\ \text{(to ytre variabler, }s\text{ og }t)

Sensor er ikke pirkete på dette, men konsekvent notasjon gjør besvarelsen lettere å lese — og hjelper deg selv å holde styr på hvilke størrelser som holdes fast.

✏️Eksempel 2: Eksamensformen — to inn, to ut

La G(x,y)=x2+3xyG(x,y)=x^{2}+3xy, der x=2s+tx=2s+t og y=s−ty=s-t. Finn ∂G∂s\dfrac{\partial G}{\partial s} og ∂G∂t\dfrac{\partial G}{\partial t}, uttrykt ved ss og tt.

Steg 1 — partiellderiver den ytre funksjonen én gang for alle.

Gx′=2x+3y,Gy′=3xG'_{x}=2x+3y,\qquad G'_{y}=3x

Steg 2 — deriver de indre funksjonene mht. begge ytre variabler.

∂x∂s=2,∂x∂t=1,∂y∂s=1,∂y∂t=−1\frac{\partial x}{\partial s}=2,\quad \frac{\partial x}{\partial t}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial s}=1,\quad \frac{\partial y}{\partial t}=-1

Steg 3 — sett sammen mht. ss.

∂G∂s=(2x+3y)⋅2+3x⋅1=4x+6y+3x=7x+6y\frac{\partial G}{\partial s}=(2x+3y)\cdot 2+3x\cdot 1=4x+6y+3x=7x+6y

Steg 4 — substituer tilbake. Dette er poenget sensor ser etter (feil #5):

∂G∂s=7(2s+t)+6(s−t)=14s+7t+6s−6t=20s+t\frac{\partial G}{\partial s}=7(2s+t)+6(s-t)=14s+7t+6s-6t=20s+t

Steg 5 — samme jobb mht. tt.

∂G∂t=(2x+3y)⋅1+3x⋅(−1)=2x+3y−3x=−x+3y\frac{\partial G}{\partial t}=(2x+3y)\cdot 1+3x\cdot(-1)=2x+3y-3x=-x+3y

Tilbakesubstitusjon:

∂G∂t=−(2s+t)+3(s−t)=−2s−t+3s−3t=s−4t\frac{\partial G}{\partial t}=-(2s+t)+3(s-t)=-2s-t+3s-3t=s-4t

Kontroll ved direkte innsetting. Med x=2s+tx=2s+t og y=s−ty=s-t er

G=(2s+t)2+3(2s+t)(s−t)=4s2+4st+t2+3(2s2−2st+st−t2)=10s2+st−2t2G=(2s+t)^{2}+3(2s+t)(s-t)=4s^{2}+4st+t^{2}+3(2s^{2}-2st+st-t^{2})=10s^{2}+st-2t^{2}

Da er ∂G/∂s=20s+t\partial G/\partial s=20s+t ✓ og ∂G/∂t=s−4t\partial G/\partial t=s-4t ✓.

Fire grep bar føringen over: de fire indre deriverte ble listet opp først, kjerneregelen ble skrevet med begge ledd synlig, tilbakesubstitusjonen ble gjort eksplisitt, og sluttsvaret ble ryddet til en enkel form i ss og tt.

📝Oppgave 3
Sjanger P1

La G(x,y)=xyG(x,y)=\dfrac{x}{y}, der x=s2x=s^{2} og y=ty=t.

a) Finn ∂G∂s\dfrac{\partial G}{\partial s}.

b) Finn ∂G∂t\dfrac{\partial G}{\partial t}.

Uttrykk begge svarene ved ss og tt.

Løkke 3 — Tilbakesubstitusjon og kontroll (~11 min)

Tilbakesubstitusjon
Tilbakesubstitusjon er det siste steget i kjerneregelen: du erstatter de indre variablene med uttrykkene deres, slik at sluttsvaret bare inneholder de opprinnelige variablene oppgaven spurte om.

∂G∂s=7x+6y→ x=2s+t, y=s−t ∂G∂s=20s+t\frac{\partial G}{\partial s}=7x+6y\quad\xrightarrow{\ x=2s+t,\ y=s-t\ }\quad \frac{\partial G}{\partial s}=20s+t

Uten dette steget har du svart på et annet spørsmål enn det som ble stilt: uttrykket 7x+6y7x+6y inneholder hjelpevariabler oppgaven aldri ba om. Det er derfor sensor trekker for det.

Kontrollmetoden: sett inn først
Når de indre funksjonene er konkrete uttrykk, kan du alltid kontrollere svaret ved å sette inn først og derivere etterpå. De to veiene må gi samme svar.

G(x(s,t),y(s,t)) skrevet ut i s,t ⟶ deriver direkteG(x(s,t),y(s,t))\ \text{skrevet ut i }s,t\ \longrightarrow\ \text{deriver direkte}

Kontrollen koster ett minutt og fanger både glemte bidrag og fortegnsfeil. Men: den virker bare når uttrykkene er konkrete. Er de indre funksjonene generelle — bare kalt x(s,t)x(s,t) — er kjerneregelen den eneste veien, og da må du stole på systematikken i stedet.

Når lønner det seg å sette inn først?

Er de indre funksjonene enkle og den ytre funksjonen blir kort etter innsetting, er direkte innsetting både raskere og tryggere. Er det motsatte tilfelle, er kjerneregelen best.

Tommelfingerregel: sett inn først når innsettingen forenkler, bruk kjerneregelen når den ikke gjør det.

Eksempel på det siste: G=exyG=e^{xy} med x=s−tx=s-t og y=s+ty=s+t. Her lønner innsetting seg likevel, fordi xy=(s−t)(s+t)=s2−t2xy=(s-t)(s+t)=s^{2}-t^{2} — et pent uttrykk. Men er den ytre funksjonen en stor brøk, blir innsetting fort uoversiktlig.

📝Oppgave 4
Sjanger P1

La G(x,y)=exyG(x,y)=e^{xy}, der x=s−tx=s-t og y=s+ty=s+t.

a) Finn ∂G∂s\dfrac{\partial G}{\partial s} med kjerneregelen, og uttrykk svaret ved ss og tt.

b) Finn ∂G∂t\dfrac{\partial G}{\partial t} på samme måte.

c) Kontroller begge svarene ved å sette inn for xx og yy først.

Løkke 4 — Totalderiverten df/dx=fx′+fy′ y′(x)df/dx=f'_x+f'_y\,y'(x) (~11 min)

— naturlig pausepunkt —

Det siste tilfellet er litt spesielt, og det er samtidig det viktigste for resten av boka: den ene indre variabelen er den ytre.

Tenk deg f(x,y)f(x,y) der yy selv er en funksjon av xx. Da påvirker xx funksjonen på to måter: direkte (gjennom sin egen plass i ff) og indirekte (ved å flytte yy). Den samlede effekten kalles totalderiverten.

Totalderiverten
Totalderiverten er den samlede endringen i ff når xx øker, når man tar med at yy endrer seg med xx. Den består av en direkte og en indirekte virkning.

dfdx=fx′+fy′ dydx\frac{df}{dx}=f'_{x}+f'_{y}\,\frac{dy}{dx}

Første ledd er den direkte effekten (den vanlige partiellderiverte), andre ledd er den indirekte: xx flytter yy, og yy flytter ff. Dette er bare kjerneregelen fra løkke 1, med den ene indre variabelen lik den ytre — så dx/dx=1dx/dx=1.

Partiellderivert eller totalderivert?
Skillet er hva du holder fast. Den partiellderiverte fx′f'_{x} holder yy helt i ro; totalderiverten df/dxdf/dx lar yy følge med på lasset.

fx′ (y fast)motdfdx=fx′+fy′y′(x) (y=y(x))f'_{x}\ \text{(}y\text{ fast)}\qquad\text{mot}\qquad \frac{df}{dx}=f'_{x}+f'_{y}y'(x)\ \text{(}y=y(x)\text{)}

De er like bare når fy′=0f'_{y}=0 eller y′(x)=0y'(x)=0. Å bruke feil av de to er en meningsfeil, ikke en regnefeil — og den er hele grunnlaget for nivåkurveoppgavene i kap. 5.1, der kravet df/dx=0df/dx=0 gir helningsformelen.

✏️Eksempel 3: Totalderiverten i en kostnadsmodell

En bedrifts lønnskostnad er K(x,w)=x2wK(x,w)=x^{2}w, der xx er produsert mengde og ww er timelønnen. Bedriften er så stor at den presser opp lønningene når den produserer mer: w=10+12xw=10+\tfrac12 x.

Finn den totalderiverte dKdx\dfrac{dK}{dx}, og forklar hva de to leddene betyr.

Steg 1 — de partiellderiverte.

Kx′=2xw,Kw′=x2K'_{x}=2xw,\qquad K'_{w}=x^{2}

Intuisjon: Kx′K'_x er kostnadsøkningen av mer produksjon til fast lønn; Kw′K'_w er kostnadsøkningen av høyere lønn ved fast produksjon.

Steg 2 — den indre deriverte.

dwdx=12\frac{dw}{dx}=\tfrac12

Intuisjon: hver ekstra produsert enhet presser timelønnen opp med en halv krone.

Steg 3 — totalderiverten.

dKdx=Kx′+Kw′ dwdx=2xw+x2⋅12\frac{dK}{dx}=K'_{x}+K'_{w}\,\frac{dw}{dx}=2xw+x^{2}\cdot\tfrac12

Steg 4 — tilbakesubstitusjon (w=10+12xw=10+\tfrac12x):

dKdx=2x(10+12x)+12x2=20x+x2+12x2=20x+32x2\frac{dK}{dx}=2x\left(10+\tfrac12 x\right)+\tfrac12 x^{2}=20x+x^{2}+\tfrac12 x^{2}=20x+\tfrac32 x^{2}

Kontroll ved innsetting først: K=x2(10+12x)=10x2+12x3K=x^{2}\left(10+\tfrac12x\right)=10x^{2}+\tfrac12x^{3}, som deriveres til 20x+32x220x+\tfrac32x^{2}. ✓

Tolkning av de to leddene. Leddet 20x20x er den direkte effekten: mer produksjon koster mer ved uendret lønn. Leddet 12x2\tfrac12x^{2} er den indirekte: den økte produksjonen presser opp lønnen, og den høyere lønnen må betales for hele produksjonen. Den som bare regner Kx′K'_{x}, undervurderer den sanne grensekostnaden — her med hele 12x2\tfrac12x^{2}.

📝Oppgave 5
Sjanger P1

La f(x,y)=x2yf(x,y)=x^{2}y, der y=3x+1y=3x+1.

a) Finn fx′f'_{x} og fy′f'_{y}.

b) Finn totalderiverten dfdx\dfrac{df}{dx}, uttrykt ved xx.

c) Forklar med én setning hvorfor dfdx≠fx′\dfrac{df}{dx}\ne f'_{x} her.

Eksamensdrill (~8 min)

De to siste oppgavene ligger på eksamensnivå. Den første er en full variant av delpunktet slik det pleier å se ut i Oppgave 1; den andre bruker generelle funksjoner, som er den vanskeligste varianten.

📝Oppgave 6
Sjanger P1
La

G(x,y)=x2−y2,x=st,y=s+t.G(x,y)=x^{2}-y^{2},\qquad x=st,\qquad y=s+t.

a) Finn ∂G∂s\dfrac{\partial G}{\partial s} og ∂G∂t\dfrac{\partial G}{\partial t}, uttrykt ved ss og tt.

b) Kontroller svarene ved å sette inn for xx og yy først.

📝Oppgave 7
Sjanger P1
La G(x,y)G(x,y) være en deriverbar funksjon av to variabler, og la

x=s+2t,y=s−t.x=s+2t,\qquad y=s-t.

a) Sett opp uttrykk for ∂G∂s\dfrac{\partial G}{\partial s} og ∂G∂t\dfrac{\partial G}{\partial t} ved hjelp av Gx′G'_{x} og Gy′G'_{y}.

b) Vis at ∂G∂t=2 Gx′−Gy′\dfrac{\partial G}{\partial t}=2\,G'_{x}-G'_{y}, og forklar hvorfor svaret her ikke skal substitueres videre.

📝Oppgave 8
Sjanger P1

En husholdnings samlede strømutgift er U=p⋅mU=p\cdot m, der pp er prisen per kilowattime og mm er forbruket. Forbruket avhenger av prisen: m=800−20pm=800-20p (kilowattimer per måned).

a) Finn Up′U'_{p} og Um′U'_{m}.

b) Finn totalderiverten dUdp\dfrac{dU}{dp}, uttrykt ved pp.

c) Ved hvilken pris slutter utgiften å øke når prisen stiger videre?

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Avhengighetsdiagram
Et avhengighetsdiagram er en liten skisse med piler fra de ytre variablene til de indre, og videre til funksjonen. Den viser hvor mange veier — og dermed hvor mange ledd — kjerneregelen skal ha.

s ⟶ x ⟶ G,s ⟶ y ⟶ Gs\ \longrightarrow\ x\ \longrightarrow\ G,\qquad s\ \longrightarrow\ y\ \longrightarrow\ G

To piler ut fra ss betyr to ledd i ∂G/∂s\partial G/\partial s. Tegn diagrammet i kladden før du regner: det tar fem sekunder og fjerner den vanligste feilen, nemlig et glemt bidrag.

Den indre deriverte
Den indre deriverte er faktoren som følger med hvert bidrag: hvor mye den indre variabelen selv endrer seg når den ytre øker.

∂x∂s,∂y∂s\frac{\partial x}{\partial s},\qquad \frac{\partial y}{\partial s}

Det er her fortegnene skjuler seg. Er y=s−ty=s-t, er ∂y/∂t=−1\partial y/\partial t=-1, og minusen må følge med hele veien inn i sluttsvaret. Skriv derfor alle de indre deriverte opp med fortegn før du setter sammen.

Kjedeeffekt i økonomi
En kjedeeffekt er en virkning som går gjennom et mellomledd: en pris endrer et kvantum, som igjen endrer en kostnad eller en nytte.

lønn → sysselsetting → produksjon\text{lønn}\ \to\ \text{sysselsetting}\ \to\ \text{produksjon}

Kjerneregelen er det matematiske språket for slike kjeder, og den samlede effekten er summen av alle veiene. Nettopp derfor er den grunnlaget for komparativ statikk i Del 9 — der spørsmålet alltid er hvordan en optimal tilpasning endrer seg når en parameter flyttes.

Direkte og indirekte effekt
I totalderiverten er første ledd den direkte effekten og andre ledd den indirekte. Å skille dem er ofte hele den økonomiske tolkningen oppgaven ber om.

dfdx=fx′⏟direkte+fy′ y′(x)⏟indirekte\frac{df}{dx}=\underbrace{f'_{x}}_{\text{direkte}}+\underbrace{f'_{y}\,y'(x)}_{\text{indirekte}}

De to kan ha motsatt fortegn, og da avgjør størrelsen hvilken vei totaleffekten går. Et svar som bare oppgir tallet uten å nevne hvilke to krefter som virker, mister tolkningspoengene.

Flere enn to indre variabler
Prinsippet endrer seg ikke om det er tre eller flere indre variabler — du får bare ett ledd til i summen, ett per vei.

z=f(x,y,u), x=x(t), y=y(t), u=u(t) ⟹ dzdt=fx′x′(t)+fy′y′(t)+fu′u′(t)z=f(x,y,u),\ x=x(t),\ y=y(t),\ u=u(t)\ \Longrightarrow\ \frac{dz}{dt}=f'_{x}x'(t)+f'_{y}y'(t)+f'_{u}u'(t)

Dette er verdt å merke seg fordi produsentteorien i Del 9 og de flervariable Lagrange-oppgavene i kap. 8.4 ofte har tre eller flere størrelser i spill samtidig.

Hvor de deriverte skal evalueres
De partiellderiverte i kjerneregelen skal regnes ut i det punktet de indre variablene faktisk befinner seg i — altså i (x(s,t), y(s,t))\big(x(s,t),\,y(s,t)\big), ikke i (s,t)(s,t).

∂G∂t=2 Gx′(x(s,t),y(s,t))−Gy′(x(s,t),y(s,t))\frac{\partial G}{\partial t}=2\,G'_{x}\big(x(s,t),y(s,t)\big)-G'_{y}\big(x(s,t),y(s,t)\big)

Med konkrete funksjoner ordner dette seg av seg selv når du substituerer tilbake. Med generelle funksjoner er presiseringen derimot verdt poeng: den viser at du vet hva argumentene til Gx′G'_{x} er.

Repetisjonsoppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.