1.4 Logaritmisk derivasjon

En funksjon har variabel eksponent når variabelen står oppe i eksponenten — og problemet blir for alvor når den står både oppe og nede.

$$y=f(x)^{g(x)},\qquad f(x)>0$$

Eksempler fra eksamen: $x^{x}$, $(2x)^{2x}$, $x^{\sqrt{x}}$, $(x^{2}+1)^{x}$, $x^{a(x)}$. Kravet $f(x)>0$ er ikke en teknikalitet: uttrykk som $(-2)^{1/2}$ finnes ikke blant de reelle tallene, så grunntallet må være positivt for at funksjonen skal være definert.

Potensregelen $\displaystyle \frac{d}{dx}x^{a}=ax^{a-1}$ forutsetter at eksponenten $a$ er et fast tall. Er eksponenten en funksjon av $x$, endrer den seg samtidig med grunntallet, og regelen fanger bare den ene av de to endringene.

$$\frac{d}{dx}x^{x}\ \ne\ x\cdot x^{x-1}=x^{x}$$

Sjekk gjerne numerisk: den deriverte av $x^{x}$ i $x=2$ er om lag $6{,}77$, mens $x^{x}=4$ i samme punkt. Å levere $x\cdot x^{x-1}$ er derfor ikke en liten unøyaktighet, men et feil svar.

Regelen $\displaystyle \frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a$ forutsetter at grunntallet $a$ er et fast tall. I $x^{x}$ vokser grunntallet samtidig med eksponenten, så regelen fanger bare den ene virkningen.

$$\frac{d}{dx}x^{x}\ \ne\ x^{x}\ln x$$

Legg merke til at både denne og potensregelen gir deler av det riktige svaret. Fasiten er $x^{x}(\ln x+1)$ — summen av de to bidragene. Det er ikke tilfeldig: logaritmisk derivasjon regner nettopp begge virkningene og legger dem sammen.

Dette er hele det tekniske grepet i metoden. Deriverer du $\ln y$ med hensyn på $x$, og $y$ selv er en funksjon av $x$, gir kjerneregelen en brøk:

$$\frac{d}{dx}\ln y=\frac{y'}{y}$$

Innmaten er $y$, den deriverte av innmaten er $y'$, og regelen $\displaystyle \frac{g'}{g}$ gir $\displaystyle \frac{y'}{y}$. Størrelsen $\displaystyle \frac{y'}{y}$ har for øvrig en egen økonomisk betydning — den er den relative vekstraten, altså vekst i prosent — og dukker opp igjen når vi behandler elastisitet i Del 2.

Hele metoden hviler på én logaritmeregel: en eksponent inne i en logaritme kan flyttes ned som faktor foran.

$$\ln\big(a^{b}\big)=b\ln a,\qquad a>0$$

Det er dette som gjør et umulig uttrykk til et vanlig produkt. Merk at regelen gjelder uansett hvor sammensatt $a$ og $b$ er: $\ln\big((2x)^{2x}\big)=2x\ln(2x)$, og $\ln\big((x^{2}+1)^{x}\big)=x\ln(x^{2}+1)$.

Har funksjonen to variabler, tar du logaritmen på samme måte og deriverer partielt — den andre variabelen behandles som en konstant.

$$z=f(x,y)^{g(x,y)}\ \Longrightarrow\ \ln z=g\ln f\ \Longrightarrow\ \frac{z'_{x}}{z}=\big(g\ln f\big)'_{x}$$

Venstresiden blir $\displaystyle \frac{z'_{x}}{z}$ av nøyaktig samme grunn som før: kjerneregelen på $\ln z$ med $z=z(x,y)$. Til slutt ganger du opp med $z$ og setter inn.

Er eksponenten en ukjent, deriverbar funksjon $a(x)$, gjør du nøyaktig det samme — svaret inneholder da $a(x)$ og $a'(x)$, og det er som det skal være.

$$y=x^{a(x)}\ \Longrightarrow\ \ln y=a(x)\ln x\ \Longrightarrow\ \frac{y'}{y}=a'(x)\ln x+\frac{a(x)}{x}$$

$$y'=x^{a(x)}\left[a'(x)\ln x+\frac{a(x)}{x}\right]$$

Setter du $a(x)=x$, får du $a'=1$ og klammen blir $\ln x+1$ — altså fasiten for $x^{x}$. Det er en fin kontroll på at den generelle formelen er riktig.

Størrelsen $\dfrac{y'}{y}$ er den relative endringen i $y$ — endringen målt som andel av nivået, altså prosentvis vekst.

$$\frac{y'}{y}=\frac{d}{dx}\ln y$$

I logaritmisk derivasjon er dette mellomresultatet du får etter steg 2, og det er grunnen til at metoden virker: logaritmen oversetter absolutt endring til relativ. Samme størrelse dukker opp igjen som byggekloss i elastisitet i kap. 2.1.

Metoden krever at grunntallet er positivt, siden du tar logaritmen av det. Det bør sies i besvarelsen.

$$y=f(x)^{g(x)}\ \text{krever}\ f(x)>0$$

For $x^{x}$ betyr det $x>0$; for $(x^{2}+1)^{x}$ er kravet automatisk oppfylt, siden $x^{2}+1\ge 1$ for alle $x$. Å kommentere definisjonsområdet koster én linje og er en toppsjiktsmarkør — samme grep blir avgjørende i kap. 4.3.

En likeverdig metode er å skrive uttrykket om ved hjelp av at $a=e^{\ln a}$, og deretter bruke kjerneregelen på eksponentialfunksjonen.

$$f(x)^{g(x)}=e^{\,g(x)\ln f(x)}\ \Longrightarrow\ \frac{d}{dx}=e^{\,g\ln f}\cdot\big(g\ln f\big)'$$

Svaret blir nøyaktig det samme, siden $e^{g\ln f}=f^{g}$. Metoden er fullt gyldig, men logaritmisk derivasjon er den sensor forventer å se, og den har færre ledd å holde styr på.

Fasiten på en logaritmisk derivasjon har alltid formen «funksjonen selv, ganget med en klamme». Det gir to raske kontroller.

$$y'=\underbrace{f^{g}}_{\text{funksjonen}}\cdot\underbrace{\left[\dots\right]}_{\text{den relative endringen}}$$

Kontroll 1: står funksjonen som faktor? Hvis ikke, har du glemt steg 3 eller 4. Kontroll 2: sett inn et tall (gjerne $x=1$, der $\ln 1=0$) og sammenlign med en numerisk differansekvote. Det tar et halvt minutt og avslører nesten alle feil.

Tre spørsmål avgjør hvilken regel som gjelder for et uttrykk av formen «noe opphøyd i noe».

$$x^{a}\ \text{(fast eksponent)}\ \to\ \text{potensregelen},\qquad a^{x}\ \text{(fast grunntall)}\ \to\ a^{x}\ln a,\qquad f(x)^{g(x)}\ \to\ \text{logaritmisk derivasjon}$$

Merk at spørsmålet må stilles per variabel: i $(3xy)^{x}$ er eksponenten variabel sett fra $x$, men konstant sett fra $y$, og de to partiellderiverte krever derfor ulike metoder.

Klammen i fasiten har alltid to ledd, fordi endringen i $x$ virker på to steder samtidig: i eksponenten og i grunntallet.

$$\frac{y'}{y}=\underbrace{g'\ln f}_{\text{eksponenten flytter seg}}+\underbrace{g\frac{f'}{f}}_{\text{grunntallet flytter seg}}$$

Potensregelen fanger bare det andre leddet, og $a^{x}$-regelen bare det første. Å kjenne denne oppdelingen gjør at du raskt ser om et svar er halvferdig — mangler ett av leddene, mangler én av virkningene.

Er uttrykket uendret når du bytter om $x$ og $y$, er det symmetrisk, og da fås den andre partiellderiverte ved å bytte om bokstavene i den første.

$$z=(xy)^{xy}\ \text{er symmetrisk, siden}\ xy=yx$$

Derfor er $z'_{y}$ lik $z'_{x}$ med $x$ og $y$ byttet om. Symmetriargumentet gir full uttelling — men bare når du sier eksplisitt at du bruker det. Sensor honorerer begrunnet symmetri, ikke et svar som bare dukker opp.