Tilbake
1.6
Alle fag for Høyskole

1.6 Drill: Oppgave 1 — partiellderivasjonspakken

Sjangerdrill på hele Oppgave 1: tre–fire funksjoner blandet fra alle metodene, mot fart og fortegnssikkerhet.

80 min
14 oppgaver
DrillOppgave 1partiellderivasjonspakken
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Dette kapitlet forutsetter hele Del 1: kap. 1.1 (derivasjonsreglene), kap. 1.2 (partiellderiverte), kap. 1.3 (kjerneregelen for flere variabler), kap. 1.4 (logaritmisk derivasjon) og kap. 1.5 (generelle funksjoner).

Sist du var her — de fem formlene hele Oppgave 1 hviler på:

ddxxa=axa−1,(uv)′=u′v−uv′v2,ddxf(u(x))=f′(u) u′(x)\frac{d}{dx}x^{a}=ax^{a-1},\qquad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},\qquad \frac{d}{dx}f\big(u(x)\big)=f'(u)\,u'(x)

∂G∂s=Gx′∂x∂s+Gy′∂y∂s,y=fg ⟹ y′y=g′ln⁡f+gf′f\frac{\partial G}{\partial s}=G'_{x}\frac{\partial x}{\partial s}+G'_{y}\frac{\partial y}{\partial s},\qquad y=f^{g}\ \Longrightarrow\ \frac{y'}{y}=g'\ln f+g\frac{f'}{f}

Og de to funksjonene: ddxln⁡g=g′g\displaystyle \frac{d}{dx}\ln g=\dfrac{g'}{g} og ddxeg=egg′\displaystyle \frac{d}{dx}e^{g}=e^{g}g'.

Løsningsoppskriften for Oppgave 1

Fire steg, hver gang, uansett hvilken funksjon som står der. Bruk ti sekunder på steg 1 — det er det som avgjør resten.

Steg 1 — identifiser metoden. Gå gjennom spørsmålene i denne rekkefølgen:

1. Står variabelen i eksponenten OG i grunntallet? → logaritmisk derivasjon (kap. 1.4).
2. Er de indre variablene selv funksjoner av noe annet? → kjerneregelen for flere variabler, med tilbakesubstitusjon (kap. 1.3).
3. Er funksjonsformen ukjent (bare navngitt)? → symbolsk derivasjon; svaret skal inneholde k′k', g′g' (kap. 1.5).
4. Er det en brøk? → kan den skrives om til ledd med negative eksponenter? Hvis ikke: kvotientregelen, med uu, vv, u′u', v′v' skrevet opp først.
5. Ellers → potens-, produkt- og kjerneregel som vanlig.

Steg 2 — deriver med hensyn på hvert argument. Har funksjonen to variabler, skal du levere både fx′f'_{x} og fy′f'_{y} med mindre oppgaven sier noe annet. Skriv hvilken variabel som holdes konstant.

Steg 3 — substituer tilbake. Er det innført hjelpevariabler (xx, yy som funksjoner av ss, tt), skal sluttsvaret stå i de opprinnelige variablene. Sjekkspørsmål: står det noen hjelpevariabler igjen?

Steg 4 — forenkl åpenbart. Sett fellesfaktorer utenfor, forkort brøker, samle like ledd. Sensor krever åpenbar forenkling for full uttelling — men forventer ikke at du ganger ut store parenteser.

Steg 5 (valgfritt, men billig) — kontroller. Regn den kryssderiverte begge veier, eller sett inn en enkel spesialverdi. Det tar under ett minutt og fanger de fleste feil.

✏️Gjennomregnet eksamenscase: en komplett Oppgave 1

Deriver funksjonene med hensyn på de angitte variablene:

a) f(x,y)=yx2+yf(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}+y} — finn fx′f'_{x} og fy′f'_{y}.

b) g(x)=(x+1)xg(x)=(x+1)^{x}, x>−1x>-1 — finn g′(x)g'(x).

c) G(s,t)=x−y2G(s,t)=x-y^{2} der x=stx=st og y=s−ty=s-t — finn ∂G/∂s\partial G/\partial s og ∂G/∂t\partial G/\partial t.

d) h(x)=x2g(x)+1g(x)h(x)=x^{2}g(x)+\dfrac{1}{g(x)}, der gg er deriverbar og g(x)≠0g(x)\ne 0 — finn h′(x)h'(x).

Hvert delpunkt er verdt like mange poeng. Margnotatene i kursiv viser hva som gir uttelling ved hvert steg.

---

a) Brøk i to variabler.

Metodevalg (steg 1): telleren er ren yy, nevneren inneholder begge — kvotientregelen, men merk at mht. xx er telleren konstant, så da holder kjerneregelen.

Mht. xx: skriv f=y (x2+y)−1f=y\,(x^{2}+y)^{-1} med yy som konstant faktor:

fx′=y⋅(−1)(x2+y)−2⋅2x=−2xy(x2+y)2f'_{x}=y\cdot(-1)(x^{2}+y)^{-2}\cdot 2x=-\frac{2xy}{(x^{2}+y)^{2}}

Mht. yy: nå varierer både teller og nevner. Kvotientregelen med u=yu=y (uy′=1u'_{y}=1) og v=x2+yv=x^{2}+y (vy′=1v'_{y}=1):

fy′=1⋅(x2+y)−y⋅1(x2+y)2=x2(x2+y)2f'_{y}=\frac{1\cdot(x^{2}+y)-y\cdot 1}{(x^{2}+y)^{2}}=\frac{x^{2}}{(x^{2}+y)^{2}}

Uttelling her: at de to deriverte behandles med hver sin metode, og at telleren i fy′f'_{y} er ryddet til x2x^{2}. Å levere x2+y−y(x2+y)2\displaystyle \frac{x^{2}+y-y}{(x^{2}+y)^{2}} er uforenklet.

---

b) Variabel eksponent.

Metodevalg: variabelen står både i grunntallet (x+1x+1) og i eksponenten (xx) — logaritmisk derivasjon. Dette er delpunktet som skiller, fordi feil metode her gir svært lite.

ln⁡g=x ln⁡(x+1)\ln g=x\,\ln(x+1)

Deriver begge sider; høyresiden er et produkt:

g′g=ln⁡(x+1)+x⋅1x+1\frac{g'}{g}=\ln(x+1)+x\cdot\frac{1}{x+1}

Gang opp og sett inn:

g′(x)=(x+1)x[ln⁡(x+1)+xx+1]g'(x)=(x+1)^{x}\left[\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}\right]

Uttelling: at metoden navngis, at alle fire steg vises, og at funksjonen står som faktor til slutt. Kontroll: ved x=0x=0 er g=1g=1 og klammen ln⁡1+0=0\ln 1+0=0, så g′(0)=0g'(0)=0.

---

c) Indre variabler.

Metodevalg: xx og yy er selv funksjoner av ss og tt — kjerneregelen for flere variabler. Her ligger tilbakesubstitusjonen sensor ser etter (feil #5 — ikke substituere tilbake for de indre variablene).

Partiellderiverte av den ytre funksjonen: Gx′=1G'_{x}=1 og Gy′=−2yG'_{y}=-2y.

Indre deriverte: ∂x∂s=t\dfrac{\partial x}{\partial s}=t, ∂x∂t=s\dfrac{\partial x}{\partial t}=s, ∂y∂s=1\dfrac{\partial y}{\partial s}=1, ∂y∂t=−1\dfrac{\partial y}{\partial t}=-1.

∂G∂s=1⋅t+(−2y)⋅1=t−2y=t−2(s−t)=3t−2s\frac{\partial G}{\partial s}=1\cdot t+(-2y)\cdot 1=t-2y=t-2(s-t)=3t-2s

∂G∂t=1⋅s+(−2y)⋅(−1)=s+2y=s+2(s−t)=3s−2t\frac{\partial G}{\partial t}=1\cdot s+(-2y)\cdot(-1)=s+2y=s+2(s-t)=3s-2t

Uttelling: begge ledd med, riktig fortegn på ∂y/∂t=−1\partial y/\partial t=-1, og tilbakesubstitusjon utført. Kontroll: G=st−(s−t)2G=st-(s-t)^{2} derivert direkte gir t−2(s−t)=3t−2st-2(s-t)=3t-2s ✓.

---

d) Ukjent funksjonsform.

Metodevalg: gg er bare navngitt — symbolsk derivasjon. Svaret skal inneholde gg og g′g'.

Første ledd, produktregelen: 2x g(x)+x2g′(x)2x\,g(x)+x^{2}g'(x).

Andre ledd: skriv (g(x))−1\big(g(x)\big)^{-1} og bruk kjerneregelen: −(g(x))−2g′(x)-\big(g(x)\big)^{-2}g'(x).

h′(x)=2x g(x)+x2g′(x)−g′(x)(g(x))2h'(x)=2x\,g(x)+x^{2}g'(x)-\frac{g'(x)}{\big(g(x)\big)^{2}}

Uttelling: at svaret leveres symbolsk uten forsøk på å anta en form for gg, og at fortegnet på siste ledd er negativt. Kontroll med spesialtilfelle g(x)=xg(x)=x: da er h=x3+1x\displaystyle h=x^{3}+\frac1x med h′=3x2−1x2\displaystyle h'=3x^{2}-\frac{1}{x^{2}}, og formelen gir 2x⋅x+x2⋅1−1x2=3x2−1x2\displaystyle 2x\cdot x+x^{2}\cdot 1-\frac{1}{x^{2}}=3x^{2}-\frac{1}{x^{2}} ✓.

---

Samlet tidsbruk: dette settet skal kunne skrives på 20–25 minutter når metodevalget sitter. Det aller meste av tiden går til delpunkt b) og c).

Runde 1 — Grunnreglene på fart (~15 min)

Tre oppgaver på ren regneteknikk. Ta tiden: målet er under fem minutter per oppgave, med forenklet svar.

📝Oppgave 1
P1

Deriver og forenkle:

a) f(x)=4x3−6x2+xf(x)=4x^{3}-\dfrac{6}{x^{2}}+\sqrt{x}

b) g(x)=(3x2−2)4g(x)=\big(3x^{2}-2\big)^{4}

📝Oppgave 2
Sjanger P1

Deriver og forenkle:

a) h(x)=2x+1x2+3h(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}

b) k(x)=e−3xln⁡xk(x)=e^{-3x}\ln x, x>0x>0

📝Oppgave 3
Sjanger P1
Deriver og forenkle til én brøk:

m(x)=xx2+4.m(x)=x\sqrt{x^{2}+4}.

Runde 2 — Partiellderivasjon (~20 min)

— naturlig pausepunkt —

Nå med to variabler. Husk å levere begge de partiellderiverte når oppgaven ber om «alle argumenter».

📝Oppgave 4
Sjanger P1

La f(x,y)=x3y−2xy2+y3f(x,y)=x^{3}y-2xy^{2}+y^{3}.

a) Finn fx′f'_{x} og fy′f'_{y}.

b) Finn fxy′′f''_{xy}, og kontroller ved å regne fyx′′f''_{yx}.

📝Oppgave 5
Sjanger P1
La

g(x,y)=x+yxy,x,y>0.g(x,y)=\frac{x+y}{xy},\qquad x,y>0.

Finn gx′g'_{x} og gy′g'_{y}. Tips: se på uttrykket før du setter i gang med kvotientregelen.

📝Oppgave 6
Sjanger P1
En bedrift har produktfunksjonen

Q(K,L)=5K0,6L0,4,Q(K,L)=5K^{0{,}6}L^{0{,}4},

der KK er kapital og LL er arbeidskraft.

a) Finn grenseproduktene QK′Q'_{K} og QL′Q'_{L}.

b) Finn QKL′′Q''_{KL}, og forklar fortegnet økonomisk.

Runde 3 — Logaritmisk derivasjon og indre variabler (~22 min)

De to variantene som skiller mest på eksamen. Begge har en fast oppskrift — bruk den, ikke improviser.

📝Oppgave 7
Sjanger P1
Bruk logaritmisk derivasjon til å finne y′y' når

y=x3x,x>0.y=x^{3x},\qquad x>0.

📝Oppgave 8
Sjanger P1
Finn den deriverte av

y=(ln⁡x)x,x>1.y=\big(\ln x\big)^{x},\qquad x>1.

Forklar kort hvorfor kravet x>1x>1 står der.

📝Oppgave 9
Sjanger P1
La

G(x,y)=x2y,x=s+t,y=s−t.G(x,y)=x^{2}y,\qquad x=s+t,\qquad y=s-t.

a) Finn ∂G/∂s\partial G/\partial s og ∂G/∂t\partial G/\partial t, uttrykt ved ss og tt.

b) Kontroller ved å sette inn for xx og yy først.

📝Oppgave 10
Sjanger P1

La z=ln⁡(u2+v)z=\ln\big(u^{2}+v\big), der u=t2u=t^{2} og v=etv=e^{t}.

Finn dzdt\dfrac{dz}{dt}, uttrykt ved tt.

Runde 4 — Generelle funksjoner og et komplett sett (~23 min)

— naturlig pausepunkt —

Til slutt de symbolske delpunktene, og et helt Oppgave 1-sett du skal ta på tid.

📝Oppgave 11
Sjanger P1
La kk være en deriverbar funksjon med k(p)>0k(p)>0, og la

H(p)=p k(p)+ln⁡k(p).H(p)=p\,k(p)+\ln k(p).

Finn H′(p)H'(p).

📝Oppgave 12
Sjanger P1
La bb være en deriverbar funksjon av to variabler og gg en deriverbar funksjon av én variabel. La

F(x,y)=b(x,y) g(x).F(x,y)=b(x,y)\,g(x).

Finn Fx′F'_{x} og Fy′F'_{y}.

📝Oppgave 13
Sjanger P1

Sett klokka på 22 minutter og løs hele settet. Deriver med hensyn på de angitte variablene, og forenkl åpenbart.

a) f(x,y)=yx2+yf(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}+y} — finn fx′f'_{x} og fy′f'_{y}.

b) g(x)=(x+1)xg(x)=(x+1)^{x}, x>−1x>-1 — finn g′(x)g'(x).

c) G(s,t)=x−y2G(s,t)=x-y^{2} der x=stx=st og y=s−ty=s-t — finn ∂G/∂s\partial G/\partial s og ∂G/∂t\partial G/\partial t.

d) h(x)=x2g(x)+1g(x)h(x)=x^{2}g(x)+\dfrac{1}{g(x)}, gg deriverbar med g(x)≠0g(x)\ne 0 — finn h′(x)h'(x).

📝Oppgave 14
Sjanger P1
La kk være en to ganger deriverbar funksjon, og la

R(x)=k(x)x,x>0.R(x)=\frac{k(x)}{x},\qquad x>0.

a) Finn R′(x)R'(x).

b) Vis at R′(x)=0R'(x)=0 er ekvivalent med x k′(x)=k(x)x\,k'(x)=k(x).

c) Anta at k(x)>0k(x)>0 og k′(x)>0k'(x)>0 for alle x>0x>0. Hva sier betingelsen i b) om forholdet mellom k′k' og gjennomsnittet k/xk/x i et slikt punkt?

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Metodevalg-treet for Oppgave 1
Fem spørsmål, stilt i fast rekkefølge, avgjør hvilken metode hvert delpunkt krever.

eksponent OG grunntall variable?→log.derivasjon;indre variabler?→kjerneregel + tilbakesubstitusjon\text{eksponent OG grunntall variable?}\to\text{log.derivasjon};\quad \text{indre variabler?}\to\text{kjerneregel + tilbakesubstitusjon}

Deretter: er formen ukjent, blir svaret symbolsk; er det en brøk, prøv oppdeling før kvotientregelen; ellers gjelder potens-, produkt- og kjerneregel. Ti sekunder på dette valget sparer minutter på regningen — og hindrer at du starter på feil vei.

Løsningsoppskriften i fire steg
Fremgangsmåten er den samme for hvert eneste delpunkt i Oppgave 1.

1) velg metode → 2) deriver mht. hvert argument → 3) substituer tilbake → 4) forenkl\text{1) velg metode}\ \to\ \text{2) deriver mht. hvert argument}\ \to\ \text{3) substituer tilbake}\ \to\ \text{4) forenkl}

Steg 3 er bare aktuelt når det finnes indre variabler, men steg 4 gjelder alltid. Et femte, valgfritt steg — kontrollregning — koster under et minutt og fanger de fleste feilene.

Sjekklisten før du går videre
Tre spørsmål før du forlater et delpunkt, hver knyttet til en dokumentert feilkilde.

Sta˚r det hjelpevariabler igjen?Er alle ledd med?Er svaret forenklet?\text{Står det hjelpevariabler igjen?}\quad \text{Er alle ledd med?}\quad \text{Er svaret forenklet?}

Det første fanger feil #5 (manglende tilbakesubstitusjon), det andre glemte bidrag i kjerneregelen eller produktregelen, og det tredje kravet om åpenbar forenkling. Til sammen dekker de det aller meste av poengtapet på oppgaven.

Tidsbudsjettet for Oppgave 1
Med 100 poeng fordelt på 180 minutter er ett poeng verdt om lag 1,8 minutter — og Oppgave 1 gir typisk 15–25 poeng.

20 poeng ≈ 36 minutter tildelt tid20\ \text{poeng}\ \approx\ 36\ \text{minutter tildelt tid}

Målet er likevel å bli ferdig på 20–25 minutter, fordi delpunktene er mekaniske. Overskuddet er ren gevinst: det gir deg tid til storoppgavene, der poengene er dyrere å hente. Merk at tallet gjelder skrivetid — lesing av settet og kontrollregning kommer i tillegg.

Tilbakesubstitusjon i drillen
Er det innført hjelpevariabler, skal sluttsvaret stå i de variablene oppgaven faktisk spør om.

∂G∂s=2xy+x2 ⟶ 3s2+2st−t2\frac{\partial G}{\partial s}=2xy+x^{2}\ \longrightarrow\ 3s^{2}+2st-t^{2}

Dette er feil #5 i bokas feilregister, og det er den enkleste feilen å unngå: still deg selv spørsmålet «står det noen xx eller yy igjen?» før du går videre til neste delpunkt.

Åpenbar forenkling i praksis
Sensor krever forenkling for full uttelling, men forventer ikke maksimal utregning. Skillet er lettere enn det høres ut.

2xe−2x−2x2e−2x → 2xe−2x(1−x)men5(x2+3x)4(2x+3) sta˚r som det er2xe^{-2x}-2x^{2}e^{-2x}\ \to\ 2xe^{-2x}(1-x)\qquad\text{men}\qquad 5(x^{2}+3x)^{4}(2x+3)\ \text{står som det er}

Regelen er: faktoriser når det avslører struktur (typisk fortegn), og la store parenteser stå. Forkort alltid brøker, og skriv aldri 8x2\displaystyle \frac{8x}{2} når du kan skrive 4x4x.

Poeng likt fordelt per delpunkt
Sensorveiledningene oppgir hvert år at poengene fordeles likt mellom delpunktene innenfor en oppgave.

4 delpunkter ⟹ hvert delpunkt er verdt like mye\text{4 delpunkter}\ \Longrightarrow\ \text{hvert delpunkt er verdt like mye}

Konsekvensen for strategien er tydelig: et delpunkt du står helt fast på, er ikke verdt mer enn de andre. Sett av omtrent lik tid til hvert, og gå videre når tiden er brukt opp — det siste delpunktet gir like mange poeng som det første.

Følgefeil straffes ikke
Regner du feil ett sted, men bygger korrekt videre på ditt eget mellomresultat, trekkes du ikke for det samme igjen.

feil i fx′ → riktig bruk av det feilaktige fx′ i fxy′′ → full uttelling for siste steg\text{feil i}\ f'_{x}\ \to\ \text{riktig bruk av det feilaktige}\ f'_{x}\ \text{i}\ f''_{xy}\ \to\ \text{full uttelling for siste steg}

Unntaket er når feilen gjør resten vesentlig lettere. Praktisk konsekvens: stopp aldri opp fordi et tall ser rart ut — skriv videre med det du har, og noter gjerne at du er usikker. Metoden bærer poengene, ikke svaret.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.