1.5 Derivasjon av generelle og ukjente funksjoner

Å derivere symbolsk når funksjonsformen ikke er oppgitt — $k(p)$, $b(x,y)$, $g(u)$ beholdes som $k'(p)$ osv.

35 min

7 oppgaver

Derivasjon av generelleukjente funksjoner

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Kjerneregelen for flere variabler (totalderivert)

Brukes videre i

1.6Drill: Oppgave 1 — partiellderivasjonspakken

Nesten hvert år har eksamens Oppgave 1 ett delpunkt med en funksjon som aldri blir oppgitt. Du får bare vite at

k(p)

g(u)

b(x,y)

eller

m(y)

er «en deriverbar funksjon», og skal derivere likevel. I denne boka er dette fortsatt sjanger P1 — partiellderivasjon («deriver funksjonene med hensyn på argumentene»), åpningsoppgaven som står i alle 16 settene i arkivet.

Hvorfor sensor liker denne varianten: den tester om du har forstått derivasjonsreglene, løsrevet fra konkret regning. Kan du produkt-, kvotient- og kjerneregelen bare når du har et tall å regne på, avsløres det her.

Det viktigste enkeltpoenget: svaret skal inneholde $k'$ , $g'$ og lignende. Det er ikke et uferdig svar — det er fasiten. Studenter som prøver å «bli ferdige» ved å anta en konkret form, mister poeng på noe de egentlig kunne.

Kapitlet har høyeste prioritet, og det er kort. Det peker dessuten fremover: komparativ statikk i Del 9 og de bevis-lette oppgavene i kap. 2.2 og kap. 7.2 består i sin helhet av regning med generelle funksjoner.

Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på kap. 1.1 (produkt-, kvotient- og kjerneregelen), kap. 1.2 (partiellderiverte) og kap. 1.3 (kjerneregelen for flere variabler). Ingen nye regler innføres her — de gamle brukes bare uten tall.

Reglene du bygger på, i sin symbolske form:

$(uv)'=u'v+uv',\qquad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},\qquad \big(f(u(x))\big)'=f'(u)\,u'(x)$

En bedrift står overfor en etterspørselsfunksjon. Du vet ikke hvordan den ser ut — det gjør ikke økonomen heller — men du vet at den finnes, at den er deriverbar, og at den deriverte er negativ (høyere pris gir lavere salg).

Det er nok til å regne. Nesten all økonomisk teori er bygget slik: man antar en generell funksjon $k(p)$ , deriverer symbolsk, og leser konklusjoner ut av fortegnene. Resultatene blir da gyldige for alle etterspørselsfunksjoner med de egenskapene, ikke bare for én bestemt.

Kapitlet er bygget som tre løkker: én ukjent funksjon i produkt og brøk (løkke 1), sammensetning og kjerneregel med ukjente funksjoner (løkke 2), og flere variabler pluss andrederiverte (løkke 3).

Løkke 1 — Én ukjent funksjon i produkt og brøk (~12 min)

Generell (ukjent) funksjon

k(p),\qquad g(u),\qquad b(x,y),\qquad m(y)

Antakelsen «deriverbar»

k

Den symbolske deriverte

k'(x)

k'(x)

Produktregelen med generell funksjon

\frac{d}{dx}\big[x\,k(x)\big]=1\cdot k(x)+x\cdot k'(x)=k(x)+x\,k'(x)

✏️Eksempel 1: Inntekt med generell etterspørsel

Et kraftselskap selger $k(p)$ enheter når prisen er $p$ , der $k$ er en deriverbar funksjon. Samlet inntekt er $R(p)=p\,k(p)$ .

Finn $R'(p)$ , og forklar de to leddene.

Produktregelen med

u=p

(

u'=1

) og

v=k(p)

(

v'=k'(p)

$R'(p)=k(p)+p\,k'(p)$

Det første leddet, $k(p)$ , er den mengden som allerede selges: hver enhet gir én krone mer i inntekt når prisen øker med én krone.

Det andre leddet, $p\,k'(p)$ , er tapet fra at salget faller: $k'(p)$ er hvor mange enheter som forsvinner per krone prisøkning, og hver av dem ville gitt prisen $p$ i inntekt.

Fortegnsdrøfting. For en normal etterspørselsfunksjon er $k'(p)<0$ , så de to leddene trekker i hver sin retning. Inntekten øker med prisen bare hvis $k(p)>-p\,k'(p)$ , altså hvis mengdefallet er lite nok. Dette er hele elastisitetsanalysen i Del 2 — i kimform.

Merk at svaret er ferdig. Vi kan ikke regne ut $k(p)$ eller $k'(p)$ som tall, og det skal vi heller ikke. Uttrykket $k(p)+p\,k'(p)$ er løsningen.

📝Oppgave 1

La $g$ og $k$ være deriverbare funksjoner. Deriver:

a) $f(x)=3\,k(x)$

b) $h(x)=k(x)+g(x)$

c) $m(x)=x^{2}+k(x)$

Kvotientregelen med generell funksjon

\frac{d}{dx}\left(\frac{k(x)}{x}\right)=\frac{k'(x)\cdot x-k(x)\cdot 1}{x^{2}}=\frac{x\,k'(x)-k(x)}{x^{2}}

✏️Eksempel 2: Produkt og brøk i samme uttrykk

g

k

være deriverbare funksjoner, og la

$H(x)=x^{2}g(x)-\frac{k(x)}{x},\qquad x>0.$

Finn $H'(x)$ .

Ledd 1 — produktregelen med

u=x^{2}

(

u'=2x

) og

v=g(x)

(

v'=g'(x)

$\frac{d}{dx}\big[x^{2}g(x)\big]=2x\,g(x)+x^{2}g'(x)$

Ledd 2 — kvotientregelen med $u=k(x)$ og $v=x$ :

$\frac{d}{dx}\left(\frac{k(x)}{x}\right)=\frac{k'(x)\cdot x-k(x)}{x^{2}}$

Sett sammen, med minusen fra det opprinnelige uttrykket:

$H'(x)=2x\,g(x)+x^{2}g'(x)-\frac{x\,k'(x)-k(x)}{x^{2}}$

Åpenbar forenkling: del opp den siste brøken.

$H'(x)=2x\,g(x)+x^{2}g'(x)-\frac{k'(x)}{x}+\frac{k(x)}{x^{2}}$

Merk fortegnet på siste ledd. Minusen foran brøken og minusen inne i telleren gir pluss. Det er nøyaktig her feil #12 slår til i symbolske uttrykk — sett alltid hele kvotientregelens resultat i parentes før du setter minus foran.

Kontroll uten tall: setter du $k(x)=x$ , skal siste del gi $\displaystyle \frac{d}{dx}\frac{x}{x}=0$ . Formelen gir $\displaystyle -\frac{1}{x}+\frac{x}{x^{2}}=-\frac1x+\frac1x=0$ . ✓ Slike spesialtilfeller er en billig og effektiv kontroll på symbolske svar.

📝Oppgave 2

Sjanger P1

La $k$ være en deriverbar funksjon med $k(x)>0$ . Deriver:

a) $f(x)=\dfrac{1}{k(x)}$

b) $g(x)=\big(k(x)\big)^{2}$

c) $h(x)=x\,k(x)+\ln k(x)$

Løkke 2 — Sammensetning av ukjente funksjoner (~11 min)

Kjerneregelen med generell funksjon

\frac{d}{dx}\,g\big(u(x)\big)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)

Sammensetning av to ukjente funksjoner

\frac{d}{dx}\,g\big(u(x)\big)=g'\big(u(x)\big)\,u'(x)

✏️Eksempel 3: Kjerneregelen uten formler

La $g$ , $u$ , $k$ og $m$ være deriverbare funksjoner, med $k(x)>0$ . Deriver:

a) $f(x)=g\big(u(x)\big)$ , b) $F(x)=\ln k(x)$ , c) $G(x)=e^{m(x)}$ , d) $P(x)=\sqrt{k(x)}$ .

a) Ren kjerneregel:

$f'(x)=g'\big(u(x)\big)\,u'(x)$

b) Den ytre funksjonen er $\ln$ , som har derivert $\displaystyle \frac{1}{\text{innmat}}$ :

$F'(x)=\frac{k'(x)}{k(x)}$

c) Den ytre funksjonen er $e$ , som blir stående:

$G'(x)=m'(x)\,e^{m(x)}$

d) Roten er en potens: $P=\big(k(x)\big)^{1/2}$ , og kjerneregelen gir

$P'(x)=\frac{1}{2}\big(k(x)\big)^{-1/2}k'(x)=\frac{k'(x)}{2\sqrt{k(x)}}$

Fellesnevneren i alle fire: den ukjente funksjonens deriverte kommer som faktor, og den ytre regelen bestemmer hva den ganges med. Det er nøyaktig samme mønster som med konkrete funksjoner — bare uten muligheten til å regne ut noe.

📝Oppgave 3

Sjanger P1

La $g$ , $u$ og $k$ være deriverbare funksjoner. Deriver:

a) $f(x)=x\,g\big(x^{2}\big)$

b) $h(x)=k\big(u(x)\big)+u\big(k(x)\big)$

Løkke 3 — Flere variabler og andrederiverte (~10 min)

Partiellderivasjon med generelle funksjoner

b'_{x}

Andrederiverte av generelle uttrykk

k'(x)

✏️Eksempel 4: Eksamensnivå — generelle funksjoner i to variabler

b

være en deriverbar funksjon av to variabler og

h

en deriverbar funksjon av én variabel. La

$F(x,y)=b(x,y)\,h(y)+\frac{x}{h(y)},\qquad h(y)\ne 0.$

a) Finn $F'_{x}$ .

b) Finn $F'_{y}$ .

a) Med hensyn på $x$ . Nå er

h(y)

en konstant — den inneholder ingen

x

- Første ledd: $h(y)$ er konstant faktor, så vi deriverer bare $b$ mht. $x$ → $b'_{x}(x,y)\,h(y)$ .
- Andre ledd: $\dfrac{x}{h(y)}$ er $x$ ganget med konstanten $\dfrac{1}{h(y)}$ → $\dfrac{1}{h(y)}$ .

$F'_{x}=b'_{x}(x,y)\,h(y)+\frac{1}{h(y)}$

b) Med hensyn på $y$ . Nå varierer begge faktorene i første ledd, og nevneren i andre ledd.

- Første ledd, produktregelen: $b'_{y}(x,y)\,h(y)+b(x,y)\,h'(y)$ .
- Andre ledd: skriv $x\big(h(y)\big)^{-1}$ og bruk kjerneregelen, med $x$ som konstant faktor → $-x\big(h(y)\big)^{-2}h'(y)$ .

$F'_{y}=b'_{y}(x,y)\,h(y)+b(x,y)\,h'(y)-\frac{x\,h'(y)}{\big(h(y)\big)^{2}}$

Tre grep bar føringen over: hvert ledd ble behandlet for seg med metoden navngitt, det ble sagt eksplisitt at $h(y)$ er konstant mht. $x$ , og sluttsvaret står i symbolsk form uten forsøk på å «regne det ut».

Kontroll ved et spesialtilfelle: sett $b(x,y)=x$ og $h(y)=y$ . Da er $\displaystyle F=xy+\frac{x}{y}$ , og direkte derivasjon gir $\displaystyle F'_{x}=y+\frac1y$ og $\displaystyle F'_{y}=x-\frac{x}{y^{2}}$ . Formlene våre gir $b'_{x}=1$ , $b'_{y}=0$ , $h'=1$ , altså $\displaystyle F'_{x}=y+\frac1y$ ✓ og $\displaystyle F'_{y}=0+x-\frac{x}{y^{2}}$ ✓.

📝Oppgave 6

Sjanger P1

La $b$ være en deriverbar funksjon av to variabler og $h$ en deriverbar funksjon av én variabel. Finn de partiellderiverte:

a) $\dfrac{\partial}{\partial x}\Big[b(x,y)+h(y)\Big]$

b) $\dfrac{\partial}{\partial y}\Big[b(x,y)+h(y)\Big]$

📝Oppgave 7

Sjanger P1

En bedrift produserer

F(N)

enheter med

N

ansatte, der

F

er deriverbar. Produktet selges til fast pris

p

, og lønnen per ansatt er

w

. Overskuddet er

$\pi(N)=p\,F(N)-wN.$

a) Finn $\pi'(N)$ .

b) Skriv opp betingelsen $\pi'(N)=0$ , og tolk den i ord.

c) Anta i tillegg at $F$ er to ganger deriverbar. Finn $\pi''(N)$ .

Typiske feil med generelle funksjoner

- Å anta en konkret form. «La oss si at $k(x)=x^{2}$ » besvarer en annen og lettere oppgave. Antar du noe oppgaven ikke gir, mister du poengene selv om regningen er riktig.
- Å behandle $k'(x)$ som en konstant. Ved andregangs derivasjon blir $k'$ til $k''$ , ikke til null. Dette er den klart vanligste feilen når oppgaven ber om andrederiverte.
- Feil argument i den deriverte. Kjerneregelen gir $g'\big(u(x)\big)$ , ikke $g'(x)$ . Skriv alltid argumentet ut, også når det er tungvint.
- Å tro at svaret er uferdig. Et uttrykk med $k$ , $k'$ , $g$ og $g'$ i seg er fasiten. Sensor forventer nettopp det.
- Feil #12 — fortegnsfeil i deriverte av brøker. Kvotientregelen er ekstra farlig symbolsk, fordi du ikke kan tallsjekke underveis. Sett hele resultatet i parentes før du setter minus foran det.
- Å glemme at en funksjon uten den aktuelle variabelen er konstant. Mht. $x$ er $h(y)$ et tall, og $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}h(y)=0$ .

Eksamensdrill (~7 min)

De to siste oppgavene ligger på eksamensnivå: den første er den klassiske blandingen av konkrete og ukjente funksjoner, den andre krever andrederiverte.

📝Oppgave 4

Sjanger P1

g

k

være deriverbare funksjoner, og la

$H(x)=x^{2}g(x)-\frac{k(x)}{x},\qquad x>0.$

a) Finn $H'(x)$ , og forenkle så langt det går.

b) Sett $g(x)=1$ og $k(x)=x$ , og kontroller at formelen din gir riktig svar.

📝Oppgave 5

Sjanger P1

La $k$ være en to ganger deriverbar funksjon, og la $R(x)=x\,k(x)$ .

a) Finn $R'(x)$ .

b) Finn $R''(x)$ .

c) Anta at $k'(x)<0$ og $k''(x)>0$ for alle $x>0$ . Hva kan du si om fortegnet til $R''(x)$ ? Begrunn.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Fortegnsantakelser om ukjente funksjoner

k'(p)<0\ \text{(etterspørselen faller med prisen)},\qquad F''(N)<0\ \text{(avtakende grenseprodukt)}

Når svaret «ser uferdig ut»

k

Kontroll med spesialtilfelle

\text{Sett }k(x)=x\ \text{eller}\ k(x)=1,\ \text{og sammenlign}

Broen til komparativ statikk

\text{Førsteordensbetingelse}\ \to\ \text{deriver symbolsk}\ \to\ \text{les av fortegnet på}\ \frac{dN^{*}}{dw}

Repetisjonsoppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.