2.2 Kjerneregelen for elastisiteter (bevis-lett)

$$f(x)=g\big(u(x)\big)$$

Her er $u$ den indre funksjonen og $g$ den ytre. Variabelen $x$ virker først på $u$, og resultatet mates inn i $g$. Det er denne kjeden både den vanlige kjerneregelen og elastisitetsversjonen handler om.

$$\frac{x}{g(u)}g'(u)u'(x)\cdot\frac{u}{u}=\left(\frac{u}{g}g'\right)\left(\frac{x}{u}u'\right)$$

Vi ganger med noe som er lik én, og bruker de to nye faktorene til å bygge hver sin elastisitet. Det er samme type grep som når man utvider en brøk for å få felles nevner — og det er verdt å øve inn, fordi det er stedet de fleste stopper opp.

$$f(x)=\big(Cx^{a}\big)^{b}\ \Longrightarrow\ \mathrm{El}_x f=b\cdot a$$

Da leses begge elastisitetene rett av eksponentene, og svaret er ferdig på én linje. Er den ytre funksjonen en logaritme eller en sum, må én av dem regnes fra definisjonen — men den andre er fortsatt gratis.

$$\mathrm{El}_x f=\mathrm{El}_v g\cdot\mathrm{El}_u v\cdot\mathrm{El}_x u$$

Elastisitetene ganges sammen langs hele kjeden, akkurat som de deriverte gjør. Beviset er det samme grepet gjentatt, eller regelen brukt to ganger etter hverandre.

$$1\ \%\ \text{på }x\ \to\ 2\ \%\ \text{på }u\ \to\ 6\ \%\ \text{på }f$$

Er $\mathrm{El}_x u=2$ og $\mathrm{El}_u g=3$, forsterkes prosentendringen i to trinn: først dobles den, så tredobles den, til sammen seks ganger. Multiplikasjonen er derfor ikke en teknisk tilfeldighet, men selve innholdet i en kjede av relative endringer.

$$\mathrm{El}_x f=\mathrm{El}_u g\cdot\mathrm{El}_x u$$

Den ytre elastisiteten tas med hensyn på $u$, ikke på $x$. Å bytte om indeksene er den vanligste feilen, og den ødelegger både utledningen og svaret.

$$\text{definisjon}\to\text{kjerneregel på }f'\to\text{gang med }u/u\to\text{grupper}\to\text{konkludér}$$

Steg tre er der de fleste stopper opp. Det eneste du gjør, er å gange med noe som er lik én.

$$\frac{x}{g}g'u'\cdot\frac{u}{u}=\left(\frac{u}{g}g'\right)\left(\frac{x}{u}u'\right)$$

Du trenger en $u$ i telleren til den ytre elastisiteten og en i nevneren til den indre. Å gange med én endrer ingenting, men gjør begge tilgjengelige.

$$\mathrm{El}_x f=\mathrm{El}_u g\cdot\mathrm{El}_x u\qquad\blacksquare$$

Skriv «som var det vi skulle vise» eller sett et bevis-tegn. Det koster ingenting og skiller et komplett svar fra et som ser avbrutt ut.

$$\frac{3}{\ln u}\ \text{med}\ u=x^{3}\ \Longrightarrow\ \frac{3}{3\ln x}=\frac{1}{\ln x}$$

Et svar som fortsatt inneholder $u$, er ikke ferdig. Dette er samme krav som i den vanlige kjerneregelen — feilkatalogens #5.

$$f=\big(Cx^{a}\big)^{b}\ \Longrightarrow\ \mathrm{El}_x f=ab$$

Er den ytre en logaritme eller en sum, må én elastisitet regnes fra definisjonen — men den andre er fortsatt gratis.

$$\mathrm{El}_x f=\mathrm{El}_v g\cdot\mathrm{El}_u v\cdot\mathrm{El}_x u$$

Beviset er totrinnsregelen brukt to ganger. Å bygge videre på et resultat du allerede har vist, er en helt gyldig bevisstrategi.

$$1\ \%\ \text{inn}\ \to\ \tfrac12\ \%\ \text{i midten}\ \to\ 1{,}5\ \%\ \text{ut}$$

Hvert ledd i kjeden skalerer den prosentvise endringen. Effekten kan dempes i ett ledd og forsterkes i det neste.

$$\mathrm{El}_x\ln\big(x^{n}\big)=\frac{1}{\ln x}$$

Grunnen er logaritmeregelen $\ln(x^{n})=n\ln x$: faktoren $n$ er multiplikativ og stryker seg i elastisiteten. Et resultat som er lett å kontrollere seg fram til.

$$\mathrm{El}_x\big(x^{2}+a\big)=\frac{2x^{2}}{x^{2}+a}$$

Å lese av «eksponenten $2$» her er feil. Legg merke til at uttrykket nærmer seg $2$ når $x$ blir stor — da dominerer $x^{2}$-leddet.

$$\text{kjerneregel}\ \overset{?}{=}\ \text{direkte fra definisjonen}$$

Stemmer ikke de to, er det som regel en indeksforveksling eller en glemt tilbakesubstitusjon. Kontrollen tar to minutter og fanger begge deler.

$$\Delta f\ \%\approx \mathrm{El}_x f\cdot\Delta x\ \%$$

For små endringer er anslaget godt: en fire prosents økning med elastisitet $1{,}5$ gir omtrent seks prosent. For store endringer bryter det sammen — ved en dobling gir eksakt regning 183 prosent, ikke 150.