2.1 Elastisitet: definisjon, potensregel og regneregler

$$\mathrm{El}_x f=\frac{x}{f}\,f'(x)$$

Skrivemåten leses «elastisiteten til $f$ med hensyn på $x$». Legg merke til at den deriverte skaleres med forholdet $x/f$ — det er nettopp den skaleringen som gjør tallet enhetsløst.

$$\mathrm{El}_x f\approx\frac{\text{prosentvis endring i }f}{\text{prosentvis endring i }x}$$

En elastisitet er derfor ikke en endring i kroner. At $\mathrm{El}_{p_1}x=-1$ betyr at etterspørselen faller like mange prosent som prisen stiger — ikke at den faller med én enhet. Fortegnet er informasjon i seg selv: negativt betyr at de to beveger seg i hver sin retning.

$$\lvert\mathrm{El}_x f\rvert>1\ \text{elastisk};\qquad \lvert\mathrm{El}_x f\rvert<1\ \text{uelastisk}$$

Er etterspørselen elastisk, faller den mer enn prisen stiger, målt i prosent — og da faller den samlede omsetningen. Er den uelastisk, går omsetningen opp. Nødvendighetsgoder som strøm og brød er typisk uelastiske; luksusvarer er typisk elastiske.

$$f(x)=Cx^{a}\ \Longrightarrow\ \mathrm{El}_x f=a$$

Konstanten $C$ forsvinner, og elastisiteten er den samme i alle punkter. Dette er grunnen til at potensfunksjoner er så populære i økonomiske modeller: de har konstant elastisitet innebygd, og eksponenten kan leses direkte som en økonomisk parameter.

$$\mathrm{El}_x f=\frac{x}{Cx^{a}}\cdot Cax^{a-1}=\frac{ax^{a}}{x^{a}}=a$$

Det er hele forklaringen. Elastisitet måler relativ endring, og en multiplikativ konstant endrer ikke forholdet mellom to relative størrelser — den bare bytter måleenhet.

$$\mathrm{El}_x(f\cdot g)=\mathrm{El}_x f+\mathrm{El}_x g$$

Dette er den regelen som sparer mest arbeid: du slipper å derivere hele produktet. Har uttrykket en potensfaktor, leses dens bidrag rett av eksponenten.

$$\mathrm{El}_x\!\left(\frac{f}{g}\right)=\mathrm{El}_x f-\mathrm{El}_x g$$

Minustegnet er obligatorisk, og det er nettopp der fellene ligger i sant/usant-oppgaven. Ett av settene i arkivet bruker denne regelen direkte som et delpunkt.

$$\mathrm{El}_{p_1}x=\frac{p_1}{x}\cdot\frac{\partial x}{\partial p_1}$$

Den er normalt negativ. Er tallverdien over 1, kalles etterspørselen elastisk, og en prisøkning gir lavere samlet omsetning. Er den under 1, er etterspørselen uelastisk, og omsetningen stiger.

$$x^*=\frac{m}{2p_1}\ \Longrightarrow\ \mathrm{El}_{p_1}x^*=-1,\qquad \mathrm{El}_m x^*=1$$

Grunnen er at $x^*$ er en potensfunksjon i hver av variablene: den er proporsjonal med $p_1^{-1}$ og med $m^{1}$, og eksponentene leses rett av. Økonomisk betyr det at utgiften $p_1x^*$ er konstant — resultatet fra kap. 8.2, sett fra elastisitetssiden.

$$Q=AK^{\alpha}L^{\beta}\ \Longrightarrow\ \mathrm{El}_K Q=\alpha,\qquad \mathrm{El}_L Q=\beta$$

Dette er grunnen til at $\alpha$ og $\beta$ leses direkte som faktorenes betydning: øker kapitalen med én prosent, øker produksjonen med $\alpha$ prosent. Summen $\alpha+\beta$ er homogenitetsgraden og forteller om skalautbyttet — se kap. 7.1.

$$\mathrm{El}_x f=\frac{x}{f}\,f'(x)$$

Den deriverte alene er ikke elastisiteten — faktoren $x/f$ må med. Å glemme den er den klart vanligste feilen i sjangeren.

$$f=Cx^{a}\ \Longrightarrow\ \mathrm{El}_x f=a$$

Konstanten $C$ stryker seg mot seg selv i brøken $x/f$. Skriv derfor alltid brøker og røtter om til potensform først — $3/x^{2}$ er $3x^{-2}$, og elastisiteten er $-2$.

$$\mathrm{El}(fg)=\mathrm{El}\,f+\mathrm{El}\,g;\qquad \mathrm{El}(f/g)=\mathrm{El}\,f-\mathrm{El}\,g$$

De er multiplikative, akkurat som logaritmeregler. Minustegnet i den andre er der fellene i sant/usant-oppgaven ligger.

$$\mathrm{El}(f+g)\ne\mathrm{El}\,f+\mathrm{El}\,g$$

Elastisiteten til en sum ligger mellom de to elastisitetene, vektet etter hvor stort hvert ledd er. For $x^{2}+x^{4}$ i $x=1$ blir den $3$, ikke $6$.

$$\lvert\mathrm{El}\rvert>1\ \text{elastisk};\qquad \lvert\mathrm{El}\rvert<1\ \text{uelastisk}$$

Ved elastisk etterspørsel faller omsetningen når prisen stiger; ved uelastisk stiger den. Nødvendighetsgoder er typisk uelastiske.

$$\mathrm{El}_x f\approx\frac{\%\text{-endring i }f}{\%\text{-endring i }x}$$

Derfor kan elastisiteter sammenlignes på tvers av varer og valutaer. Å tolke $-2$ som «faller med to enheter» er en tolkningsfeil som koster hele delpunktet.

$$q=100-2p:\ \mathrm{El}_p q=-\tfrac23\ \text{i}\ p=20,\ \text{men}\ -4\ \text{i}\ p=40$$

En rett etterspørselslinje har ulik elastisitet i hvert punkt. Derfor må et svar alltid knyttes til punktet det gjelder.

$$x^*=\frac{m}{2p_1}\ \Longrightarrow\ \mathrm{El}_{p_1}x^*=-1,\quad \mathrm{El}_m x^*=1$$

Etterspørselen er en potensfunksjon i hver variabel, så eksponentene leses av. At priselastisiteten er nøyaktig $-1$, er det samme som at utgiften er konstant.

$$Q=AK^{\alpha}L^{\beta}\ \Longrightarrow\ \mathrm{El}_K Q=\alpha,\quad \mathrm{El}_L Q=\beta$$

Én prosent mer kapital gir $\alpha$ prosent mer produksjon. Summen $\alpha+\beta$ sier noe annet — den er homogenitetsgraden, og den styrer skalautbyttet.

$$\mathrm{El}_{p_1}\big(p_1x^*\big)=1+(-1)=0\ \Longleftrightarrow\ p_1x^*\ \text{konstant}$$

Dette er en rask kontroll på at en utledning stemmer: får du null, skal størrelsen la seg regne ut til noe uten den variabelen i.

$$x^*=\frac{m}{2p_1}\ \Longrightarrow\ \mathrm{El}_{p_2}x^*=0$$

Variabelen $p_2$ står ikke i uttrykket, så elastisiteten er null. Det er en spesiell egenskap ved logaritmisk Cobb-Douglas-nytte, ikke en generell regel.

$$f(1{,}01x)\ \text{mot}\ f(x)\cdot\big(1+0{,}01\,\mathrm{El}_x f\big)$$

Øk $x$ med én prosent og se om $f$ endrer seg med omtrent så mange prosent som elastisiteten sier. Avvik i tredje desimal er normalt — elastisiteten er marginal.