8.2 Optimering av overskudd | Matematikk S2

Lær om maksimering av overskuddet, regelen $I'(x) = K'(x)$, marginalanalyse, lønnsomhet og hvordan man finner optimalt produksjonsnivå med derivasjon.

55 min

21 oppgaver

OverskuddsfunksjonenI'(x) = K'(x)Nullpunkter for overskuddetMarginalanalyseLønnsomhet og enhetskostnad

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Kostnads- og inntektsfunksjoner

Overskudd og optimering

Overskudd er forskjellen mellom inntekt og kostnad. En bedrift ønsker å maksimere overskuddet, og vi kan bruke derivasjon til å finne det produksjonsnivået som gir størst overskudd.

Overskuddsfunksjonen er definert som:
$O(x) = I(x) - K(x)$

der $I(x)$ er totalinntekten og $K(x)$ er totalkostnaden. Maksimering av overskuddet er kanskje den viktigste anvendelsen av derivasjon i økonomisk analyse.

Overskuddsfunksjonen

O(x)

📜Størst overskudd:

I'(x) = K'(x)

Overskuddet

O(x) = I(x) - K(x)

er størst når:

$\begin{aligned} &O'(x) = 0 \\ \Leftrightarrow {}&I'(x) - K'(x) = 0 \\ \Leftrightarrow {}&I'(x) = K'(x) \end{aligned}$

Det vil si: Overskuddet er maksimalt der grenseinntekten $I'(x)$ er lik grensekostnaden $K'(x)$ .

I tillegg må vi ha $O''(x) < 0$ , altså $I''(x) < K''(x)$ for at det skal være et maksimum.

Regelen $I'(x) = K'(x)$ :
- Så lenge $I'(x) > K'(x)$ : hver ekstra enhet gir mer inntekt enn den koster $\Rightarrow$ øk produksjonen
- Når $I'(x) < K'(x)$ : hver ekstra enhet koster mer enn den gir i inntekt $\Rightarrow$ reduser produksjonen
- Optimalt: $I'(x) = K'(x)$

✏️Maksimering av overskuddet med fast pris

En bedrift selger en vare til fast pris $p = 60$ kroner per enhet. Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 0{,}02x^3 - 1{,}5x^2 + 50x + 400$ .

a) Finn overskuddsfunksjonen $O(x)$ .
b) Finn det optimale produksjonsnivået.
c) Beregn det maksimale overskuddet.

a) Overskuddsfunksjon:

I(x) = 60x

\begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 60x - 0{,}02x^3 + 1{,}5x^2 - 50x - 400 \end{aligned}

O(x) = -0{,}02x^3 + 1{,}5x^2 + 10x - 400

b) Optimalt produksjonsnivå:
$O'(x) = -0{,}06x^2 + 3x + 10 = 0$

Alternativt: $I'(x) = K'(x)$ :
$60 = 0{,}06x^2 - 3x + 50$
$0{,}06x^2 - 3x - 10 = 0$

Med abc-formelen:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2{,}4}}{0{,}12} = \frac{3 \pm \sqrt{11{,}4}}{0{,}12}$

$x = \frac{3 + 3{,}376}{0{,}12} \approx 53{,}1 \quad \text{(forkaster negativ løsning)}$

Optimalt produksjonsnivå: ca. 53 enheter.

c) Maksimalt overskudd:
Vi verifiserer at $O''(53{,}1) = -0{,}12 \cdot 53{,}1 + 3 = -3{,}37 < 0$ . Det er maksimum.

$O(53) = -0{,}02 \cdot 148877 + 1{,}5 \cdot 2809 + 530 - 400$
$\approx -2977{,}5 + 4213{,}5 + 530 - 400 = 1366 \text{ kroner}$

Svar: a) $O(x) = -0{,}02x^3 + 1{,}5x^2 + 10x - 400$ . b) Optimalt produksjonsnivå er ca. 53 enheter. c) Det maksimale overskuddet er ca. 1366 kroner.

Grafisk tolkning av maksimering av overskuddet

Grafisk kan vi forstå maksimering av overskuddet på to måter:

Grafen til overskuddsfunksjonen $O(x)$ :
Største overskudd er toppunktet på grafen til $O(x)$ . Vi finner det ved å sette $O'(x) = 0$ .

Kostnad og inntekt i samme koordinatsystem:
Overskuddet $O(x) = I(x) - K(x)$ er den vertikale avstanden mellom inntektskurven og kostnadskurven. Denne avstanden er størst der tangentene til $I(x)$ og $K(x)$ er parallelle, altså der $I'(x) = K'(x)$ .

Nullpunkter for overskuddet:
Bedriften har overskudd ( $O(x) > 0$ ) i det intervallet der $I(x) > K(x)$ . Nullpunktene til $O(x)$ kalles også overskuddsgrenser og angir produksjonsnivåene der inntekten akkurat dekker kostnadene.

Nullpunkter for overskuddet

O(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I(x) = K(x)

✏️Maksimering av overskuddet med variabel pris

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = x^2 + 20x + 200$ og etterspørselsfunksjonen $p(x) = 100 - x$ .

a) Finn overskuddsfunksjonen $O(x)$ .
b) Finn det produksjonsnivået som gir størst overskudd.
c) Finn nullpunktene for overskuddet.

a) Overskuddsfunksjon:

I(x) = (100 - x)x = 100x - x^2

\begin{aligned} O(x) &= 100x - x^2 - x^2 - 20x - 200 \\ &= -2x^2 + 80x - 200 \end{aligned}

b) Maksimering av overskuddet:
$O'(x) = -4x + 80 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 20$

$O''(x) = -4 < 0$ , så $x = 20$ gir maksimum.

Alternativt med $I'(x) = K'(x)$ :
$\begin{aligned} &I'(x) = K'(x) \\ \Rightarrow {}&100 - 2x = 2x + 20 \\ \Rightarrow {}&x = 20 \end{aligned}$

$\begin{aligned} O(20) &= -2 \cdot 400 + 80 \cdot 20 - 200 \\ &= -800 + 1600 - 200 \\ &= 600 \text{ kroner} \end{aligned}$

Optimal produksjon er 20 enheter med overskudd 600 kroner. Prisen blir $p(20) = 80$ kr.

c) Nullpunkter for overskuddet:
$\begin{aligned} &O(x) = 0: \quad -2x^2 + 80x - 200 = 0 \\ \Rightarrow {}&x^2 - 40x + 100 = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} x &= \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 400}}{2} \\ &= \frac{40 \pm \sqrt{1200}}{2} \\ &= 20 \pm 10\sqrt{3} \end{aligned}$

$x_1 \approx 2{,}7 \quad \text{og} \quad x_2 \approx 37{,}3$

Bedriften har overskudd for $x \in \langle 2{,}7;\ 37{,}3 \rangle$ .

Svar: a) $O(x) = -2x^2 + 80x - 200$ . b) 20 enheter gir størst overskudd, 600 kroner, til pris 80 kroner. c) Nullpunktene for overskuddet er $x = 20 - 10\sqrt{3} \approx 2{,}7$ og $x = 20 + 10\sqrt{3} \approx 37{,}3$ .

📜Maksimering av overskuddet ved fast pris

Dersom en bedrift selger til fast pris

p

(fullkommen konkurranse), er

I(x) = px

I'(x) = p

$I'(x) = K'(x)$ gir:
$p = K'(x)$

Overskuddet er maksimalt der prisen er lik grensekostnaden.

Kravet til den dobbeltderiverte: $O''(x) = -K''(x) < 0$ , altså $K''(x) > 0$ , som betyr at grensekostnaden skal være voksende i det optimale punktet.

✏️Overskudd med tredjegradskostnad

En bedrift har $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 20x + 300$ og selger til fast pris $p = 20$ . Finn det produksjonsnivået som gir størst overskudd.

Overskuddsfunksjon:

O(x) = 20x - (0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 20x + 300)

O(x) = -0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 - 300

$I'(x) = K'(x)$ :
$20 = 0{,}03x^2 - 1{,}2x + 20$
$0{,}03x^2 - 1{,}2x = 0$
$0{,}03x(x - 40) = 0$
$x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 40$

$O''(x) = -0{,}06x + 1{,}2$ . $O''(40) = -2{,}4 + 1{,}2 = -1{,}2 < 0$ : maksimum.
$O''(0) = 1{,}2 > 0$ : minimum.

Optimalt produksjonsnivå er $x = 40$ .

$\begin{aligned} O(40) &= -0{,}01 \cdot 64000 + 0{,}6 \cdot 1600 - 300 \\ &= -640 + 960 - 300 \\ &= 20 \text{ kroner} \end{aligned}$

Svar: Overskuddet er størst ved $x = 40$ enheter, og da er overskuddet 20 kroner.

✏️Marginalanalyse med variabel pris

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 2x^2 + 20x + 500$ og etterspørselsfunksjonen $p(x) = 120 - x$ .

a) Finn grensekostnaden og grenseinntekten.
b) Bestem det optimale produksjonsvolumet og den tilhørende prisen.
c) Er $O'(30)$ positiv eller negativ? Tolk svaret.

a) Grensestørrelser:

$K'(x) = 4x + 20$ (grensekostnad)

$I(x) = (120 - x)x = 120x - x^2$
$I'(x) = 120 - 2x$ (grenseinntekt)

b) Optimalt volum ( $I'(x) = K'(x)$ ):

$120 - 2x = 4x + 20$
$100 = 6x$
$\displaystyle x = \frac{100}{6} \approx 16{,}7$

Siden $x$ bør være et helt tall, sammenligner vi: $O(16) = 332$ og $O(17) = 333$ , så $x = 17$ .
$p(17) = 120 - 17 = 103$ kr per enhet.

Sjekk: $O''(x) = I''(x) - K''(x) = -2 - 4 = -6 < 0$ , altså toppunkt.

c) Grenseoverskudd ved $x = 30$ :

$O'(30) = I'(30) - K'(30) = (120 - 60) - (120 + 20) = 60 - 140 = -80$

$O'(30) < 0$ : ved $x = 30$ lønner det seg ikke å øke produksjonen. Bedriften bør redusere til ca. 17 enheter.

Svar: a) $K'(x) = 4x + 20$ og $I'(x) = 120 - 2x$ . b) 17 enheter til pris 103 kr. c) $O'(30) = -80 < 0$ : overskuddet avtar ved $x = 30$ , så produksjonen bør ned mot 17 enheter.

✏️Enhetskostnad og lønnsomhet

En bedrift har $K(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 200$ og selger varen til fast pris $p = 40$ kroner per enhet.

a) Finn enhetskostnaden $E(x)$ og bestem for hvilken $x$ den er minst.
b) Er bedriften lønnsom ved minimum enhetskostnad? Begrunn svaret.

a) Enhetskostnad:

$E(x) = \frac{K(x)}{x} = 0{,}5x + 10 + \frac{200}{x}$

$\begin{aligned} &E'(x) = 0{,}5 - \frac{200}{x^2} = 0 \\ \Rightarrow {}&x^2 = 400 \\ \Rightarrow {}&x = 20 \end{aligned}$

$E(20) = 10 + 10 + 10 = 30 \text{ kr/enhet}$

b) Lønnsomhet:

Ved $x = 20$ er enhetskostnaden $E(20) = 30$ kr, som er lavere enn prisen $p = 40$ kr.

Overskudd per enhet: $p - E(20) = 40 - 30 = 10$ kr/enhet.

Totalt overskudd: $O(20) = 40 \cdot 20 - K(20) = 800 - (200 + 200 + 200) = 800 - 600 = 200$ kr.

Ja, bedriften er lønnsom. Den minimale enhetskostnaden (30 kr) er lavere enn salgsprisen (40 kr), så bedriften tjener penger.

Strategi for overskuddsoppgaver på eksamen

Fremgangsmåte:
- Sett opp $O(x) = I(x) - K(x)$
- Deriver: $O'(x) = I'(x) - K'(x)$
- Løs $O'(x) = 0$ (eller $I'(x) = K'(x)$ )
- Sjekk at $O''(x) < 0$ for å bekrefte maksimum
- Beregn $O(x)$ i det optimale punktet

Husk: Oppgaven kan be om ulike ting:
- «Finn optimalt produksjonsnivå» $\Rightarrow$ finn $x$ der $O'(x) = 0$
- «Finn det maksimale overskuddet» $\Rightarrow$ beregn $O(x)$ i optimalt punkt
- «Finn prisen ved optimal produksjon» $\Rightarrow$ sett $x$ inn i $p(x)$
- «Finn nullpunktene for overskuddet» $\Rightarrow$ løs $O(x) = 0$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = x^2 + 10x + 100$ og selger til fast pris $p = 50$ . Sett opp overskuddsfunksjonen $O(x)$ .

Finn det optimale produksjonsnivået og det maksimale overskuddet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Bruk regelen $I'(x) = K'(x)$ til å finne optimalt produksjonsnivå for $K(x) = 2x^2 + 8x + 200$ med fast pris $p = 40$ .

Beregn overskuddet ved optimalt produksjonsnivå.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Forklar med egne ord hvorfor overskuddet er maksimalt der $I'(x) = K'(x)$ .

Hva er forskjellen mellom å maksimere inntekten og å maksimere overskuddet? Gi et eksempel.

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn nullpunktene for overskuddet for $O(x) = -x^2 + 30x - 200$ .

For hvilke produksjonsnivåer har bedriften overskudd?

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

En bedrift har etterspørsel $p(x) = 200 - 4x$ og kostnad $K(x) = 2x^2 + 40x + 100$ . Finn overskuddsfunksjonen og optimalt produksjonsnivå.

Finn det maksimale overskuddet og prisen ved optimal produksjon.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 0{,}05x^3 - 3x^2 + 80x + 500$ og fast pris $p = 50$ . Sett opp overskuddsfunksjonen og finn stasjonære punkter.

Avgjør hvilken løsning som gir største overskudd, og beregn overskuddet.

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 0{,}5x^2 + 20x + 450$ og etterspørsel $p(x) = 80 - 0{,}5x$ . Finn nullpunktene for overskuddet.

Finn det optimale produksjonsnivået og vis at det ligger mellom nullpunktene for overskuddet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 3x^2 + 30x + c$ og selger til fast pris $p = 90$ . Finn den verdien av $c$ (faste kostnader) som gjør at det maksimale overskuddet er akkurat null.

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

En monopolist har etterspørsel $p(x) = 150 - 3x$ og kostnad $K(x) = 0{,}5x^3 - 10x^2 + 80x + 100$ . Finn det overskuddsmaksimerende produksjonsnivået.

Beregn det maksimale overskuddet og monopolistens pris.

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

En bedrift med kostnad $K(x) = 2x^2 + bx + 500$ selger til pris $p = 100$ . Optimalt produksjonsnivå er $x = 20$ . Bestem $b$ .

Finn nullpunktene for overskuddet med den funne $b$ -verdien.

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 15x + 200$ og etterspørsel $p(x) = 35 - 0{,}2x$ . Sett opp overskuddsfunksjonen.

Finn det optimale produksjonsnivået med $I'(x) = K'(x)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at for en bedrift med andregradskostnad $K(x) = ax^2 + bx + c$ og lineær etterspørsel $p(x) = d - ex$ , er det overskuddsmaksimerende produksjonsnivået $\displaystyle x = \frac{d-b}{2(a+e)}$ .

Vis at det maksimale overskuddet er $\displaystyle O_{\max} = \frac{(d-b)^2}{4(a+e)} - c$ .

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

En bedrift har $I(x) = 60x$ og $K(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 200$ . Tegn grafene til $I(x)$ og $K(x)$ i CAS og finn nullpunktene for overskuddet grafisk.

Finn optimalt produksjonsnivå og maksimalt overskudd.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 3x^2 + 20x + 600$ og selger til fast pris $p = 80$ kr. Finn det optimale produksjonsvolumet.

Beregn det maksimale overskuddet. Hva sier resultatet?

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

Løs oppgavene:

En bedrift har $K(x) = 2x^2 + 10x + 800$ og etterspørselsfunksjonen $p(x) = 90 - x$ . Finn $I(x)$ og $O(x)$ .

Finn nullpunktene for overskuddet (bruk diskriminanten).

En bedrift har $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 15x + 300$ og fast pris $p = 25$ kr. Finn det optimale produksjonsvolumet ved å sette $O'(x) = 0$ (bruk CAS).

Løs oppgaven

Oppsummering

Overskuddsfunksjonen:
$O(x) = I(x) - K(x)$

Regelen $I'(x) = K'(x)$ :
Overskuddet er maksimalt der grenseinntekten er lik grensekostnaden:
$I'(x) = K'(x)$

Sjekk at $O''(x) < 0$ for å bekrefte at det er et maksimumspunkt.

Ved fast pris $p$ :
$p = K'(x) \quad \text{(pris = grensekostnad)}$

Nullpunkter for overskuddet:
$O(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I(x) = K(x)$

Bedriften har overskudd i intervallet mellom nullpunktene for overskuddet.

Strategi: Bruk $I'(x) = K'(x)$ som hovedverktøy. Det er ofte enklere enn å derivere hele overskuddsfunksjonen.

Lønnsomhet: Ved produksjonsnivået $x$ går bedriften med overskudd når prisen er høyere enn enhetskostnaden, $\displaystyle p > E(x) = \frac{K(x)}{x}$ .

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.