8.3 Matematiske vekstmodeller | Matematikk S2

Eksponentiell, logistisk og begrenset vekst i økonomiske sammenhenger.

55 min

18 oppgaver

Eksponentiell vekstLogistisk vekstBegrenset vekstVekstmodellerBæreevne

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Annuitetsmodeller

Brukes videre i

8.4Differensiallikninger i økonomi

Markedslikevekt

I et marked bestemmes prisen av samspillet mellom tilbud og etterspørsel. Etterspørselsfunksjonen beskriver hvor mye forbrukerne ønsker å kjøpe ved ulike priser, mens tilbudsfunksjonen beskriver hvor mye produsentene ønsker å tilby.

Markedslikevekt oppstår der tilbudt mengde er lik etterspurt mengde. Matematisk finner vi dette skjæringspunktet mellom tilbuds- og etterspørselskurvene.

Tilbuds- og etterspørselsfunksjoner

p_E(x)

Markedslikevekt

p_E(x) = p_T(x)

✏️Finne markedslikevekt

Etterspørselen etter en være er gitt ved $p_E(x) = 120 - 2x$ og tilbudet er $p_T(x) = 20 + x$ , der $p$ er pris i kroner og $x$ er antall tusen enheter.

a) Finn likevektsmengden og likevektsprisen.
b) Hva skjer dersom prisen settes til 80 kroner?

a) Likevekt:

p_E(x) = p_T(x)

120 - 2x = 20 + x

100 = 3x

x^* = \frac{100}{3} \approx 33{,}3 \text{ tusen enheter}

$p^* = 20 + \frac{100}{3} = \frac{160}{3} \approx 53{,}3 \text{ kroner}$

b) Pris = 80 kr:
Etterspurt mengde: $80 = 120 - 2x \Rightarrow x_E = 20$ tusen enheter.
Tilbudt mengde: $80 = 20 + x \Rightarrow x_T = 60$ tusen enheter.

Det er overskuddstilbud på $60 - 20 = 40$ tusen enheter. Prisen er for høy og vil presses nedover mot likevektsprisen.

📊Utforsk: Likevekt mellom tilbud og etterspørsel

Etterspørselsfunksjonen $E(x) = 120 - 4x$ (blå) og tilbudsfunksjonen $T(x) = 20 + 6x$ (rød). Skjæringspunktet gir likevektsmengde og likevektspris. Flytt på funksjonene og se hvordan likevekten endres.

Priselastisitet

Priselastisiteten måler hvor følsom etterspørselen er for prisendringer. Den forteller oss den prosentvise endringen i etterspurt mengde per prosent prisendring.

I S2 bruker vi den deriverte til å beregne priselastisiteten punktvis:

$E_p = \frac{\frac{dx}{x}}{\frac{dp}{p}} = \frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}$

Siden etterspørselen vanligvis er avtagende, er $\displaystyle \frac{dx}{dp} < 0$ , og elastisiteten er negativ. Vi bruker ofte absoluttverdien $|E_p|$ .

Priselastisitet

E_p = \frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}

📜Elastisitet og inntektsmaksimum

For en lineær etterspørselsfunksjon

p(x) = a - bx

er:

$E_p = \frac{p}{x} \cdot \frac{1}{-b} = \frac{a - bx}{-bx} = \frac{a}{-bx} + 1$

Totalinntekten er maksimal der $|E_p| = 1$ .

Bevis: $I(x) = px = (a-bx)x$ . $\displaystyle I'(x) = a - 2bx = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{2b}$ .

Da er $\displaystyle p = a - b \cdot \frac{a}{2b} = \frac{a}{2}$ og $\displaystyle E_p = \frac{a/2}{a/(2b)} \cdot \frac{1}{-b} = -1$ .

Altså er $|E_p| = 1$ nøyaktig i inntektsmaksimum.

✏️Priselastisitet

Etterspørselen etter en være er gitt ved $x = 100 - 2p$ der $x$ er antall enheter og $p$ er pris i kroner.

a) Beregn priselastisiteten når $p = 20$ .
b) Er etterspørselen elastisk eller uelastisk ved denne prisen?
c) For hvilken pris er totalinntekten maksimal?

a) Priselastisitet:
Vi har

\displaystyle \frac{dx}{dp} = -2

Når $p = 20$ : $x = 100 - 40 = 60$ .

$E_p = \frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp} = \frac{20}{60} \cdot (-2) = -\frac{2}{3}$

b) Tolkning:
$\displaystyle |E_p| = \frac{2}{3} < 1$ , altså er etterspørselen uelastisk. En prisøkning på 1 % gir bare ca. 0,67 % nedgang i etterspurt mengde. Bedriften kan øke inntekten ved å heve prisen.

c) Maksimal totalinntekt:
$|E_p| = 1$ gir: $\displaystyle \frac{p}{100-2p} \cdot 2 = 1 \Rightarrow 2p = 100 - 2p \Rightarrow p = 25$ .

Alternativt: $I(p) = p(100-2p) = 100p - 2p^2$ . $I'(p) = 100 - 4p = 0 \Rightarrow p = 25$ .

Totalinntekten er maksimal ved pris 25 kroner, med $x = 50$ enheter og $I = 1250$ kroner.

Avgifter og skatt

Når myndighetene legger en avgift $t$ kroner per enhet på en være, endres markedslikevekten. Vi kan analysere dette matematisk.

Avgift på produsentene gjør at tilbudskurven skifter oppover med $t$ :
$p_T^{\text{ny}}(x) = p_T(x) + t$

Det nye likevektspunktet finnes ved å løse:
$p_E(x) = p_T(x) + t$

Viktig resultat: Avgiften deles mellom produsent og forbruker. Hvor mye hver bærer avhenger av elastisitetene. Den parten med mest uelastisk kurve bærer størst andel av avgiften.

✏️Virkningen av en avgift

I et marked er etterspørselen $p_E(x) = 100 - x$ og tilbudet $p_T(x) = 10 + 2x$ , der $p$ er i kroner og $x$ i tusen enheter.

a) Finn likevektspris og likevektsmengde uten avgift.
b) Staten innfører en avgift på 15 kroner per enhet. Finn ny likevektsmengde og de prisene forbrukeren og produsenten betaler/mottar.

a) Uten avgift:

100 - x = 10 + 2x \quad \Rightarrow \quad 3x = 90 \quad \Rightarrow \quad x^* = 30

p^* = 100 - 30 = 70 \text{ kr}

b) Med avgift $t = 15$ kr:
Ny tilbudskurve: $p_T^{\text{ny}}(x) = 10 + 2x + 15 = 25 + 2x$

Ny likevekt:
$100 - x = 25 + 2x \quad \Rightarrow \quad 3x = 75 \quad \Rightarrow \quad x^{**} = 25$

Forbrukerpris: $p_F = 100 - 25 = 75$ kr (forbrukeren betaler 5 kr mer enn før)
Produsentpris: $p_P = 75 - 15 = 60$ kr (produsenten mottar 10 kr mindre enn før)

Avgiften på 15 kr deles slik: forbrukeren bærer 5 kr og produsenten bærer 10 kr. Produsenten bærer mer fordi tilbudskurven er brattere (mer uelastisk i dette tilfellet).

Mengden synker fra 30 til 25 tusen enheter.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 80 - 4x$ og tilbudet er $p_T(x) = 20 + 2x$ . Finn likevektsmengden og likevektsprisen.

Hva er overskuddstilbudet dersom prisen settes til 60 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 150 - 3x$ og tilbudet er $p_T(x) = 30 + x$ . Finn likevekt.

Dersom prisen settes til 40 kr, er det overskuddstilbud eller overskuddsetterspørsel?

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $x = 200 - 4p$ . Beregn priselastisiteten $E_p$ når $p = 30$ .

For hvilken pris er etterspørselen enhetselastisk?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Forklar med egne ord hva det betyr at etterspørselen er elastisk.

Gi et eksempel på en være med uelastisk etterspørsel og forklar hvorfor.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 200 - 5x$ og tilbudet er $p_T(x) = 50 + 5x$ . Staten innfører en avgift på 20 kr per enhet. Finn ny likevekt.

Hvor mye av avgiften bæres av forbrukeren og hvor mye av produsenten?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $x = 500 - 10p$ . Totalinntekten er $I = px$ . Vis at $I(p) = 500p - 10p^2$ og finn prisen som gir størst inntekt.

Vis at $|E_p| = 1$ ved denne prisen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Etterspørselen etter en være er $p(x) = 60e^{-0{,}02x}$ . Finn priselastisiteten som funksjon av $x$ .

For hvilken $x$ er etterspørselen enhetselastisk? Finn tilhørende pris.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 100 - 2x$ og tilbudet er $p_T(x) = 10 + x$ . En avgift på $t$ kroner innføres. Finn den nye likevektsmengden som funksjon av $t$ .

Statens avgiftsinntekt er $T = t \cdot x(t)$ . Finn avgiften $t$ som maksimerer statens inntekt.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $\displaystyle p_E(x) = \frac{400}{x+5}$ og tilbudet er $p_T(x) = 2x + 10$ . Finn likevektsmengden.

Finn likevektsprisen og beregn priselastisiteten i likevektspunktet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

For en lineær etterspørselsfunksjon $p = a - bx$ , vis at priselastisiteten er $\displaystyle E_p = \frac{bx - a}{bx}$ .

Vis at etterspørselen er elastisk ( $|E_p| > 1$ ) for $\displaystyle x < \frac{a}{2b}$ og uelastisk for $\displaystyle x > \frac{a}{2b}$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Tilbudet er $p_T(x) = 5 + 0{,}5x$ og etterspørselen er $p_E(x) = 80 - x$ . En avgift $t = 12$ innføres. Beregn dødvektstapet (effektivitetstapet), altså den tapte handelen målt som areal av trekanten mellom gammel og ny likevekt.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En bedrift har etterspørsel $p(x) = 300 - 0{,}5x$ . Vis at bedriftens inntekt øker ved prisøkning dersom $x > 300$ , og at inntekten synker ved prisøkning dersom $x < 300$ .

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

En være har etterspørsel $x = 1000p^{-2}$ . Vis at priselastisiteten er konstant og lik $-2$ for alle priser.

Hva betyr det at en være har konstant priselastisitet lik $-2$ ?

Oppsummering

Markedslikevekt: Sett $p_E(x) = p_T(x)$ og løs for $x^*$ (likevektsmengde) og $p^*$ (likevektspris).

Priselastisitet:
$E_p = \frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}$
- $|E_p| > 1$ : elastisk (mengden er prisfølsom)
- $|E_p| = 1$ : enhetselastisk (totalinntekt er maksimal)
- $|E_p| < 1$ : uelastisk (mengden er lite prisfølsom)

Avgifter: Skifter tilbudskurven oppover med $t$ . Ny likevekt: $p_E(x) = p_T(x) + t$ . Avgiften deles mellom forbruker og produsent avhengig av elastisitetene.

Tommelfingerregel: Den parten med mest uelastisk kurve bærer størst del av avgiften.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.