8.3 Matematiske vekstmodeller

Hvem bestemmer egentlig prisen?

På torget i byen selges jordbær hver sommer. Ingen myndighet har vedtatt jordbærprisen, og ingen enkelt selger kan diktere den — likevel ender kurvene på omtrent samme pris hos alle. Hvordan? Svaret er et av økonomifagets vakreste resultater: prisen bestemmes av samspillet mellom tilbud og etterspørsel, og dette samspillet kan vi beskrive og analysere med matematikk.

Etterspørselsfunksjonen beskriver hvor mye forbrukerne ønsker å kjøpe ved ulike priser — jo høyere pris, desto færre kjøpere. Tilbudsfunksjonen beskriver hvor mye produsentene ønsker å selge — jo høyere pris, desto mer er det verdt å produsere. Et sted krysser kurvene hverandre, og der, i markedslikevekten, finner markedet sin pris helt av seg selv.

I denne fortellingen finner vi likevekten matematisk, måler hvor følsom etterspørselen er for prisendringer med priselastisitet, og undersøker hva som skjer når staten blander seg inn med en avgift. Du vil se at den deriverte nok en gang er nøkkelen — denne gangen til å forstå hele markeder.

Markedslikevekt — der kurvene krysses

Vi skriver etterspørselsfunksjonen $p_E(x)$: prisen som gjør at mengden $x$ etterspørres. Den er vanligvis avtagende, typisk $p_E(x) = a - bx$ med $a, b > 0$. Tilbudsfunksjonen $p_T(x)$ gir prisen produsentene krever for å tilby mengden $x$; den er voksende, typisk $p_T(x) = c + dx$ med $c \geq 0$, $d > 0$.

Markedslikevekt oppstår der tilbudt mengde er lik etterspurt mengde:

$$p_E(x) = p_T(x)$$

Løsningen gir likevektsmengden $x^*$ og likevektsprisen $p^* = p_E(x^*) = p_T(x^*)$. Det geniale med likevekten er at den er selvkorrigerende. Er prisen høyere enn $p^*$, vil produsentene tilby mer enn forbrukerne kjøper — overskuddstilbud — og prisen presses ned. Er prisen lavere enn $p^*$, oppstår overskuddsetterspørsel, og prisen presses opp. Bare i likevekt er det ingen tendens til endring.

La oss regne på jordbærmarkedet: $p_E(x) = 120 - 2x$ og $p_T(x) = 20 + x$, der $p$ er pris i kroner og $x$ antall tusen kurver. Likevekt: $120 - 2x = 20 + x$ gir $3x = 100$, altså $\displaystyle x^* = \frac{100}{3} \approx 33{,}3$ tusen kurver og $\displaystyle p^* = 20 + \frac{100}{3} \approx 53{,}3$ kroner.

Hva om en selger prøver seg med 80 kroner? Etterspurt mengde: $80 = 120 - 2x$ gir $x_E = 20$. Tilbudt mengde: $80 = 20 + x$ gir $x_T = 60$. Det tilbys altså 40 tusen kurver mer enn folk vil kjøpe — usolgte jordbær hoper seg opp, og prisen faller mot likevekten igjen.

Priselastisitet — hvor følsomme er kjøperne?

Jordbærselgeren vurderer å sette opp prisen og lurer: mister jeg mange kunder, eller tåler markedet det? Svaret måles med priselastisiteten — den prosentvise endringen i etterspurt mengde per prosent prisendring. Med derivasjon definerer vi den punktvis:

$$E_p = \frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}$$

Siden etterspørselen avtar, er $\displaystyle \frac{dx}{dp} < 0$ og elastisiteten negativ; vi tolker derfor ofte absoluttverdien. Tre soner skiller seg ut. Ved $|E_p| > 1$ er etterspørselen elastisk: mengden reagerer kraftigere enn prisen, og en prisøkning gir lavere totalinntekt. Ved $|E_p| < 1$ er den uelastisk: kundene blir stort sett værende, og en prisøkning gir høyere inntekt. Og ved $|E_p| = 1$ — enhetselastisk — er totalinntekten på sitt maksimale.

Den siste påstanden kan vi bevise for lineær etterspørsel $p(x) = a - bx$. Inntekten $I(x) = (a - bx)x$ maksimeres der $I'(x) = a - 2bx = 0$, altså $\displaystyle x = \frac{a}{2b}$ og $\displaystyle p = \frac{a}{2}$. Elastisiteten der blir $\displaystyle E_p = \frac{a/2}{a/(2b)} \cdot \frac{1}{-b} = -1$. Inntektstoppen ligger nøyaktig der $|E_p| = 1$.

Et regneeksempel: etterspørselen er $x = 100 - 2p$. Ved $p = 20$ er $x = 60$ og $\displaystyle \frac{dx}{dp} = -2$, så

$$E_p = \frac{20}{60} \cdot (-2) = -\frac{2}{3}$$

$\displaystyle |E_p| = \frac{2}{3} < 1$: uelastisk. En prisøkning på 1 % gir bare 0,67 % færre solgte enheter — selgeren kan trygt øke prisen og tjene mer. Maksimal inntekt nås ved $|E_p| = 1$: $\displaystyle \frac{2p}{100 - 2p} = 1$ gir $p = 25$ kroner (sjekk gjerne med $I(p) = p(100 - 2p)$, som maksimeres for $p = 25$, med $x = 50$ og $I = 1250$ kroner).

Når staten legger på en avgift

Så blander politikken seg inn: myndighetene innfører en avgift på $t$ kroner per enhet, betalt av produsentene. Hva skjer med markedet? Produsentene må nå ha $t$ kroner mer per enhet for å tilby samme mengde, så tilbudskurven skifter oppover med $t$:

$$p_T^{\text{ny}}(x) = p_T(x) + t$$

Den nye likevekten finner vi ved å løse $p_E(x) = p_T(x) + t$.

Et eksempel: $p_E(x) = 100 - x$ og $p_T(x) = 10 + 2x$ (pris i kroner, mengde i tusen enheter). Uten avgift: $100 - x = 10 + 2x$ gir $x^* = 30$ og $p^* = 70$ kroner. Så innføres en avgift på $t = 15$ kroner. Ny likevekt: $100 - x = 25 + 2x$ gir $x^{**} = 25$.

Nå kommer det interessante. Forbrukerne betaler $p_F = 100 - 25 = 75$ kroner — 5 kroner mer enn før. Produsentene mottar $p_P = 75 - 15 = 60$ kroner — 10 kroner mindre enn før. Avgiften deles mellom partene: forbrukerne bærer 5 kroner, produsentene 10 kroner, selv om avgiften formelt ble lagt på produsentene! Og omsatt mengde faller fra 30 til 25 tusen enheter.

Hvem bærer mest? Det avgjøres av elastisitetene: den parten med mest uelastisk kurve bærer størst andel av avgiften. Her er tilbudskurven brattest (minst følsom), så produsentene tar støyten. Det er derfor avgifter på varer med uelastisk etterspørsel — bensin, tobakk, alkohol — i stor grad veltes over på forbrukerne: de har få alternativer, og kjøper nesten like mye uansett.

Oppsummering: markedets usynlige regnestykke

Jordbærprisen på torget var aldri tilfeldig. Markedslikevekten ligger der etterspørselskurven $p_E(x)$ krysser tilbudskurven $p_T(x)$: likningen $p_E(x) = p_T(x)$ gir likevektsmengden $x^*$ og likevektsprisen $p^*$. Likevekten er selvkorrigerende — for høy pris gir overskuddstilbud som presser prisen ned, for lav pris gir overskuddsetterspørsel som presser den opp.

Priselastisiteten $\displaystyle E_p = \frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}$ måler kjøpernes prisfølsomhet. Elastisk etterspørsel ($|E_p| > 1$) betyr at prisøkning gir lavere inntekt; uelastisk ($|E_p| < 1$) betyr at prisøkning gir høyere inntekt; og ved $|E_p| = 1$ er totalinntekten på toppen — for lineær etterspørsel faller dette nøyaktig sammen med $I'(x) = 0$.

En avgift $t$ skifter tilbudskurven opp, gir ny likevekt via $p_E(x) = p_T(x) + t$, reduserer omsatt mengde — og deles mellom partene uansett hvem som formelt betaler. Tommelfingerregelen: den med mest uelastisk kurve bærer mest. Dermed har du sett at derivasjon ikke bare optimerer én bedrift, men forklarer hvordan hele markeder reagerer på priser og politikk. I neste kapittel henter vi frem integralet og måler hvem som tjener på handelen — konsument- og produsentoverskuddet.