8.4 Differensiallikninger i økonomi | Matematikk S2

Bruke differensiallikninger til å modellere økonomiske prosesser.

60 min

18 oppgaver

DifferensiallikningerØkonomisk modelleringLikevektDynamiske modeller

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.3Matematiske vekstmodeller 2.4Modellering med differensiallikninger

Overskudd i et marked

I et marked med likevektspris $p^*$ og likevektsmengde $x^*$ er det noen forbrukere som ville vært villige til å betale mer enn $p^*$ , og noen produsenter som kunne produsert til lavere kostnad enn $p^*$ .

Denne ekstra nytten for forbrukere og produsenter kalles konsumentoverskudd og produsentoverskudd. Vi kan beregne disse ved hjelp av bestemt integral, noe som er en sentral anvendelse av integrasjon i S2.

Konsumentoverskudd (KO)

KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^*

Produsentoverskudd (PO)

PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx

📜Beregning av overskudd med integrasjon

For lineære tilbuds- og etterspørselsfunksjoner med likevektsmengde

x^*

og likevektspris

p^*

Konsumentoverskudd:
$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^* = \frac{1}{2} \cdot x^* \cdot \big(p_E(0) - p^*\big)$

Produsentoverskudd:
$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot x^* \cdot \big(p^* - p_T(0)\big)$

For lineære funksjoner er overskuddene altså trekantsarealer. For ikke-lineære funksjoner må vi bruke integrasjon.

✏️KO og PO med lineære funksjoner

I et marked er etterspørselen $p_E(x) = 120 - 3x$ og tilbudet $p_T(x) = 30 + 2x$ .

a) Finn likevektspris og likevektsmengde.
b) Beregn konsumentoverskuddet og produsentoverskuddet.
c) Finn totaloverskuddet.

a) Likevekt:

120 - 3x = 30 + 2x \quad \Rightarrow \quad 5x = 90 \quad \Rightarrow \quad x^* = 18

p^* = 120 - 54 = 66 \text{ kr}

b) Konsumentoverskudd:
$KO = \int_0^{18} (120 - 3x) \, dx - 66 \cdot 18$

$= \left[120x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^{18} - 1188 = (2160 - 486) - 1188 = 1674 - 1188 = 486$

Alternativt: $\displaystyle KO = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (120 - 66) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 54 = 486$ kr.

Produsentoverskudd:
$PO = 66 \cdot 18 - \int_0^{18} (30 + 2x) \, dx$

$= 1188 - \left[30x + x^2\right]_0^{18} = 1188 - (540 + 324) = 1188 - 864 = 324$

Alternativt: $\displaystyle PO = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (66 - 30) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 36 = 324$ kr.

c) Totaloverskudd:
$TO = KO + PO = 486 + 324 = 810 \text{ kr}$

📊Utforsk: Konsument- og produsentoverskudd som areal

Likevekten er $x = 20$ , $p = 60$ . Konsumentoverskuddet er arealet mellom etterspørselskurven og prislinjen (øverst), produsentoverskuddet er arealet mellom prislinjen og tilbudskurven (nederst).

Ikke-lineære funksjoner

Når etterspørsels- eller tilbudsfunksjonen ikke er lineær, kan vi ikke bruke trekantformelen. Da må vi beregne integralet direkte.

Typiske eksempler:
- Eksponentiell etterspørsel: $p_E(x) = ae^{-bx}$
- Kvadratisk tilbud: $p_T(x) = c + dx^2$
- Rasjonell etterspørsel: $\displaystyle p_E(x) = \frac{a}{x + b}$

I alle tilfeller bruker vi de samme formlene:
$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^*$
$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx$

✏️KO med ikke-lineær etterspørsel

Etterspørselen er $\displaystyle p_E(x) = \frac{200}{x+2}$ og tilbudet er $p_T(x) = 10 + 2x$ . Likevektsmengden er $x^* = 8$ og likevektsprisen er $p^* = 20$ kr (verifiser gjerne dette).

Beregn konsumentoverskuddet.

Vi verifiserer først:

\displaystyle p_E(8) = \frac{200}{10} = 20

p_T(8) = 10 + 16 = 26 \neq 20

La oss korrigere: $p_T(x) = 2 + 2x$ . Da er $p_T(8) = 18 \neq 20$ . Vi bruker $p_T(x) = 4 + 2x$ : $p_T(8) = 20$ \checkmark.

Konsumentoverskudd:
$KO = \int_0^{8} \frac{200}{x+2} \, dx - 20 \cdot 8$

$= 200 \Big[\ln(x+2)\Big]_0^{8} - 160$

$= 200\big(\ln 10 - \ln 2\big) - 160$

$= 200 \ln 5 - 160$

$\approx 200 \cdot 1{,}609 - 160 = 321{,}9 - 160 = 161{,}9 \text{ kr}$

Konsumentoverskuddet er ca. 162 kroner.

📜Virkning av avgift på overskuddene

Når en avgift

t

innføres, endres likevekten og overskuddene omfordeles:

1. Konsumentoverskuddet synker (forbrukerne betaler mer)
2. Produsentoverskuddet synker (produsentene mottar mindre)
3. Staten får avgiftsinntekt $T = t \cdot x^{**}$
4. Det oppstår et dødvektstap (effektivitetstap)

$\text{Dødvektstap} = TO_{\text{uten avgift}} - TO_{\text{med avgift}} - T$

Dødvektstapet representerer verdiskapning som går tapt fordi handelen reduseres. Det er samfunnsøkonomisk kostnad ved avgiften.

✏️Totaloverskudd med og uten avgift

Etterspørselen er $p_E(x) = 100 - 2x$ og tilbudet er $p_T(x) = 20 + x$ . Staten innfører en avgift $t = 12$ kr.

a) Beregn totaloverskuddet uten avgift.
b) Beregn totaloverskuddet med avgift og statens avgiftsinntekt.
c) Finn dødvektstapet.

a) Uten avgift:

\displaystyle 100 - 2x = 20 + x \Rightarrow x^* = \frac{80}{3} \approx 26{,}67

\displaystyle p^* = \frac{140}{3} \approx 46{,}67

kr.

$TO = \int_0^{80/3} \big((100-2x)-(20+x)\big) \, dx = \int_0^{80/3} (80-3x) \, dx$

$= \left[80x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^{80/3} = 80 \cdot \frac{80}{3} - \frac{3}{2} \cdot \frac{6400}{9} = \frac{6400}{3} - \frac{3200}{3} = \frac{3200}{3} \approx 1066{,}7 \text{ kr}$

b) Med avgift:
$\displaystyle 100 - 2x = 32 + x \Rightarrow 3x = 68 \Rightarrow x^{**} = \frac{68}{3} \approx 22{,}67$ .

$\displaystyle p_F = 100 - 2 \cdot \frac{68}{3} = \frac{164}{3} \approx 54{,}67$ kr (forbrukerpris).

$TO_{\text{ny}} = \int_0^{68/3} (80-3x) \, dx = \left[80x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^{68/3} = \frac{5440}{3} - \frac{6936}{9} = \frac{5440}{3} - \frac{2312}{3} = \frac{3128}{3} \approx 1042{,}7 \text{ kr}$

Statens avgiftsinntekt: $\displaystyle T = 12 \cdot \frac{68}{3} = 272$ kr.

c) Dødvektstap:
$\text{Dødvektstap} = TO_{\text{gammel}} - TO_{\text{ny}} = \frac{3200}{3} - \frac{3128}{3} = \frac{72}{3} = 24 \text{ kr}$

Kontroll: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot (\frac{80}{3} - \frac{68}{3}) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24$ kr \checkmark.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 60 - 2x$ og likevektsprisen er $p^* = 20$ . Finn likevektsmengden $x^*$ .

Beregn konsumentoverskuddet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Tilbudet er $p_T(x) = 10 + 3x$ og likevektspunktet er $(x^*, p^*) = (10, 40)$ . Beregn produsentoverskuddet.

Verifiser svaret med integrasjon: $PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Forklar med egne ord hva konsumentoverskudd representerer.

Hvorfor er totaloverskuddet størst i den frie markedslikevekten (uten avgifter)?

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 80 - x$ og tilbudet er $p_T(x) = 20 + x$ . Finn likevekt og beregn KO og PO.

Finn totaloverskuddet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 100 - x^2$ og tilbudet er $p_T(x) = 10 + 2x$ . Finn likevektsmengden. (Hint: $x^2 + 2x - 90 = 0$ )

Beregn konsumentoverskuddet med integrasjon.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 50e^{-0{,}1x}$ og likevektspunktet er $(10, 50e^{-1})$ . Beregn KO med integrasjon.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 90 - 3x$ og tilbudet er $p_T(x) = 10 + x$ . En avgift $t = 8$ innføres. Finn gammel og ny likevekt.

Beregn dødvektstapet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Tilbudet er $p_T(x) = x^2 + 5$ og likevektspunktet er $(4, 21)$ . Beregn PO med integrasjon.

Sammenlign med trekantformelen. Hvorfor gir trekantformelen feil svar her?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $\displaystyle p_E(x) = \frac{100}{\sqrt{x+1}}$ og tilbudet er $p_T(x) = 5 + x$ . Vis at likevektsmengden oppfyller $\displaystyle x^2 + 11x + 30 = \frac{10000}{x+1}$ .

Bruk CAS eller numerisk metode til å finne $x^*$ og beregn KO.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 80 - 2x$ og tilbudet $p_T(x) = 20 + x$ . Beregn KO, PO og TO uten avgift.

En avgift $t = 9$ innføres. Beregn nye KO, PO, statens inntekt og dødvektstap.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

En monopolist har etterspørsel $p(x) = 100 - 2x$ og kostnad $K(x) = x^2 + 20x$ . Finn profittmaksimerende mengde og pris.

Beregn konsumentoverskuddet ved monopolprisen og sammenlign med KO ved fri konkurranse (der $p = K'(x)$ , altså $100-2x = 2x+20$ ).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at for lineære tilbuds- og etterspørselsfunksjoner $p_E(x) = a - bx$ og $p_T(x) = c + dx$ er totaloverskuddet $\displaystyle TO = \frac{(a-c)^2}{2(b+d)}$ .

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 120 - 4x$ og tilbudet er $p_T(x) = 2x$ . Finn likevekt og beregn KO, PO og TO.

Staten innfører en avgift $t = 18$ . Beregn dødvektstapet og statens inntekt.

Oppsummering

Konsumentoverskudd (KO): Arealet mellom etterspørselskurven og likevektsprisen:
$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^*$

Produsentoverskudd (PO): Arealet mellom likevektsprisen og tilbudskurven:
$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx$

Totaloverskudd: $TO = KO + PO = \int_0^{x^*} (p_E(x) - p_T(x)) \, dx$

For lineære funksjoner: Overskuddene er trekantsarealer: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \text{grunnlinje} \cdot \text{høyde}$

Avgift: Reduserer KO og PO, gir statsinntekt $T = t \cdot x^{**}$ , og skaper dødvektstap $\displaystyle = \frac{1}{2} t (x^* - x^{**})$ .

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.