8.4 Konsument- og produsentoverskudd | Matematikk S2

Lær om konsumentoverskudd, produsentoverskudd, totaloverskudd og beregning av disse med integrasjon, også ved avgift og prisregulering.

60 min

20 oppgaver

KonsumentoverskuddProdusentoverskuddTotaloverskuddAvgiftPrisregulering og dødvektstap

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.3Tilbud og etterspørsel 2.4Modellering med differensiallikninger

Overskudd i et marked

I et marked med likevektspris $p^*$ og likevektsmengde $x^*$ er det noen forbrukere som ville vært villige til å betale mer enn $p^*$ , og noen produsenter som kunne produsert til lavere kostnad enn $p^*$ .

Denne ekstra nytten for forbrukere og produsenter kalles konsumentoverskudd og produsentoverskudd. Vi kan beregne disse ved hjelp av bestemt integral, noe som er en sentral anvendelse av integrasjon i S2.

Konsumentoverskudd (KO)

KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^*

Produsentoverskudd (PO)

PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx

📜Beregning av overskudd med integrasjon

For lineære tilbuds- og etterspørselsfunksjoner med likevektsmengde

x^*

og likevektspris

p^*

Konsumentoverskudd:
$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^* = \frac{1}{2} \cdot x^* \cdot \big(p_E(0) - p^*\big)$

Produsentoverskudd:
$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot x^* \cdot \big(p^* - p_T(0)\big)$

For lineære funksjoner er overskuddene altså trekantsarealer. For ikke-lineære funksjoner må vi bruke integrasjon.

✏️KO og PO med lineære funksjoner

I et marked er etterspørselen $p_E(x) = 120 - 3x$ og tilbudet $p_T(x) = 30 + 2x$ .

a) Finn likevektspris og likevektsmengde.
b) Beregn konsumentoverskuddet og produsentoverskuddet.
c) Finn totaloverskuddet.

a) Likevekt:

\begin{aligned} &120 - 3x = 30 + 2x \\ \Rightarrow {}&5x = 90 \\ \Rightarrow {}&x^* = 18 \end{aligned}

p^* = 120 - 54 = 66 \text{ kr}

b) Konsumentoverskudd:
$KO = \int_0^{18} (120 - 3x) \, dx - 66 \cdot 18$

$\begin{aligned} = {}&\left[120x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^{18} - 1188 \\ = {}&(2160 - 486) - 1188 \\ = {}&1674 - 1188 = 486 \end{aligned}$

Alternativt: $\displaystyle KO = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (120 - 66) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 54 = 486$ kr.

Produsentoverskudd:
$PO = 66 \cdot 18 - \int_0^{18} (30 + 2x) \, dx$

$\begin{aligned} = {}&1188 - \left[30x + x^2\right]_0^{18} \\ = {}&1188 - (540 + 324) \\ = {}&1188 - 864 = 324 \end{aligned}$

Alternativt: $\displaystyle PO = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (66 - 30) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 36 = 324$ kr.

c) Totaloverskudd:
$TO = KO + PO = 486 + 324 = 810 \text{ kr}$

Svar: a) $x^* = 18$ og $p^* = 66$ kr. b) $KO = 486$ kr og $PO = 324$ kr. c) $TO = 810$ kr.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Konsument- og produsentoverskudd som areal

Likevekten er

x = 20

p = 60

. Konsumentoverskuddet er arealet mellom etterspørselskurven og prislinjen (øverst), produsentoverskuddet er arealet mellom prislinjen og tilbudskurven (nederst).

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

E(x) = 100 - 2x
T(x) = 20 + 2x
p(x) = 60
KO = IntegralBetween(E, p, 0, 20)
PO = IntegralBetween(p, T, 0, 20)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Ikke-lineære funksjoner

Når etterspørsels- eller tilbudsfunksjonen ikke er lineær, kan vi ikke bruke trekantformelen. Da må vi beregne integralet direkte.

Typiske eksempler:
- Eksponentiell etterspørsel: $p_E(x) = ae^{-bx}$
- Kvadratisk tilbud: $p_T(x) = c + dx^2$
- Rasjonell etterspørsel: $\displaystyle p_E(x) = \frac{a}{x + b}$

I alle tilfeller bruker vi de samme formlene:
$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^*$
$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx$

✏️KO med ikke-lineær etterspørsel

Etterspørselen er $\displaystyle p_E(x) = \frac{200}{x+2}$ og tilbudet er $p_T(x) = 4 + 2x$ . Likevektsmengden er $x^* = 8$ og likevektsprisen er $p^* = 20$ kr (verifiser gjerne dette).

Beregn konsumentoverskuddet.

Kontroll av likevekten:

\displaystyle p_E(8) = \frac{200}{10} = 20

p_T(8) = 4 + 16 = 20

Konsumentoverskudd:
$KO = \int_0^{8} \frac{200}{x+2} \, dx - 20 \cdot 8$

$= 200 \Big[\ln(x+2)\Big]_0^{8} - 160$

$= 200\big(\ln 10 - \ln 2\big) - 160$

$= 200 \ln 5 - 160 \approx 161{,}9 \text{ kr}$

Svar: Konsumentoverskuddet er $200 \ln 5 - 160 \approx 161{,}9$ kroner.

📜Virkning av avgift på overskuddene

Når en avgift

t

innføres, endres likevekten og overskuddene omfordeles:

1. Konsumentoverskuddet synker (forbrukerne betaler mer)
2. Produsentoverskuddet synker (produsentene mottar mindre)
3. Staten får avgiftsinntekt $T = t \cdot x^{**}$
4. Det oppstår et dødvektstap (effektivitetstap)

$\text{Dødvektstap} = TO_{\text{uten avgift}} - TO_{\text{med avgift}} - T$

Dødvektstapet representerer verdiskapning som går tapt fordi handelen reduseres. Det er samfunnsøkonomisk kostnad ved avgiften.

✏️Totaloverskudd med og uten avgift

Etterspørselen er $p_E(x) = 100 - 2x$ og tilbudet er $p_T(x) = 20 + x$ . Staten innfører en avgift $t = 12$ kr.

a) Beregn totaloverskuddet uten avgift.
b) Beregn totaloverskuddet med avgift og statens avgiftsinntekt.
c) Finn dødvektstapet.

a) Uten avgift:

\displaystyle 100 - 2x = 20 + x \Rightarrow x^* = \frac{80}{3} \approx 26{,}67

\displaystyle p^* = \frac{140}{3} \approx 46{,}67

kr.

$\begin{aligned} TO &= \int_0^{80/3} \big((100-2x)-(20+x)\big) \, dx \\ &= \int_0^{80/3} (80-3x) \, dx \end{aligned}$

$\begin{aligned} = {}&\left[80x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^{80/3} \\ = {}&80 \cdot \frac{80}{3} - \frac{3}{2} \cdot \frac{6400}{9} \\ = {}&\frac{6400}{3} - \frac{3200}{3} \\ = {}&\frac{3200}{3} \\ \approx {}&1066{,}7 \text{ kr} \end{aligned}$

b) Med avgift:
$\displaystyle 100 - 2x = 32 + x \Rightarrow 3x = 68 \Rightarrow x^{**} = \frac{68}{3} \approx 22{,}67$ .

$\displaystyle p_F = 100 - 2 \cdot \frac{68}{3} = \frac{164}{3} \approx 54{,}67$ kr (forbrukerpris) og $\displaystyle p_P = p_F - 12 = \frac{128}{3} \approx 42{,}67$ kr (produsentpris).

Integralet av $p_E - p_T$ fram til $x^{**}$ gir nå konsumentoverskudd, produsentoverskudd og statens inntekt til sammen:

$\begin{aligned} KO + PO + T &= \int_0^{68/3} (80-3x) \, dx \\ &= \left[80x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^{68/3} \\ &= \frac{5440}{3} - \frac{2312}{3} \\ &= \frac{3128}{3} \\ &\approx 1042{,}7 \text{ kr} \end{aligned}$

Statens avgiftsinntekt: $\displaystyle T = 12 \cdot \frac{68}{3} = 272$ kr.

$\begin{aligned} TO_{\text{ny}} &= KO + PO \\ &= \frac{3128}{3} - 272 \\ &= \frac{2312}{3} \\ &\approx 770{,}7 \text{ kr} \end{aligned}$

c) Dødvektstap:
$\begin{aligned} &\text{Dødvektstap} \\ = {}&TO_{\text{uten avgift}} - TO_{\text{med avgift}} - T \\ = {}&\frac{3200}{3} - \frac{2312}{3} - 272 \\ = {}&296 - 272 \\ = {}&24 \text{ kr} \end{aligned}$

Kontroll: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \left(\frac{80}{3} - \frac{68}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24$ kr.

Svar: a) $TO \approx 1066{,}7$ kr. b) $TO \approx 770{,}7$ kr med avgift, og staten får 272 kr. c) Dødvektstapet er 24 kr.

Prisregulering og dødvektstap

Når myndighetene regulerer prisen (setter en pris som avviker fra markedslikevekten), endres fordelingen av overskudd, og det oppstår et dødvektstap.

Pristak (pris satt under likevektsprisen):
- Omsatt mengde bestemmes av tilbudet (som er minst): $x_1$ er løsningen av $p_T(x_1) = p_1$ , og $x_1 < x^*$
- Noen av konsumentene tjener på lavere pris (de som fortsatt får kjøpt)
- Produsentene taper
- Dødvektstap = tapt TO = $\int_{x_1}^{x^*} (p_E(x) - p_T(x)) \, dx$

Prisgulv (pris satt over likevektsprisen):
- Omsatt mengde bestemmes av etterspørselen: $x_1$ er løsningen av $p_E(x_1) = p_1$ , og $x_1 < x^*$
- Produsentene som selger tjener mer per enhet, men det selges færre enheter
- Konsumentene taper
- Igjen oppstår et dødvektstap

I begge tilfeller er det totale samfunnsøkonomiske overskuddet mindre enn ved likevekt.

✏️Effekt av prisregulering og dødvektstap

Bruk funksjonene $p_E(x) = 60 - 2x$ og $p_T(x) = x + 15$ . Myndighetene setter et pristak på $p_1 = 25$ kr.

a) Finn markedslikevekten.
b) Finn den nye omsatte mengden ved pristakket.
c) Beregn det nye KO og PO, og finn dødvektstapet.

a) Markedslikevekt:

$60 - 2x = x + 15 \Rightarrow 45 = 3x \Rightarrow x^* = 15$ , $p^* = 30$ kr.

$\displaystyle TO_{\text{likevekt}} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (60 - 15) = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 45 = 337{,}5$ kr.

b) Ny omsatt mengde ved $p_1 = 25$ kr:

Tilbudet bestemmer mengden (knappe side):
$p_T(x_1) = 25$ : $x_1 + 15 = 25 \Rightarrow x_1 = 10$ .

c) Nytt KO, PO og dødvektstap:

$\begin{aligned} \text{KO}_{\text{ny}} &= \int_0^{10} (60 - 2x) \, dx - 25 \cdot 10 \\ &= [60x - x^2]_0^{10} - 250 \\ &= 500 - 250 \\ &= 250 \text{ kr} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{PO}_{\text{ny}} &= 25 \cdot 10 - \int_0^{10} (x + 15) \, dx \\ &= 250 - \left[\frac{x^2}{2} + 15x\right]_0^{10} \\ &= 250 - 200 \\ &= 50 \text{ kr} \end{aligned}$

$TO_{\text{ny}} = 250 + 50 = 300$ kr.

$\begin{aligned} &\text{Dødvektstap} = TO_{\text{likevekt}} - TO_{\text{ny}} \\ = {}&337{,}5 - 300 \\ = {}&37{,}5 \text{ kr} \end{aligned}$

Alternativt (trekantareal): $\displaystyle \text{Dødvektstap} = \frac{1}{2} \cdot (x^* - x_1) \cdot (p_E(x_1) - p_T(x_1)) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (40 - 25) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 = 37{,}5$ kr

Svar: a) $x^* = 15$ og $p^* = 30$ kr. b) 10 enheter. c) $\text{KO}_{\text{ny}} = 250$ kr, $\text{PO}_{\text{ny}} = 50$ kr og dødvektstapet er 37,5 kr.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 60 - 2x$ og likevektsprisen er $p^* = 20$ . Finn likevektsmengden $x^*$ .

Beregn konsumentoverskuddet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Tilbudet er $p_T(x) = 10 + 3x$ og likevektspunktet er $(x^*, p^*) = (10, 40)$ . Beregn produsentoverskuddet.

Verifiser svaret med integrasjon: $PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Forklar med egne ord hva konsumentoverskudd representerer.

Hvorfor er totaloverskuddet størst i den frie markedslikevekten (uten avgifter)?

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 80 - x$ og tilbudet er $p_T(x) = 20 + x$ . Finn likevekt og beregn KO og PO.

Finn totaloverskuddet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 100 - x^2$ og tilbudet er $p_T(x) = 10 + 2x$ . Finn likevektsmengden. (Hint: $x^2 + 2x - 90 = 0$ )

Beregn konsumentoverskuddet med integrasjon.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 50e^{-0{,}1x}$ og likevektspunktet er $(10, 50e^{-1})$ . Beregn KO med integrasjon.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 90 - 3x$ og tilbudet er $p_T(x) = 10 + x$ . En avgift $t = 8$ innføres. Finn gammel og ny likevekt.

Beregn dødvektstapet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Tilbudet er $p_T(x) = x^2 + 5$ og likevektspunktet er $(4, 21)$ . Beregn PO med integrasjon.

Sammenlign med trekantformelen. Hvorfor gir trekantformelen feil svar her?

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $\displaystyle p_E(x) = \frac{100}{\sqrt{x+1}}$ og tilbudet er $p_T(x) = 5 + x$ . Vis at likevektsmengden oppfyller $(x+5)^2(x+1) = 10\,000$ .

Bruk CAS eller numerisk metode til å finne $x^*$ og beregn KO.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 80 - 2x$ og tilbudet $p_T(x) = 20 + x$ . Beregn KO, PO og TO uten avgift.

En avgift $t = 9$ innføres. Beregn nye KO, PO, statens inntekt og dødvektstap.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

En monopolist har etterspørsel $p(x) = 100 - 2x$ og kostnad $K(x) = x^2 + 20x$ . Finn overskuddsmaksimerende mengde og pris.

Beregn konsumentoverskuddet ved monopolprisen og sammenlign med KO ved fri konkurranse (der $p = K'(x)$ , altså $100-2x = 2x+20$ ).

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at for lineære tilbuds- og etterspørselsfunksjoner $p_E(x) = a - bx$ og $p_T(x) = c + dx$ er totaloverskuddet $\displaystyle TO = \frac{(a-c)^2}{2(b+d)}$ .

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 120 - 4x$ og tilbudet er $p_T(x) = 2x$ . Finn likevekt og beregn KO, PO og TO.

Staten innfører en avgift $t = 18$ . Beregn dødvektstapet og statens inntekt.

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Etterspørselen er $p_E(x) = 100 - 2x$ og tilbudet er $p_T(x) = 20 + x$ (samme som i eksemplet «Totaloverskudd med og uten avgift»). Myndighetene setter et pristak på $p_1 = 35$ kr. Finn den nye omsatte mengden.

Beregn det nye KO og PO ved pristakket $p_1 = 35$ kr.

Beregn dødvektstapet. Forklar hva det representerer.

Løs oppgaven

Oppsummering

Konsumentoverskudd (KO): Arealet mellom etterspørselskurven og likevektsprisen:
$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^*$

Produsentoverskudd (PO): Arealet mellom likevektsprisen og tilbudskurven:
$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx$

Totaloverskudd: $TO = KO + PO = \int_0^{x^*} (p_E(x) - p_T(x)) \, dx$

For lineære funksjoner: Overskuddene er trekantsarealer: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \text{grunnlinje} \cdot \text{høyde}$

Avgift: Reduserer KO og PO, gir statsinntekt $T = t \cdot x^{**}$ , og skaper dødvektstap $\displaystyle = \frac{1}{2} t (x^* - x^{**})$ .

Prisregulering: Et pristak eller prisgulv flytter omsatt mengde bort fra likevekten og gir dødvektstap $= \int_{x_1}^{x^*} \big(p_E(x) - p_T(x)\big) \, dx$ .

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.