8.4 Differensiallikninger i økonomi

Gevinsten ingen ser på prislappen

Du var villig til å betale 800 kroner for konsertbilletten, men den kostet bare 500. De 300 kronene du «sparte», forsvant ikke — de er en reell gevinst for deg, selv om de aldri vises i noe regnskap. Og arrangøren, som kunne solgt billetten med fortjeneste allerede ved 350 kroner, fikk 150 kroner mer enn smertegrensen sin. Begge parter tjente på handelen.

I et marked med likevektspris $p^*$ og likevektsmengde $x^*$ gjelder dette i stort: noen forbrukere ville betalt mer enn $p^*$, og noen produsenter kunne levert til lavere kostnad enn $p^*$. Den samlede ekstra nytten kalles konsumentoverskudd og produsentoverskudd, og de er blant de viktigste begrepene i samfunnsøkonomien — de måler selve gevinsten ved at handel finner sted.

Og her kommer matematikken inn: disse overskuddene er arealer i tilbuds- og etterspørselsdiagrammet, og arealer beregner vi med bestemt integral. Dette er en av de sentrale anvendelsene av integrasjon i S2, og i denne fortellingen lærer du å beregne begge overskuddene — først for lineære kurver, der det holder med trekanter, og så for ikke-lineære, der integralet viser musklene sine. Til slutt ser vi hva en avgift gjør med den samlede gevinsten.

To overskudd, ett integral

Konsumentoverskuddet (KO) er den totale gevinsten forbrukerne oppnår ved å kjøpe til markedspris i stedet for den maksimale prisen de var villige til å betale. Grafisk er det arealet mellom etterspørselskurven og den horisontale prislinjen $p = p^*$, fra $x = 0$ til $x = x^*$:

$$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^* = \int_0^{x^*} \bigl(p_E(x) - p^*\bigr)\, dx$$

Produsentoverskuddet (PO) er speilbildet: gevinsten produsentene får ved å selge til markedspris i stedet for den laveste prisen de ville akseptert — arealet mellom prislinjen og tilbudskurven:

$$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx = \int_0^{x^*} \bigl(p^* - p_T(x)\bigr)\, dx$$

Summen kalles totaloverskuddet (samfunnsøkonomisk overskudd): $TO = KO + PO = \int_0^{x^*} (p_E(x) - p_T(x))\, dx$.

For lineære kurver er områdene trekanter, og vi kan snike oss unna integralet: $\displaystyle KO = \frac{1}{2} x^* (p_E(0) - p^*)$ og $\displaystyle PO = \frac{1}{2} x^* (p^* - p_T(0))$.

Eksempel: $p_E(x) = 120 - 3x$ og $p_T(x) = 30 + 2x$. Likevekt: $120 - 3x = 30 + 2x$ gir $x^* = 18$ og $p^* = 66$ kroner. Konsumentoverskuddet med integral:

$$KO = \int_0^{18} (120 - 3x)\, dx - 66 \cdot 18 = \left[120x - \tfrac{3x^2}{2}\right]_0^{18} - 1188 = 1674 - 1188 = 486$$

Trekantformelen bekrefter: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (120 - 66) = 486$ kroner. Tilsvarende blir $PO = 1188 - \left[30x + x^2\right]_0^{18} = 1188 - 864 = 324$ kroner — eller som trekant: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 36 = 324$. Totaloverskuddet er $TO = 486 + 324 = 810$ kroner.

Krumme kurver og integralets time

I virkeligheten er etterspørselskurver sjelden snorrette. Typiske ikke-lineære former er eksponentiell etterspørsel $p_E(x) = ae^{-bx}$, kvadratisk tilbud $p_T(x) = c + dx^2$ og rasjonal etterspørsel $\displaystyle p_E(x) = \frac{a}{x + b}$. Da finnes ingen trekantsnarvei — men formlene er nøyaktig de samme:

$$KO = \int_0^{x^*} p_E(x)\, dx - p^* \cdot x^*, \qquad PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x)\, dx$$

La oss ta en rasjonal etterspørsel: $\displaystyle p_E(x) = \frac{200}{x+2}$ med tilbud $p_T(x) = 4 + 2x$. Ved mengden $x^* = 8$ er $\displaystyle p_E(8) = \frac{200}{10} = 20$ og $p_T(8) = 4 + 16 = 20$ — likevekt med $p^* = 20$ kroner. Konsumentoverskuddet krever nå et ekte integral:

$$KO = \int_0^{8} \frac{200}{x+2}\, dx - 20 \cdot 8 = 200\Bigl[\ln(x+2)\Bigr]_0^{8} - 160$$

$$= 200(\ln 10 - \ln 2) - 160 = 200 \ln 5 - 160 \approx 200 \cdot 1{,}609 - 160 \approx 162 \text{ kroner}$$

Logaritmen dukker opp fordi antideriverten til $\displaystyle \frac{1}{x+2}$ er $\ln|x+2|$ — et fint eksempel på at integrasjonsteknikkene fra analysen får direkte økonomisk mening. Arealet under den krumme etterspørselskurven representerer den samlede betalingsviljen til alle de 8 (tusen) kjøperne, og når vi trekker fra det de faktisk betalte ($160$), står gevinsten deres igjen.

Samme oppskrift fungerer for et hvilket som helst marked: finn likevekten, sett opp integralene, og regn. Det eneste som endrer seg fra oppgave til oppgave, er hvilken antiderivert du trenger.

Avgiften og dødvektstapet

Hva skjer med markedets samlede gevinst når staten innfører en avgift $t$ per enhet? Fire ting, viser teorien: konsumentoverskuddet synker (forbrukerne betaler mer), produsentoverskuddet synker (produsentene mottar mindre), staten får avgiftsinntekten $T = t \cdot x^{**}$ — og så forsvinner det noe. Den delen av overskuddet som verken havner hos kjøpere, selgere eller stat, kalles dødvektstapet:

$$\text{Dødvektstap} = TO_{\text{uten avgift}} - TO_{\text{med avgift}} - T$$

Det representerer verdiskaping som går tapt fordi handelen reduseres — handler som ville vært lønnsomme for begge parter, men som avgiften priser ut av markedet.

Et gjennomregnet eksempel: $p_E(x) = 100 - 2x$, $p_T(x) = 20 + x$ og avgift $t = 12$ kroner. Uten avgift: $\displaystyle x^* = \frac{80}{3}$, $\displaystyle p^* = \frac{140}{3} \approx 46{,}67$, og totaloverskuddet er

$$TO = \int_0^{80/3} (80 - 3x)\, dx = \frac{3200}{3} \approx 1066{,}7 \text{ kroner}$$

Med avgift løses $100 - 2x = 32 + x$, som gir $\displaystyle x^{**} = \frac{68}{3} \approx 22{,}67$ og forbrukerpris $\approx 54{,}67$ kroner. Nytt totaloverskudd (hos kjøpere og selgere): $\displaystyle TO_{\text{ny}} = \int_0^{68/3} (80 - 3x)\,dx = \frac{3128}{3} \approx 1042{,}7$ kroner. Statens inntekt: $\displaystyle T = 12 \cdot \frac{68}{3} = 272$ kroner.

For lineære kurver er dødvektstapet en liten trekant med grunnlinje $t$ og høyde $x^* - x^{**}$: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot (\frac{80}{3} - \frac{68}{3}) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24$ kroner. Det høres lite ut — men det er en ren samfunnsøkonomisk kostnad, verdiskaping som rett og slett uteblir. Når politikere veier avgifter, veier de nettopp statens inntekt og eventuelle helse- eller miljøgevinster mot dette tapet.

Oppsummering: arealene som måler velferd

Konsertbilletten din rommet hele kapittelet: gevinsten ved handel er reell, og den kan måles som areal. Konsumentoverskuddet $KO = \int_0^{x^*} p_E(x)\,dx - p^*x^*$ er arealet mellom etterspørselskurven og prislinjen — forbrukernes samlede «rabatt» i forhold til betalingsviljen. Produsentoverskuddet $PO = p^*x^* - \int_0^{x^*} p_T(x)\,dx$ er arealet mellom prislinjen og tilbudskurven. Sammen utgjør de totaloverskuddet $TO = \int_0^{x^*}(p_E(x) - p_T(x))\,dx$, markedets samlede gevinst.

For lineære kurver holder trekantformlene $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \text{grunnlinje} \cdot \text{høyde}$; for krumme kurver — eksponentielle, kvadratiske eller rasjonale — gjør integralet jobben, slik $200\ln 5 - 160$ målte kjøpernes gevinst under kurven $\displaystyle \frac{200}{x+2}$.

En avgift omfordeler og ødelegger samtidig: KO og PO krymper, staten henter $T = t \cdot x^{**}$, og en trekant på $\displaystyle \frac{1}{2}t(x^* - x^{**})$ forsvinner som dødvektstap — verdiskaping som aldri skjer fordi handelen krymper. Slik gir integralregningen et presist språk for spørsmål politikere strides om: hvem tjener, hvem taper, og hva koster det samfunnet? Det er anvendt matematikk på sitt mest samfunnsnyttige.