2.4 Modellering med differensiallikninger | Matematikk S2

Bruke differensiallikninger til å modellere vekst og nedgang.

60 min

17 oppgaver

Eksponentiell vekstLogistisk vekstPopulasjonsmodellerNedbrytning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Bestemte integraler

Brukes videre i

8.4Konsument- og produsentoverskudd

Fordypning (utenfor læreplanen)

Differensiallikningene i dette delkapitlet hører ikke til læreplanen i matematikk S2 (MAT04-02). De hører hjemme i R2. Selve modellene — eksponentiell vekst og nedgang, halveringstid, doblingstid og logistisk vekst — er S2-stoff, og oppgaver der du regner med modellene, hører til S2. Oppgaver som krever at du setter opp eller løser en differensiallikning, er merket (Fordypning). Du trenger dem ikke til S2-eksamen.

Modellering med differensiallikninger

Differensiallikninger er kraftige verktøy for å modellere prosesser der endringsraten avhenger av nåværende tilstand:
- Befolkningsdynamikk
- Epidemimodeller
- Økonomiske modeller
- Fysiske prosesser

Eksponentiell vekst/nedgang

\frac{dN}{dt} = kN

Logistisk vekst

\frac{dN}{dt} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)

✏️Befolkningsmodell

En by har 100 000 innbyggere og vokser med kontinuerlig vekstrate $0{,}02$ per år, altså $\displaystyle \frac{dP}{dt} = 0{,}02P$ . Modeller befolkningen og finn når den når 150 000.

Modell:

\displaystyle \frac{dP}{dt} = 0{,}02P

Løsning: $P(t) = 100000 \cdot e^{0{,}02t}$

Når $P = 150000$ :
$150000 = 100000 \cdot e^{0{,}02t}$
$1{,}5 = e^{0{,}02t}$
$t = \frac{\ln 1{,}5}{0{,}02} \approx 20{,}3 \text{ år}$

Svar: Byen når 150 000 innbyggere etter omtrent $20{,}3$ år.

Merk: Vokser byen med $2\,\%$ per år (vekstfaktor $1{,}02$ ), er modellen $P(t) = 100\,000 \cdot 1{,}02^t$ , og da blir $\displaystyle t = \frac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}02} \approx 20{,}5$ år.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Logistisk vekst

Den logistiske modellen

\displaystyle y = \frac{100}{1 + 9e^{-0{,}5x}}

vokser raskt i starten og flater ut mot bæreevnen

K = 100

(stiplet linje). Endre tallet 9 (startbetingelsen) og veksthastigheten

0{,}5

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 100 / (1 + 9 * e^(-0.5x))
g: y = 100
SetLineStyle(g, 2)
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

En kultur med 500 bakterier dobler seg hver time. Sett opp modellen og finn antall etter 5 timer.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Et radioaktivt stoff har halveringstid 10 dager. Finn nedbrytningskonstanten $k$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Doblingstiden for en investering er 12 år. Finn årlig rente (kontinuerlig).

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

(Fordypning) Løs oppgavene:

En kaffekopp (80°C) avkjøles i et rom (20°C). Etter 10 min er den 60°C. Finn temp etter 20 min.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

En befolkning på 1000 vokser logistisk med $r = 0{,}1$ og $K = 5000$ . Finn $N(10)$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Karbon-14 har halveringstid 5730 år. En prøve har 75% av opprinnelig C-14. Hvor gammel er den?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Ved logistisk vekst, når vokser befolkningen raskest?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

(Fordypning) Løs oppgavene:

Et lån på 500000 kr forrentes med 5% årlig, og man betaler ned 30000 kr/år. Sett opp modell og finn når lånet er nedbetalt.

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

(Fordypning) Løs oppgavene:

I en epidemimodell spres sykdom med rate $\displaystyle \frac{dI}{dt} = kI(N-I)$ der $N$ er total befolkning. Forklar modellen.

📝Oppgave 10

(Fordypning) Løs oppgavene:

To populasjoner samhandler: $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 2x - xy$ , $\displaystyle \frac{dy}{dt} = -y + xy$ . Hva representerer dette?

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Et medisinpreparat elimineres fra kroppen med rate proporsjonal med mengden. Etter 4 timer er halvparten borte. Etter hvor lang tid er 90% borte?

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Sammenlign eksponentiell og logistisk vekst. Når er logistisk modell mer realistisk?

Oppsummering

Læringspunkter:
- Eksponentiell modell $y' = ky$ passer når veksten er proporsjonal med mengden: $y = y_0e^{kt}$ .
- Halveringstid og doblingstid er konstante i eksponentielle modeller: $\displaystyle T = \frac{\ln 2}{|k|}$ .
- Logistisk modell $\displaystyle N' = rN\big(1 - \frac{N}{K}\big)$ beskriver vekst med bæreevne $K$ ; veksten er raskest når $\displaystyle N = \frac{K}{2}$ .
- Newtons avkjølingslov og lån/sparing med faste beløp er lineære modeller med likevektsløsninger.
- Modellvalg: eksponentiell modell for tidlige faser med rikelig ressurstilgang, logistisk når begrensninger bremser veksten.

Nøkkelbegrep	Forklaring
Eksponentiell modell	$y = y_0e^{kt}$ — konstant relativ vekst
Logistisk modell	Vekst som flater ut mot bæreevnen $K$
Bæreevne $K$	Største populasjon miljøet kan bære
Halveringstid	$\displaystyle T_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$
Likevekt	Tilstand der $y' = 0$

Viktige formler:

y' = ky \implies y = y_0e^{kt}, \qquad N' = rN\Big(1 - \frac{N}{K}\Big)

\text{Raskest logistisk vekst ved } N = \frac{K}{2}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.