2.3 Lineære differensiallikninger | Matematikk S2

Fordypning (utenfor læreplanen)

Dette stoffet hører ikke til læreplanen i matematikk S2 (MAT04-02). Lineære differensiallikninger og integrerende faktor hører til matematikk R2. Du trenger det ikke til S2-eksamen.

Lineære første ordens differensiallikninger

En lineær første ordens differensiallikning har formen:
$y' + p(x)y = q(x)$

der $p(x)$ og $q(x)$ er kjente funksjoner.

📜Løsningsmetode

For å løse

y' + p(x)y = q(x)

- Finn integrerende faktor: $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$

- Multipliser likningen med $\mu(x)$ :
$\mu y' + \mu p y = \mu q$
$\frac{d}{dx}(\mu y) = \mu q$

- Integrer: $\mu y = \int \mu q \, dx + C$

- Løs for $y$ : $\displaystyle y = \frac{1}{\mu}\int \mu q \, dx + \frac{C}{\mu}$

✏️Lineær differensiallikning

Løs $y' + 2y = 4$ .

Her er

p(x) = 2

q(x) = 4

Integrerende faktor:
$\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$

Multipliser:
$e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 4e^{2x}$
$\frac{d}{dx}(e^{2x}y) = 4e^{2x}$

Integrer:
$e^{2x}y = 2e^{2x} + C$

Løs for $y$ :
$y = 2 + Ce^{-2x}$

Svar: $y = 2 + Ce^{-2x}$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Løs $y' + y = 2$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Løs $y' - y = 0$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Løs $y' + 3y = 6$ med $y(0) = 0$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Løs $y' + y = e^x$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Løs $y' - 2y = 4x$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Løs $xy' + y = x^2$ for $x > 0$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Et innskudd vokser med rente $r$ og får årlige innskudd $A$ : $\displaystyle \frac{dP}{dt} = rP + A$ . Løs med $P(0) = P_0$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Løs $y' + 2xy = x$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

En tank med 100 L vann får tilført saltløsning (20 g/L) med 5 L/min. Blanding renner ut med 5 L/min. Finn saltmengden $S(t)$ hvis $S(0) = 0$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle y' + \frac{2y}{x} = \frac{1}{x^2}$ for $x > 0$ med $y(1) = 0$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn likevektsløsningen til $y' + 2y = 6$ og beskriv oppførselen til andre løsninger.

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle y' - \frac{y}{x} = x$ for $x > 0$ med $y(1) = 3$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

Læringspunkter:
- En lineær førsteordens differensiallikning har formen $y' + p(x)y = q(x)$ .
- Den løses med integrerende faktor $e^{P(x)}$ der $P(x) = \int p(x)\,dx$ : venstresiden blir da $\big(y \cdot e^{P(x)}\big)'$ .
- Med konstante koeffisienter $y' + ay = b$ er løsningen $\displaystyle y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}$ .
- Likevektsløsningen $\displaystyle y = \frac{b}{a}$ er den konstante løsningen; for $a > 0$ nærmer alle løsninger seg denne når $x \to \infty$ .
- Mange økonomiske og fysiske modeller (kontoer med innskudd, blandingsproblemer) er lineære.

Nøkkelbegrep	Forklaring
Lineær likning	$y' + p(x)y = q(x)$
Integrerende faktor	$e^{P(x)}$ som gjør venstresiden til en produktderivert
Likevektsløsning	Konstant løsning der $y' = 0$
Stabilitet	Om løsninger nærmer seg eller fjerner seg fra likevekten

Viktige formler:

y' + ay = b \implies y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}

\big(y \cdot e^{P(x)}\big)' = e^{P(x)}\big(y' + p(x)y\big)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver