2.3 Lineære differensiallikninger

Kontoen med både rente og innskudd

Du setter opp et spareprogram: kontoen har rente, og i tillegg overfører du et fast beløp jevnt gjennom året. Endringen i saldoen kommer altså fra to kilder samtidig — en del som er proporsjonal med saldoen (renten), og en del som er konstant (innskuddene). Modellen blir noe sånt som $y' = ry + b$, eller mer generelt likninger der $y'$, $y$ og et «pådrag» utenfra inngår lineært.

Slike likninger har et eget navn. En lineær første ordens differensiallikning har formen

$$y' + p(x)y = q(x)$$

der $p(x)$ og $q(x)$ er kjente funksjoner. Ordet lineær sikter til at $y$ og $y'$ bare opptrer i første potens — ingen $y^2$, ingen $\sqrt{y}$, ingen $y \cdot y'$. Funksjonen $q(x)$ på høyresiden spiller rollen som ytre pådrag: innskudd på kontoen, tilførsel til et basseng, oppvarming av et hus.

Hvorfor en ny metode? Separasjon fungerer fint så lenge høyresiden faktoriserer pent, men en likning som $y' + 2xy = x$ lar seg ikke separere — $x$- og $y$-delene er vevd sammen med addisjon, ikke multiplikasjon. Lineære likninger trenger sitt eget verktøy.

Verktøyet heter integrerende faktor, og det er noe så sjeldent som et triks som føles som magi første gang og som ren systematikk etterpå: vi ganger hele likningen med en smart valgt funksjon som gjør venstresiden til den deriverte av et produkt — og da kan alt integreres i ett jafs. La oss se nøyaktig hvordan.

Integrerende faktor

Metoden for å løse $y' + p(x)y = q(x)$ går i fire trinn.

Trinn 1: Finn den integrerende faktoren $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$.

Trinn 2: Multipliser hele likningen med $\mu(x)$: $\mu y' + \mu p y = \mu q$. Og her skjer trikset: fordi $\mu' = p\mu$ (det er nettopp slik $\mu$ er konstruert), er venstresiden eksakt produktregelen brukt på $\mu y$:

$$\frac{d}{dx}(\mu y) = \mu q$$

Trinn 3: Integrer begge sider: $\mu y = \int \mu q\,dx + C$.

Trinn 4: Løs for $y$: $\displaystyle y = \frac{1}{\mu}\int \mu q\,dx + \frac{C}{\mu}$.

Magien ligger i trinn 2. Venstresiden $\mu y' + \mu p y$ er, ledd for ledd, nøyaktig hva produktregelen gir når vi deriverer $\mu y$: nemlig $\mu y' + \mu' y$, siden $\mu' = p\mu$. Hele den uhåndterlige venstresiden kollapser til én derivert — og en likning på formen «derivert av noe = kjent funksjon» løses ved ren integrasjon, akkurat som i kapittel 2.1.

La oss sjekke konstruksjonen på et konkret eksempel: for likningen $y' + 2y = 4$ er $p(x) = 2$, så $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Multiplisert med $e^{2x}$ blir likningen $e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 4e^{2x}$ — og venstresiden er nøyaktig $(e^{2x}y)'$. Kontroller selv med produktregelen: $(e^{2x}y)' = e^{2x}y' + 2e^{2x}y$. Stemmer på en prikk. Resten av utregningen tar vi i neste seksjon — og der venter også en tolkning som gjør svaret interessant for både sparekontoer og samfunnsmodeller.

Løsning, likevekt og stabilitet

La oss fullføre eksempelet $y' + 2y = 4$. Med $\mu = e^{2x}$ har vi $(e^{2x}y)' = 4e^{2x}$. Integrasjon gir $e^{2x}y = 2e^{2x} + C$, og deling på $e^{2x}$ gir løsningen

$$y = 2 + Ce^{-2x}$$

Mønsteret er helt generelt: likningen $y' + ay = b$ med konstante koeffisienter har løsningen $\displaystyle y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}$. Og denne formen forteller en historie i to deler. Konstantleddet $\displaystyle \frac{b}{a}$ er likevektsløsningen — den konstante løsningen vi finner ved å sette $y' = 0$ (her: $2y = 4$, altså $y = 2$). Leddet $Ce^{-ax}$ er avviket fra likevekten, og for $a > 0$ dør det eksponentielt ut.

Konsekvensen er slående: uansett startverdi nærmer alle løsninger seg likevekten $\displaystyle \frac{b}{a}$ når $x \to \infty$. Starter du over, synker du ned mot den; starter du under, stiger du opp. Vi sier at likevekten er stabil. Med initialbetingelse, si $y(0) = 5$ for likningen $y' + 3y = 6$: likevekten er $\displaystyle \frac{6}{3} = 2$, løsningen er $y = 2 + Ce^{-3x}$, og $y(0) = 2 + C = 5$ gir $C = 3$, altså $y = 2 + 3e^{-3x}$ — start i 5, eksponentielt glid ned mot 2.

Det er denne strukturen som gjør lineære likninger til arbeidshesten i praktisk modellering. En konto der det settes inn penger med fast rate samtidig som det trekkes gebyrer proporsjonalt med saldoen, et basseng som tilføres rent vann mens blandingen renner ut (blandingsproblemer), et hus som varmes opp mot en termostatgrense, et marked der prisen justeres mot likevektsnivået — alle har formen $y' + ay = b$, og alle svarer med samme kurve: eksponentiell innsving mot $\displaystyle \frac{b}{a}$. Når du ser en størrelse som «flater ut mot et nivå», er det ofte en lineær differensiallikning som ligger bak.

Produktregelen som låste opp likningen

Sparekontoen med både rente og innskudd er ikke lenger noe problem. Lineære første ordens likninger $y' + p(x)y = q(x)$ løses med integrerende faktor $\mu = e^{\int p(x)\,dx}$: multipliser likningen med $\mu$, og venstresiden kollapser — takket være konstruksjonen $\mu' = p\mu$ — til produktderiverten $(\mu y)'$. Deretter er det bare å integrere og dele på $\mu$. Fire trinn, ingen gjetting.

For konstante koeffisienter fikk du et resultat verdt å huske: $y' + ay = b$ har løsningen $\displaystyle y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}$. Strukturen er likevekt pluss avvik. Likevektsløsningen $\displaystyle \frac{b}{a}$ finner du raskest ved å sette $y' = 0$, og for $a > 0$ dør avviket $Ce^{-ax}$ eksponentielt ut — likevekten er stabil, og alle løsninger flater ut mot den, slik $y' + 3y = 6$ med start i 5 gled ned mot 2 langs $y = 2 + 3e^{-3x}$.

Det er nettopp denne innsving-mot-nivå-dynamikken du ser i kontoer med faste innskudd og gebyrer, i blandingsproblemer, i oppvarming mot termostat og i priser som søker mot markedslikevekt. Sammen med separasjonsmetoden fra forrige kapittel har du nå to kraftige løsningsteknikker — og i neste kapittel løfter vi blikket fra teknikkene til selve modellene: eksponentiell og logistisk vekst, og kunsten å velge riktig modell for virkeligheten.