2.2 Separable differensiallikninger | Matematikk S2

Løse differensiallikninger ved separasjon av variable.

55 min

17 oppgaver

Separabel likningSeparasjon av variableInitialbetingelse

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Introduksjon til differensiallikninger 1.1Ubestemte integraler

Brukes videre i

2.3Lineære differensiallikninger

Separable differensiallikninger

En differensiallikning er separabel hvis den kan skrives på formen:
$\frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$

Vi kan da separere variablene og integrere hver side for seg.

Separasjonsmetoden

\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)

✏️Eksponentiell vekst

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = ky$ med $y(0) = y_0$ .

Separer:

\frac{dy}{y} = k \, dx

Integrer:
$\int \frac{1}{y} \, dy = \int k \, dx$
$\ln|y| = kx + C_1$

Løs for $y$ :
$|y| = e^{kx + C_1} = e^{C_1} e^{kx}$
$y = Ce^{kx}$ (der $C = \pm e^{C_1}$ )

Bruk initialbetingelse: $y(0) = C = y_0$

Svar: $y = y_0 e^{kx}$

📊Utforsk: Retningsdiagram for en differensiallikning

Retningsdiagrammet til $y' = 0{,}5y$ viser stigningen i hvert punkt. Løsningskurven $y = e^{0{,}5x}$ (rød) følger pilene. Alle løsninger har formen $y = Ce^{0{,}5x}$ — prøv å tegne flere.

✏️Annen type

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = xy$ med $y(0) = 2$ .

Separer:

\frac{dy}{y} = x \, dx

Integrer:
$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1$

Løs for $y$ :
$y = Ce^{x^2/2}$

Bruk initialbetingelse: $y(0) = C = 2$

Svar: $y = 2e^{x^2/2}$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Løs $y' = 3y$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Løs $y' = -2y$ med $y(0) = 5$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ for $x > 0$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Løs $y' = y^2$ med $y(0) = 1$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = xe^{-y}$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle y' = \frac{x}{y}$ med $y(0) = 2$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

En befolkning vokser med $P' = 0{,}03P$ . Hvis $P(0) = 1000$ , finn $P(t)$ og $P(10)$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Løs $y' = y(1-y)$ (logistisk vekst).

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Et radioaktivt stoff har halveringstid 5 år. Sett opp og løs differensiallikningen. Hvor mye er igjen etter 12 år?

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Newtons avkjølingslov: $\displaystyle \frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ . Løs med $T(0) = T_0$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En kopp kaffe med 80°C plasseres i rom med 20°C. Etter 10 min er den 60°C. Finn temperaturen etter 30 min.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Læringspunkter:
- En separabel differensiallikning kan skrives $\displaystyle \frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ og løses ved å samle $y$ -ledd på én side og $x$ -ledd på den andre.
- Metoden: $\displaystyle \frac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx$ , integrer begge sider og løs for $y$ .
- Spesialtilfellet $y' = ky$ gir eksponentiell vekst/nedgang: $y = Ce^{kx}$ .
- Halveringstid og doblingstid: $\displaystyle T = \frac{\ln 2}{|k|}$ .
- Newtons avkjølingslov $\displaystyle \frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ er separabel og gir $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$ .

Nøkkelbegrep	Forklaring
Separabel likning	Kan skrives som $h(y)\,dy = g(x)\,dx$
Separasjon	Å samle hver variabel på sin side av likhetstegnet
Eksponentiell modell	$y = Ce^{kx}$ , løsning av $y' = ky$
Halveringstid/doblingstid	Tiden det tar å halvere/doble mengden

Viktige formler:

y' = ky \implies y = Ce^{kx}, \qquad T_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}

\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s) \implies T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.