2.1 Introduksjon til differensiallikninger | Matematikk S2

Hva er differensiallikninger og løsningsbegreper.

45 min

17 oppgaver

DifferensiallikningLøsningGenerell løsningPartikulær løsning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Fordypning (utenfor læreplanen)

Dette stoffet hører ikke til læreplanen i matematikk S2 (MAT04-02). Differensiallikninger hører til matematikk R2. I S2 modellerer vi eksponentiell og logistisk vekst i datasett med regresjon og vekstfaktor. Du trenger det ikke til S2-eksamen.

Hva er en differensiallikning?

En differensiallikning er en likning som inneholder en ukjent funksjon og dens deriverte. Vi vil finne funksjonen som tilfredsstiller likningen.

Eksempel: $y' = 2x$ er en differensiallikning. Løsningen er $y = x^2 + C$ .

Differensiallikning

y = y(x)

✏️Enkel differensiallikning

Løs $y' = 3x^2$ med initialbetingelse $y(0) = 5$ .

Generell løsning: Integrer begge sider.

y = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C

Partikulær løsning: Bruk $y(0) = 5$ :
$5 = 0^3 + C \Rightarrow C = 5$

Svar: $y = x^3 + 5$

Anvendelser

Differensiallikninger brukes til å modellere:
- Befolkningsvekst
- Radioaktivt forfall
- Temperaturendring (Newtons avkjølingslov)
- Økonomisk vekst
- Spredning av sykdommer

✏️Vekstmodell

En bakteriekultur vokser med en rate proporsjonal med størrelsen. Sett opp differensiallikningen.

N(t)

være antall bakterier ved tid

t

"Rate proporsjonal med størrelsen" betyr:
$\frac{dN}{dt} = kN$

der $k > 0$ er vekstkonstanten.

Dette er den klassiske eksponentiell vekst-modellen.

Kontroll av at $N = Ce^{kt}$ er en løsning: $N' = C \cdot ke^{kt} = k \cdot Ce^{kt} = kN$

Svar: $\displaystyle \frac{dN}{dt} = kN$ , med løsning $N(t) = Ce^{kt}$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Løs $y' = 4x$ .

Finn den partikulære løsningen der $y(0) = 3$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Løs $y' = e^x$ med $y(0) = 2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle y' = \frac{1}{x}$ for $x > 0$ med $y(1) = 0$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Verifiser at $y = Ce^{2x}$ er løsning av $y' = 2y$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Løs $y' = x + 1$ med $y(2) = 0$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Hastigheten til en partikkel er $v(t) = 6t - 2$ . Finn posisjon $s(t)$ hvis $s(0) = 5$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Sett opp differensiallikningen for radioaktivt forfall der nedbrytningsraten er proporsjonal med mengden.

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Løs $y'' = 6x$ med $y'(0) = 2$ og $y(0) = 1$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Verifiser at $y = x^2 + Cx$ tilfredsstiller $xy' - y = x^2$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Akselerasjonen til et fallende objekt med luftmotstand kan modelleres som $a = g - kv$ . Sett opp differensiallikningen for $v(t)$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn alle funksjoner $f$ slik at $f'(x) = f(x)$ og $f(0) = 1$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En funksjon tilfredsstiller $y' = 2xy$ og $y(0) = 1$ . Verifiser at $y = e^{x^2}$ er løsningen.

Oppsummering

Læringspunkter:
- En differensiallikning er en likning som inneholder en ukjent funksjon og dens deriverte.
- Likninger av typen $y' = f(x)$ løses ved direkte integrasjon: $y = \int f(x)\,dx$ .
- Den generelle løsningen inneholder en fri konstant $C$ ; en initialbetingelse gir en partikulær løsning.
- En foreslått funksjon verifiseres som løsning ved å sette den (og dens deriverte) inn i likningen.
- Ordenen til likningen er den høyeste deriverte som inngår — $y'' = 6x$ har orden 2 og krever to betingelser.

Nøkkelbegrep	Forklaring
Differensiallikning	Likning med ukjent funksjon og dens deriverte
Generell løsning	Familie av løsninger med fri(e) konstant(er)
Partikulær løsning	Én bestemt løsning, fastlagt av initialbetingelser
Orden	Høyeste deriverte i likningen
Initialbetingelse	Kjent verdi, f.eks. $y(0) = 3$

Viktige formler:

y' = f(x) \implies y = \int f(x)\,dx + C

y' = ky \implies y = Ce^{kx} \quad (\text{eksponentiell vekst/nedgang})

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.