1.7 Integrasjon av rasjonale funksjoner | Matematikk S2

Delbrøkoppspalting og integrasjon av rasjonale uttrykk.

65 min

19 oppgaver

DelbrøkoppspaltingRasjonale funksjonerPartielle brøkerLogaritmiske integraler

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.5Integrasjon ved substitusjon 1.6Delvis integrasjon

Omdreiningslegemer

Når vi roterer et område i planet rundt en akse, får vi et tredimensjonalt objekt kalt et omdreiningslegeme (rotasjonslegeme). Volumet av slike legemer kan beregnes med integrasjon.

Tenk deg at du roterer området mellom grafen til $f(x)$ og $x$ -aksen rundt $x$ -aksen. Du får da en «vase»-lignende form der tverrsnittet i ethvert punkt er en sirkel.

📜Skivemetoden (rotasjon om x-aksen)

Når området mellom

y = f(x)

x

-aksen for

a \leq x \leq b

roteres om $x$ -aksen, er volumet:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

Forklaring: I hvert punkt $x$ er tverrsnittet en sirkelskive med radius $|f(x)|$ og areal $\pi [f(x)]^2$ . Vi «summerer opp» alle slike skiver langs $x$ -aksen.

✏️Volum av kjegle

Finn volumet av kjeglen som fremkommer ved å rotere linjen $\displaystyle y = \frac{r}{h}x$ for $0 \leq x \leq h$ om $x$ -aksen. ( $r$ er radius og $h$ er høyden.)

Vi bruker skivemetoden:

$V = \pi \int_0^h \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \int_0^h x^2 \, dx$

$= \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^h = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{\pi r^2 h}{3}$

Vi har utledet den kjente formelen for volumet av en kjegle: $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ .

📊Utforsk: Området som roteres

Området under $f(x) = \sqrt{x}$ fra 0 til 4 (skravert) roteres om $x$ -aksen og danner et omdreiningslegeme med volum $V = \pi \int_0^4 x \, dx = 8\pi$ . Den stiplede grafen antyder rotasjonen.

✏️Volum av kule

Vis at volumet av en kule med radius $R$ er $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi R^3$ .

En kule med radius

R

kan sees som omdreiningslegemet til halvsirkelen

y = \sqrt{R^2 - x^2}

for

-R \leq x \leq R

rotert om

x

-aksen.

$V = \pi \int_{-R}^{R} (\sqrt{R^2 - x^2})^2 \, dx = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2) \, dx$

$= \pi \left[R^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi \left[\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right)\right]$

$= \pi \left[\frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3}\right] = \frac{4\pi R^3}{3}$

📜Rotasjon om y-aksen (skivemetoden)

Når området mellom

x = g(y)

y

-aksen for

c \leq y \leq d

roteres om $y$ -aksen, er volumet:

$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy$

Alternativt, dersom funksjonen er gitt som $y = f(x)$ , løser vi for $x = f^{-1}(y)$ og bruker dette uttrykket.

✏️Rotasjon om y-aksen

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = x^2$ og $y$ -aksen for $0 \leq y \leq 4$ roteres om $y$ -aksen.

Vi løser for

x

x = \sqrt{y}

(for

x \geq 0

$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 y \, dy = \pi \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi$

📜Skallmetoden (rotasjon om y-aksen)

Når området mellom

y = f(x)

x

-aksen for

a \leq x \leq b

(med

a \geq 0

) roteres om $y$ -aksen, kan vi bruke skallmetoden:

$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$

Forklaring: Vi deler området i tynne vertikale strimler. Når en stripe ved $x$ med høyde $f(x)$ og bredde $dx$ roteres om $y$ -aksen, dannes et tynt sylindrisk skall med radius $x$ , høyde $f(x)$ og tykkelse $dx$ . Volumet av dette skallet er $\approx 2\pi x \cdot f(x) \cdot dx$ .

✏️Skallmetoden

Beregn volumet når området mellom $y = x^2$ og $x$ -aksen for $0 \leq x \leq 2$ roteres om $y$ -aksen. Bruk skallmetoden.

V = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^2 \, dx = 2\pi \int_0^2 x^3 \, dx = 2\pi \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = 2\pi \cdot \frac{16}{4} = 8\pi

Kontroll med skivemetoden: $x = \sqrt{y}$ , $y$ går fra $0$ til $4$ .
$V = \pi \int_0^4 y \, dy = 8\pi$ ✓

Begge metodene gir samme svar, som forventet.

Valg av metode

Skivemetoden er best når:
- Tverrsnittet (vinkelrett på rotasjonsaksen) er lett å uttrykke
- Funksjonen er lett å invertere (for rotasjon om $y$ -aksen)

Skallmetoden er best når:
- Rotasjonen er om $y$ -aksen og funksjonen er gitt som $y = f(x)$
- Det er vanskelig å løse for $x$ som funksjon av $y$

Huskeregel: Skivemetoden integrerer vinkelrett på rotasjonsaksen, skallmetoden integrerer parallelt med rotasjonsaksen.

Husk pi-faktoren!

En svært vanlig feil er å glemme $\pi$ foran integralet i skivemetoden, eller å glemme $2\pi$ i skallmetoden. Skriv opp formelen tydelig før du begynner å integrere.

✏️Volum mellom to kurver

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = x$ og $y = x^2$ for $0 \leq x \leq 1$ roteres om $x$ -aksen.

Siden

x \geq x^2

for

0 \leq x \leq 1

, er den ytre kurven

y = x

og den indre

y = x^2

Volumet blir forskjellen mellom de to omdreiningslegemene (skiver med hull = «ringer»):

$V = \pi \int_0^1 \left[(x)^2 - (x^2)^2\right] dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) \, dx$

$= \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{2\pi}{15}$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når $y = 2x$ for $0 \leq x \leq 3$ roteres om $x$ -aksen.

Hvilket geometrisk legeme er dette? Kontroller med den kjente volumformelen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn volumet når $y = \sqrt{x}$ for $0 \leq x \leq 4$ roteres om $x$ -aksen.

Finn volumet når $y = x^3$ for $0 \leq x \leq 1$ roteres om $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når $y = e^x$ for $0 \leq x \leq 1$ roteres om $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn volumet av omdreiningslegemet når $y = \sin x$ for $0 \leq x \leq \pi$ roteres om $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = x^2$ og $y = x$ roteres om $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Beregn volumet når $y = x^2$ for $0 \leq x \leq 2$ roteres om $y$ -aksen ved bruk av skallmetoden.

Kontroller svaret med skivemetoden (rotasjon om $y$ -aksen).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Finn volumet når $\displaystyle y = \frac{1}{x}$ for $1 \leq x \leq 3$ roteres om $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Beregn volumet av omdreiningslegemet som dannes når $y = xe^{-x}$ for $0 \leq x \leq 2$ roteres om $x$ -aksen.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Bruk skallmetoden til å finne volumet når $y = e^{-x^2}$ for $0 \leq x \leq 1$ roteres om $y$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

En vase har formen av omdreiningslegemet til $y = 1 + \sin x$ for $0 \leq x \leq 2\pi$ rundt $x$ -aksen. Finn volumet av vasen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = e^x$ , $x$ -aksen, $x = 0$ og $x = 1$ roteres om $y$ -aksen. Bruk skallmetoden.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Finn volumet av en torus (smultring) med ytre radius $R$ og rørradius $r$ ( $R > r$ ). (Hint: roter sirkelen $(x - R)^2 + y^2 = r^2$ om $y$ -aksen med skallmetoden.)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Beregn volumet av en halvkule med radius $R = 5$ ved å rotere $y = \sqrt{25 - x^2}$ for $0 \leq x \leq 5$ om $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Området mellom $y = \ln x$ og $x$ -aksen for $1 \leq x \leq e$ roteres om $x$ -aksen. Finn volumet.

Oppsummering

Skivemetoden (rotasjon om $x$ -aksen):
$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

Skivemetoden (rotasjon om $y$ -aksen):
$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy$

Skallmetoden (rotasjon om $y$ -aksen):
$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$

Volum mellom to kurver (rotasjon om $x$ -aksen):
$V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right) dx$

der $f(x) \geq g(x) \geq 0$ på $[a, b]$ .

Husk: Velg metode basert på hva som er enklest å sette opp!

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.