1.6 Delvis integrasjon | Matematikk S2

Bruke delvis integrasjon for produkter av funksjoner.

60 min

19 oppgaver

Delvis integrasjonProduktregel baklengsGjentatt delvis integrasjonLIATE-regelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.4Integrasjonsmetoder

Brukes videre i

1.7Integrasjon av rasjonale funksjoner

Fra produktregelen til delvis integrasjon

Produktregelen for derivasjon sier at $(uv)' = u'v + uv'$ . Integrerer vi begge sider, får vi formelen for delvis integrasjon - en teknikk som er uunnværlig i S2 for å integrere produkter av funksjoner.

📜Delvis integrasjon

Ubestemt integral:

\int u \, dv = uv - \int v \, du

Bestemt integral:
$\int_a^b u \, dv = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b v \, du$

der $u = u(x)$ og $v = v(x)$ er deriverbare funksjoner.

Alternativ skrivemåte:
$\int u(x) \cdot v'(x) \, dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \, dx$

LIATE-regelen for valg av u

u

✏️Grunnleggende delvis integrasjon

Beregn $\int x \cdot e^x \, dx$ .

Vi velger (etter LIATE: algebraisk før eksponentiell):

$u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx$

$dv = e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x$

Delvis integrasjon:
$\int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$

Kontroll: $(e^x(x-1))' = e^x(x-1) + e^x = xe^x$ ✓

✏️Delvis integrasjon med logaritme

Beregn $\int \ln x \, dx$ .

Her er det bare én faktor, men vi kan skrive

\ln x = \ln x \cdot 1

$\displaystyle u = \ln x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{x} \, dx$

$dv = dx \quad \Rightarrow \quad v = x$

$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C$

Kontroll: $\displaystyle (x\ln x - x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x$ ✓

✏️Gjentatt delvis integrasjon

Beregn $\int x^2 e^x \, dx$ .

Første runde:

u = x^2

du = 2x\,dx

dv = e^x\,dx

v = e^x

$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx$

Andre runde:
$u = 2x$ , $du = 2\,dx$ , $dv = e^x\,dx$ , $v = e^x$

$\int 2x e^x \, dx = 2xe^x - \int 2e^x \, dx = 2xe^x - 2e^x$

Satt sammen:
$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2xe^x - 2e^x) + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

Mønster: For $\int x^n e^x \, dx$ må vi utføre delvis integrasjon $n$ ganger.

Sirkulær delvis integrasjon

Noen ganger må vi utføre delvis integrasjon to ganger og deretter løse en likning for det opprinnelige integralet. Dette skjer typisk ved integrasjon av $e^x \sin x$ eller $e^x \cos x$ .

✏️Sirkulær delvis integrasjon

Beregn $I = \int e^x \cos x \, dx$ .

Første runde:

u = \cos x

du = -\sin x\,dx

dv = e^x\,dx

v = e^x

$I = e^x \cos x - \int e^x \cdot (-\sin x) \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$

Andre runde:
$u = \sin x$ , $du = \cos x\,dx$ , $dv = e^x\,dx$ , $v = e^x$

$I = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx = e^x(\cos x + \sin x) - I$

Nå har vi $I$ på begge sider! Løser vi for $I$ :

$2I = e^x(\cos x + \sin x) \quad \Rightarrow \quad I = \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$

Etter delvis integrasjon bør du alltid derivere svaret for å kontrollere. Produktregelen gjør at du raskt kan verifisere. Husk: derivasjon er enklere enn integrasjon!

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Beregn $\int x \cos x \, dx$ ved delvis integrasjon.

Beregn $\int x \sin x \, dx$ ved delvis integrasjon.

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Beregn $\int x e^{2x} \, dx$ .

Beregn $\int x e^{-x} \, dx$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Beregn $\int x \ln x \, dx$ .

Beregn $\int_1^e \ln x \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^1 xe^x \, dx$ .

Beregn $\int_0^{\pi} x \sin x \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Beregn $\int x^2 \cos x \, dx$ med gjentatt delvis integrasjon.

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Beregn $\int e^x \sin x \, dx$ med sirkulær delvis integrasjon.

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Beregn $\int (\ln x)^2 \, dx$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Beregn $\int x^2 e^{-x} \, dx$ med gjentatt delvis integrasjon.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Beregn $\int_1^e x^2 \ln x \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Beregn $\int x^3 e^x \, dx$ med gjentatt delvis integrasjon.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Utled en generell formel for $\int x^n e^x \, dx$ ved å bruke mønsteret fra gjentatt delvis integrasjon. (Hint: se på resultatene for $n = 1, 2, 3$ .)

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Beregn $\int e^{2x} \cos 3x \, dx$ med sirkulær delvis integrasjon.

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^1 \arctan x \, dx$ ved delvis integrasjon.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Hva bør du velge som $u$ og $dv$ for å integrere $\int x^3 \ln x \, dx$ ? Begrunn med LIATE-regelen.

Deriver svaret for å kontrollere at det stemmer.

Oppsummering

Delvis integrasjon: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$

LIATE-regelen: Velg $u$ som L > I > A > T > E

Vanlige typer:
- $\int x^n e^{ax}\,dx$ : velg $u = x^n$ (gjentatt $n$ ganger)
- $\int x^n \ln x\,dx$ : velg $u = \ln x$
- $\int x^n \sin(ax)\,dx$ eller $\int x^n \cos(ax)\,dx$ : velg $u = x^n$
- $\int e^{ax} \sin(bx)\,dx$ eller $\int e^{ax} \cos(bx)\,dx$ : sirkulær metode (2 runder)

Kontroll: Deriver alltid svaret for å sjekke!

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.