1.4 Integrasjonsmetoder | Matematikk S2

Delvis integrasjon og substitusjon.

65 min

17 oppgaver

Delvis integrasjonSubstitusjonVariabelskifte

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Bestemte integraler

Brukes videre i

1.5Integrasjon ved substitusjon 1.6Delvis integrasjon

Praktiske anvendelser

Integrasjon brukes til å løse mange praktiske problemer:
- Finne total mengde fra en rate
- Beregne arbeid fra kraft over avstand
- Finne gjennomsnittsverdi av en funksjon
- Beregne forbrukernes og produsentenes overskudd i økonomi

Gjennomsnittsverdi

f

✏️Gjennomsnittstemperatur

Temperaturen en dag er gitt ved $\displaystyle T(t) = 20 + 8\sin(\frac{\pi t}{12})$ grader der $t$ er timer etter midnatt. Finn gjennomsnittstemperaturen fra kl. 6 til kl. 18.

\bar{T} = \frac{1}{18-6} \int_6^{18} \left(20 + 8\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right) dt

$= \frac{1}{12} \left[20t - \frac{96}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right]_6^{18}$

Ved $t = 18$ : $\displaystyle \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$ , og ved $t = 6$ : $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ . Begge cosinusleddene faller dermed bort:

$= \frac{1}{12} \left[(360 - 0) - (120 - 0)\right] = \frac{240}{12} = 20\,°\text{C}$

Gjennomsnittstemperaturen er nøyaktig $20\,°$ C. Det gir mening: $\sin$ -leddet er antisymmetrisk om $t = 12$ på intervallet $[6, 18]$ , så variasjonen rundt grunnivået $20$ jevner seg ut.

Konsument- og produsentoverskudd

I økonomi kan integrasjon brukes til å beregne:

Konsumentoverskudd: Differansen mellom hva forbrukere er villige til å betale og hva de faktisk betaler.

Produsentoverskudd: Differansen mellom hva produsenter mottar og hva de er villige til å produsere for.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = x^2$ på $[0, 3]$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = 2x + 1$ på $[0, 4]$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Vanntilførsel til et basseng er $r(t) = 100 + 20t$ liter/time. Hvor mye vann tilføres de første 3 timene?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Befolkningsveksten er $P'(t) = 1000e^{0{,}02t}$ per år. Finn økningen de første 10 årene.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Hastighet er $v(t) = 3t^2$ m/s. Finn total tilbakelagt avstand fra $t = 0$ til $t = 4$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = e^x$ på $[0, 2]$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Marginalkostnaden er $K'(x) = 20 + 0{,}1x$ kr. Finn kostnadsøkningen når produksjonen øker fra 100 til 200 enheter.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Temperatur varierer som $\displaystyle T(t) = 15 + 10\cos(\frac{\pi t}{12})$ over et døgn ( $t$ i timer). Finn gjennomsnittstemperaturen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

En bakteriekoloni vokser med rate $r(t) = 100 \cdot 2^{t/3}$ per time. Hvor mange bakterier tilføres fra time 0 til time 6?

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Strømforbruk varierer som $\displaystyle P(t) = 2000 + 500\sin(\frac{\pi t}{12})$ W. Finn energiforbruket (i kWh) over 24 timer.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Akselerasjon $a(t) = 6t$ m/s². Finn hastighet og posisjon som funksjoner av $t$ hvis $v(0) = 5$ m/s og $s(0) = 0$ m.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at gjennomsnittsverdien av en lineær funksjon $f(x) = ax + b$ på $[c, d]$ er lik funksjonsverdien i midtpunktet.

Oppsummering

Læringspunkter:
- Gjennomsnittsverdien av en funksjon på $[a, b]$ er $\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ .
- Integralet av en endringsrate gir total endring: $\int_a^b f'(t)\,dt = f(b) - f(a)$ .
- Typiske anvendelser: fart $\to$ strekning, vekstrate $\to$ total vekst, marginalkostnad $\to$ kostnadsendring, effekt $\to$ energi.
- Initialbetingelser (startverdier) trengs for å finne selve funksjonen, ikke bare endringen.

Nøkkelbegrep	Forklaring
Gjennomsnittsverdi	$\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$
Endringsrate	Derivert av en mengde, f.eks. $v(t) = s'(t)$
Total endring	Integralet av raten over tidsintervallet
Marginalkostnad	$K'(x)$ — kostnadsøkning per ekstra enhet

Viktige formler:

\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx, \qquad \text{Total endring} = \int_a^b (\text{rate})\,dt

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.