1.4 Anvendelser av integrasjon | Matematikk S2

Lær om praktiske anvendelser av integrasjon.

65 min

19 oppgaver

GjennomsnittsverdiKonsument- og produsentoverskuddAnalyse av modeller

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Bestemte integraler

Brukes videre i

1.5Numerisk integrasjon 1.6Delvis integrasjon

Praktiske anvendelser

Integrasjon brukes til å løse mange praktiske problemer:
- Finne total mengde fra en rate
- Beregne arbeid fra kraft over avstand
- Finne gjennomsnittsverdi av en funksjon
- Beregne forbrukernes og produsentenes overskudd i økonomi

Gjennomsnittsverdi

f

✏️Gjennomsnittstemperatur

Temperaturen en dag er modellert ved $T(t) = -0{,}125t^2 + 3t + 2$ grader celsius, der $t$ er antall timer etter midnatt og $6 \leq t \leq 18$ . Finn gjennomsnittstemperaturen fra kl. 6 til kl. 18.

\bar{T} = \frac{1}{18 - 6} \int_6^{18} \left(-0{,}125t^2 + 3t + 2\right) dt

$= \frac{1}{12} \left[-\frac{t^3}{24} + 1{,}5t^2 + 2t\right]_6^{18}$

$= \frac{1}{12} \left[(-243 + 486 + 36) - (-9 + 54 + 12)\right]$

$= \frac{1}{12} (279 - 57) = \frac{222}{12} = 18{,}5$

Svar: Gjennomsnittstemperaturen fra kl. 6 til kl. 18 er $18{,}5\,°\text{C}$ .

Konsument- og produsentoverskudd

La $p = D(x)$ være etterspørselsfunksjonen (prisen kundene er villige til å betale når $x$ enheter omsettes) og $p = S(x)$ tilbudsfunksjonen (prisen produsentene krever for å levere $x$ enheter). I likevekt er $D(x_0) = S(x_0) = p_0$ .

Konsumentoverskudd: Differansen mellom hva forbrukerne er villige til å betale og hva de faktisk betaler:
$KO = \int_0^{x_0} \big(D(x) - p_0\big)\,dx$

Produsentoverskudd: Differansen mellom hva produsentene mottar og hva de er villige til å produsere for:
$PO = \int_0^{x_0} \big(p_0 - S(x)\big)\,dx$

✏️Konsument- og produsentoverskudd

Etterspørselen etter en vare er gitt ved $D(x) = 100 - 2x$ og tilbudet ved $S(x) = 10 + x$ , der $x$ er antall tusen enheter og prisen er i kroner.

Finn likevektsprisen, konsumentoverskuddet og produsentoverskuddet.

Likevekt:

$100 - 2x = 10 + x$

$3x = 90 \Rightarrow x_0 = 30$

$p_0 = 100 - 2 \cdot 30 = 40$

$KO = \int_0^{30} \big((100 - 2x) - 40\big)\,dx = \int_0^{30} (60 - 2x)\,dx = \left[60x - x^2\right]_0^{30} = 1800 - 900 = 900$

$\displaystyle PO = \int_0^{30} \big(40 - (10 + x)\big)\,dx = \int_0^{30} (30 - x)\,dx = \left[30x - \frac{x^2}{2}\right]_0^{30} = 900 - 450 = 450$

Svar: Likevekt ved $x_0 = 30$ tusen enheter og $p_0 = 40$ kr. Konsumentoverskuddet er $900$ tusen kroner og produsentoverskuddet $450$ tusen kroner.

Analyse av en modell

En typisk eksamensoppgave tar én modell gjennom flere spørsmål. Hvert spørsmål svarer til et verktøy:

Spørsmål	Verktøy	Enhet
Hvor stor er størrelsen?	$f(t)$	enheten til $f$
Hvor fort endrer den seg?	$f'(t)$	enheten til $f$ per tidsenhet
Når er den størst eller minst?	$f'(t) = 0$ og fortegnslinje
Når endrer den seg raskest?	$f''(t) = 0$ (vendepunkt)
Hvor mye til sammen?	$\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$ når $f$ er en rate	enheten til $f$ ganger tidsenhet
Hvor mye i gjennomsnitt?	$\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$	enheten til $f$

Til slutt vurderer vi hvor lenge modellen kan gjelde.

✏️Analyse av en modell

En fornøyelsespark åpner klokka 09.00 og stenger klokka 21.00. Antall besøkende som kommer inn per time, er modellert ved

$B(t) = -2t^3 + 24t^2 + 30, \qquad 0 \leq t \leq 12$

der $t$ er antall timer etter åpning.

a) Regn ut $B(2)$ og $B'(2)$ . Forklar hva svarene betyr.

b) Når kommer det flest besøkende per time, og hvor mange er det da?

c) Når øker antallet besøkende per time raskest?

d) Regn ut $\displaystyle\int_0^{12} B(t)\,dt$ og $\dfrac{1}{12}\displaystyle\int_0^{12} B(t)\,dt$ . Forklar hva svarene betyr.

e) Når har 2000 besøkende kommet inn i parken?

f) Vurder hvor lenge modellen kan gjelde.

a)
$B(2) = -16 + 96 + 30 = 110$
$B'(t) = -6t^2 + 48t$
$B'(2) = -24 + 96 = 72$

Svar: Klokka 11.00 kommer det 110 besøkende per time, og antallet per time øker med 72 per time.

b)
$B'(t) = 0$
$-6t(t - 8) = 0$
$t = 0 \quad \vee \quad t = 8$
$B'(t) > 0$ for $0 < t < 8$ og $B'(t) < 0$ for $8 < t \leq 12$ , så $t = 8$ gir toppunkt.
$B(8) = -1024 + 1536 + 30 = 542$

Svar: Klokka 17.00 kommer det flest, 542 besøkende per time.

c)
$B''(t) = -12t + 48$
$B''(t) = 0$ gir $t = 4$
$B''(t) > 0$ for $t < 4$ og $B''(t) < 0$ for $t > 4$ , så $B'$ har toppunkt i $t = 4$ .
$B'(4) = -96 + 192 = 96$

Svar: Klokka 13.00 øker antallet besøkende per time raskest, med 96 per time.

d)
$\displaystyle\int_0^{12} B(t)\,dt = \left[-\dfrac{t^4}{2} + 8t^3 + 30t\right]_0^{12}$
$= -10\,368 + 13\,824 + 360$
$= 3816$
$\dfrac{3816}{12} = 318$

Svar: I løpet av dagen kommer det 3816 besøkende. I gjennomsnitt kommer det 318 besøkende per time.

e)
CAS i GeoGebra:
B(t) := -2t^3 + 24t^2 + 30
NLøs(Integral(B(t), t, 0, x) = 2000, x = 7)
gir $x \approx 7{,}47$
$0{,}47 \cdot 60 \approx 28$

Svar: Omtrent klokka 16.28 har 2000 besøkende kommet inn.

f)
NLøs(B(t) = 0, t = 12) gir $t \approx 12{,}1$
For $t > 12{,}1$ er $B(t) < 0$ .

Svar: Like etter stengetid gir modellen et negativt antall besøkende per time. Modellen kan bare brukes mens parken er åpen, $0 \leq t \leq 12$ .

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = x^2$ på $[0, 3]$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = 2x + 1$ på $[0, 4]$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Vanntilførsel til et basseng er $r(t) = 100 + 20t$ liter/time. Hvor mye vann tilføres de første 3 timene?

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Befolkningsveksten er $P'(t) = 1000e^{0{,}02t}$ per år. Finn økningen de første 10 årene.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Hastighet er $v(t) = 3t^2$ m/s. Finn total tilbakelagt avstand fra $t = 0$ til $t = 4$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = e^x$ på $[0, 2]$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Grensekostnaden er $K'(x) = 20 + 0{,}1x$ kr. Finn kostnadsøkningen når produksjonen øker fra 100 til 200 enheter.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Temperaturen i et drivhus er modellert ved $T(t) = 12 + 1{,}5t - 0{,}0625t^2$ grader celsius, der $t$ er antall timer etter midnatt og $0 \leq t \leq 24$ . Finn gjennomsnittstemperaturen over døgnet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

En bakteriekoloni vokser med rate $r(t) = 100 \cdot 2^{t/3}$ per time. Hvor mange bakterier tilføres fra time 0 til time 6?

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Strømforbruket i en bolig er modellert ved $P(t) = 2000 + 250t - 10t^2$ watt, der $t$ er antall timer etter midnatt og $0 \leq t \leq 24$ . Finn energiforbruket i kWh over døgnet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Akselerasjon $a(t) = 6t$ m/s². Finn hastighet og posisjon som funksjoner av $t$ hvis $v(0) = 5$ m/s og $s(0) = 0$ m.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at gjennomsnittsverdien av en lineær funksjon $f(x) = ax + b$ på $[c, d]$ er lik funksjonsverdien i midtpunktet.

📝Oppgave 13

Etterspørselen etter en vare er $D(x) = 100 - x^2$ og tilbudet er $S(x) = 4 + 0{,}5x^2$ , der $x$ er antall tusen enheter og prisen er i kroner.

Finn likevektskvantumet $x_0$ og likevektsprisen $p_0$ .

Finn konsumentoverskuddet.

Finn produsentoverskuddet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Vann renner inn i et basseng. Etter

t

minutter renner det inn

$r(t) = 40t\,e^{-0{,}1t}, \qquad 0 \leq t \leq 60$

liter per minutt.

Finn $r'(5)$ . Hva betyr svaret?

Når renner det inn mest vann per minutt, og hvor mye er det da?

Regn ut $\displaystyle\int_0^{60} r(t)\,dt$ og gjennomsnittlig tilførsel per minutt. Forklar hva svarene betyr.

Når har det rent inn 3000 liter?

Løs oppgaven

Oppsummering

Læringspunkter:
- Gjennomsnittsverdien av en funksjon på $[a, b]$ er $\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ .
- Integralet av en endringsrate gir total endring: $\int_a^b f'(t)\,dt = f(b) - f(a)$ .
- Typiske anvendelser: fart $\to$ strekning, vekstrate $\to$ total vekst, grensekostnad $\to$ kostnadsendring, effekt $\to$ energi.
- Konsumentoverskudd og produsentoverskudd er integraler av differansen mellom etterspørsels- eller tilbudsfunksjonen og likevektsprisen.
- Initialbetingelser (startverdier) trengs for å finne selve funksjonen, ikke bare endringen.

Nøkkelbegrep	Forklaring
Gjennomsnittsverdi	$\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$
Endringsrate	Derivert av en mengde, f.eks. $v(t) = s'(t)$
Total endring	Integralet av raten over tidsintervallet
Grensekostnad	$K'(x)$ — kostnadsøkning per ekstra enhet

Viktige formler:

\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx, \qquad \text{Total endring} = \int_a^b (\text{rate})\,dt

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.