1.3 Areal

Lær å beregne arealer ved hjelp av integraler og å finne $f(x)$ når $f'(x)$ er kjent.

50 min

19 oppgaver

Areal under kurveAreal mellom to kurverFortegn og arealRekonstruksjon av f fra f'

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Bestemte integraler

Areal under en kurve

Det bestemte integralet $\int_a^b f(x) \, dx$ gir med fortegn arealet mellom grafen til $f$ og $x$ -aksen fra $x = a$ til $x = b$ .

- Der $f(x) > 0$ : positivt bidrag
- Der $f(x) < 0$ : negativt bidrag

Areal under kurve

f

✏️Areal under parabel

Finn arealet mellom grafen til $f(x) = 4 - x^2$ og $x$ -aksen.

Nullpunkter:

4 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 2

$f(x) \geq 0$ for $x \in [-2, 2]$ , så:
$A = \int_{-2}^2 (4 - x^2) \, dx = [4x - \frac{x^3}{3}]_{-2}^2$
$= (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

Svar: Arealet er $\displaystyle \frac{32}{3} \approx 10{,}67$ .

✏️Areal under en polynomfunksjon

Funksjonen $f(x) = x^3 - 4x$ har nullpunkter i $x = -2$ , $x = 0$ og $x = 2$ .

a) Beregn $\int_{-2}^{2} f(x) \, dx$ . Tolk svaret.
b) Finn det totale arealet mellom grafen til $f$ og $x$ -aksen for $x \in [-2, 2]$ .

a) Bestemt integral:

$\int_{-2}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} - 2x^2\right]_{-2}^{2}$

$\begin{aligned} = {}&\left(\frac{16}{4} - 8\right) - \left(\frac{16}{4} - 8\right) \\ = {}&(4 - 8) - (4 - 8) \\ = {}&-4 - (-4) = 0 \end{aligned}$

Tolkning: Integralet er null fordi $f(x) = x^3 - 4x$ er en odde funksjon ( $f(-x) = -f(x)$ ), og vi integrerer over et symmetrisk intervall. Det positive og negative arealet kansellerer hverandre.

b) Totalt areal:

Vi må dele opp integralet ved nullpunktene. Vi undersøker fortegnet:
- For $x \in [-2, 0]$ : $f(x) \geq 0$
- For $x \in [0, 2]$ : $f(x) \leq 0$

$A = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \left(-\int_{0}^{2} f(x) \, dx\right)$

$\int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} - 2x^2\right]_{-2}^{0} = 0 - (4 - 8) = 4$

$\int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} - 2x^2\right]_{0}^{2} = (4 - 8) - 0 = -4$

$A = 4 + (-(-4)) = 4 + 4 = 8$

Svar: a) $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 0$ fordi arealene over og under $x$ -aksen er like store. b) Det totale arealet er $8$ .

Areal mellom to kurver

f

✏️Areal mellom kurver

Finn arealet mellom $f(x) = x^2$ og $g(x) = x$ .

Skjæringspunkter:

x^2 = x \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0

eller

x = 1

For $x \in [0, 1]$ : $x > x^2$ , så $g(x) > f(x)$ .

$A = \int_0^1 (x - x^2) \, dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Svar: Arealet er $\displaystyle \frac{1}{6}$ .

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Areal mellom to kurver

Arealet mellom

f(x) = 4 - x^2

g(x) = x + 2

fra skjæringspunkt til skjæringspunkt, beregnet som

\int_a^b (f - g)\, dx

. Skjæringspunktene er

x = -2

x = 1

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 4 - x^2
g(x) = x + 2
a = IntegralBetween(f, g, -2, 1)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Rekonstruksjon av $f(x)$ fra $f'(x)$

I mange oppgaver kjenner vi $f'(x)$ og skal finne $f(x)$ . Dette er det «omvendte» av derivasjon, altså integrasjon (antiderivasjon).

Dersom $f'(x) = g(x)$ , er:
$f(x) = \int g(x) \, dx + C$

der $C$ er en integrasjonskonstant. For å bestemme $C$ trenger vi én kjent funksjonsverdi, for eksempel $f(a) = b$ . Vi setter dette inn og løser for $C$ .

Tolkning av integralet:

Vi kan også bruke det bestemte integralet til å uttrykke sammenhengen:
$f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) \, dx$

Dette betyr at integralet av den deriverte over et intervall gir endringen i funksjonen over det intervallet. Denne sammenhengen er kjent som analysens fundamentalteorem.

✏️Rekonstruksjon av funksjon fra den deriverte

En funksjon $f$ har den deriverte $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ , og vi vet at $f(1) = 3$ .

a) Finn $f(x)$ .
b) Bestem $f(0)$ og $f(3)$ .
c) Beregn $\int_0^3 f'(x) \, dx$ og vis at dette er lik $f(3) - f(0)$ .

a) Finn $f(x)$ :

$f(x) = \int (3x^2 - 6x + 2) \, dx = x^3 - 3x^2 + 2x + C$

Vi bruker $f(1) = 3$ :
$1 - 3 + 2 + C = 3 \quad \Rightarrow \quad C = 3$

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 3$

b) Funksjonsverdier:

$f(0) = 0 - 0 + 0 + 3 = 3$
$f(3) = 27 - 27 + 6 + 3 = 9$

c) Bestemt integral av $f'(x)$ :

$\begin{aligned} &\int_0^3 (3x^2 - 6x + 2) \, dx \\ = {}&\left[x^3 - 3x^2 + 2x\right]_0^3 \\ = {}&(27 - 27 + 6) - 0 = 6 \end{aligned}$

$f(3) - f(0) = 9 - 3 = 6$

Integralet av den deriverte er endringen i funksjonen.

Svar: a) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 3$ b) $f(0) = 3$ og $f(3) = 9$ c) $\int_0^3 f'(x)\,dx = 6 = f(3) - f(0)$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn arealet under $f(x) = x$ fra $x = 0$ til $x = 4$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn arealet under $f(x) = x^2$ fra $x = 0$ til $x = 2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn arealet under $f(x) = e^x$ fra $x = 0$ til $x = 1$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn arealet mellom $f(x) = x^2$ og $x$ -aksen fra $x = -1$ til $x = 2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn arealet mellom $y = x$ og $y = x^2$ fra $x = 0$ til $x = 1$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn arealet begrenset av $y = 6 - x$ og $y = x^2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Finn arealet under $f(x) = x^3$ fra $x = -1$ til $x = 1$ . Hva blir integralet?

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Finn arealet mellom $y = x^2 - 4$ og $x$ -aksen.

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Finn arealet mellom $y = x^3 - x$ og $x$ -aksen.

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Finn $k > 0$ slik at arealet under $y = x^2$ fra $0$ til $k$ er 9.

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn arealet mellom $y = e^x$ , $y = e^{-x}$ og $x = 1$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Finn arealet begrenset av $y = \sqrt{x}$ , $y = x^2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

En funksjon $f$ har $f'(x) = 4x - 6$ og $f(2) = 1$ . Finn $f(x)$ .

Beregn $\int_1^4 f'(x) \, dx$ og vis at det er lik $f(4) - f(1)$ .

Funksjonen $f(x) = x^3 - 3x$ har toppunkt i $x = -1$ og bunnpunkt i $x = 1$ . Beregn arealet mellom grafen til $f$ og $x$ -aksen for $x \in [-\sqrt{3}, 0]$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

Læringspunkter:
- Arealet under en graf ( $f(x) \geq 0$ ) fra $a$ til $b$ er $A = \int_a^b f(x)\,dx$ .
- Når grafen ligger under $x$ -aksen, blir integralet negativt — arealet er da $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|$ .
- Skifter funksjonen fortegn, må intervallet deles opp i nullpunktene før arealene summeres.
- Arealet mellom to kurver: $A = \int_a^b \big(\text{øvre} - \text{nedre}\big)\,dx$ , der $a$ og $b$ ofte er skjæringspunktene.
- Kjenner vi $f'(x)$ og én funksjonsverdi, finner vi $f(x) = \int f'(x)\,dx + C$ . Dessuten er $\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$ .

Nøkkelbegrep	Forklaring
Areal under kurve	$\int_a^b f(x)\,dx$ når $f(x) \geq 0$
Fortegnsbestemt areal	Integralet teller areal under $x$ -aksen negativt
Skjæringspunkt	Løsning av $f(x) = g(x)$ — gir integrasjonsgrensene
Areal mellom kurver	Integralet av differansen øvre minus nedre funksjon

Viktige formler:

\begin{aligned} &A = \int_a^b f(x)\,dx \quad (f \geq 0), \\ &A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx \quad (f \geq g) \end{aligned}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Areal under en kurve

Utforsk: Areal mellom to kurver

Rekonstruksjon av f(x)f(x)f(x) fra f′(x)f'(x)f′(x)

Oppsummering

Rekonstruksjon av $f(x)$ fra $f'(x)$