1.3 Areal mellom kurver | Matematikk S2

Beregne areal mellom to funksjonsgrafer.

50 min

17 oppgaver

Areal mellom kurverIntegrasjonSkjæringspunkter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Bestemte integraler

Areal under en kurve

Det bestemte integralet $\int_a^b f(x) \, dx$ gir med fortegn arealet mellom grafen til $f$ og $x$ -aksen fra $x = a$ til $x = b$ .

- Der $f(x) > 0$ : positivt bidrag
- Der $f(x) < 0$ : negativt bidrag

Areal under kurve

f

✏️Areal under parabel

Finn arealet mellom grafen til $f(x) = 4 - x^2$ og $x$ -aksen.

Nullpunkter:

4 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 2

$f(x) \geq 0$ for $x \in [-2, 2]$ , så:
$A = \int_{-2}^2 (4 - x^2) \, dx = [4x - \frac{x^3}{3}]_{-2}^2$
$= (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

Areal mellom to kurver

f

✏️Areal mellom kurver

Finn arealet mellom $f(x) = x^2$ og $g(x) = x$ .

Skjæringspunkter:

x^2 = x \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0

eller

x = 1

For $x \in [0, 1]$ : $x > x^2$ , så $g(x) > f(x)$ .

$A = \int_0^1 (x - x^2) \, dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

📊Utforsk: Areal mellom to kurver

Arealet mellom $f(x) = 4 - x^2$ og $g(x) = x + 2$ fra skjæringspunkt til skjæringspunkt, beregnet som $\int_a^b (f - g)\, dx$ . Skjæringspunktene er $x = -2$ og $x = 1$ .

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn arealet under $f(x) = x$ fra $x = 0$ til $x = 4$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn arealet under $f(x) = x^2$ fra $x = 0$ til $x = 2$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn arealet under $f(x) = e^x$ fra $x = 0$ til $x = 1$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn arealet mellom $f(x) = x^2$ og $x$ -aksen fra $x = -1$ til $x = 2$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn arealet mellom $y = x$ og $y = x^2$ fra $x = 0$ til $x = 1$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn arealet begrenset av $y = 6 - x$ og $y = x^2$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Finn arealet under $f(x) = x^3$ fra $x = -1$ til $x = 1$ . Hva blir integralet?

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Finn arealet mellom $y = x^2 - 4$ og $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Finn arealet mellom $y = x^3 - x$ og $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Finn $k > 0$ slik at arealet under $y = x^2$ fra $0$ til $k$ er 9.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn arealet mellom $y = e^x$ , $y = e^{-x}$ og $x = 1$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Finn arealet begrenset av $y = \sqrt{x}$ , $y = x^2$ .

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Læringspunkter:
- Arealet under en graf ( $f(x) \geq 0$ ) fra $a$ til $b$ er $A = \int_a^b f(x)\,dx$ .
- Når grafen ligger under $x$ -aksen, blir integralet negativt — arealet er da $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|$ .
- Skifter funksjonen fortegn, må intervallet deles opp i nullpunktene før arealene summeres.
- Arealet mellom to kurver: $A = \int_a^b \big(\text{øvre} - \text{nedre}\big)\,dx$ , der $a$ og $b$ ofte er skjæringspunktene.

Nøkkelbegrep	Forklaring
Areal under kurve	$\int_a^b f(x)\,dx$ når $f(x) \geq 0$
Fortegnsbestemt areal	Integralet teller areal under $x$ -aksen negativt
Skjæringspunkt	Løsning av $f(x) = g(x)$ — gir integrasjonsgrensene
Areal mellom kurver	Integralet av differansen øvre minus nedre funksjon

Viktige formler:

A = \int_a^b f(x)\,dx \quad (f \geq 0), \qquad A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx \quad (f \geq g)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.