1.3 Areal

Arealet som forteller en historie

En venn av deg har startet et lite kaffebrenneri og viser deg en graf over resultatraten — overskudd per måned — gjennom det første driftsåret. Kurven starter under $x$-aksen (oppstartskostnadene svir), krysser aksen etter noen måneder og stiger deretter pent. «Hvor mye har vi egentlig tapt og tjent?» spør hun. Svaret ligger i arealene mellom kurven og aksen: arealet under aksen er det samlede tapet, arealet over er den samlede gevinsten.

Fra forrige kapittel vet du at det bestemte integralet $\int_a^b f(x)\,dx$ gir arealet mellom grafen til $f$ og $x$-aksen — men med fortegn. Der $f(x) > 0$ bidrar integralet positivt, og der $f(x) < 0$ bidrar det negativt. Det er nyttig når vi vil ha nettoresultatet, men noen ganger vil vi ha selve arealet, altså et positivt tall som måler hvor stort området er.

Tenk på forskjellen i kaffebrenneriet: nettoresultatet for året kan være nær null selv om bedriften både har tapt mye og tjent mye — de to arealene kan nesten oppheve hverandre i integralet. Vil vi vite hvor mye som ble tapt i tapsmånedene, må vi behandle det negative området for seg.

I dette kapittelet lærer du nøyaktig hvordan: først hvordan du finner arealet mellom én graf og $x$-aksen, også når grafen dipper under aksen, og deretter hvordan du finner arealet mellom to grafer — en teknikk som i neste kapittel skal brukes på alt fra markedsanalyse til overskuddsberegninger.

Areal under en kurve

La oss gjøre fortegnsdiskusjonen presis. Arealet mellom grafen til $f$ og $x$-aksen på intervallet $[a, b]$ er

$$A = \int_a^b |f(x)| \, dx$$

Absoluttverdien sørger for at alt teller positivt. I praksis betyr det: hvis $f(x) \geq 0$ på hele intervallet, er arealet rett og slett $A = \int_a^b f(x)\,dx$. Hvis grafen ligger under aksen, blir integralet negativt, og arealet er absoluttverdien av det. Og hvis $f$ skifter fortegn underveis — som resultatraten til kaffebrenneriet — må vi dele opp integralet i nullpunktene, regne hvert delintervall for seg og legge sammen absoluttverdiene.

Arbeidsgangen er altså alltid den samme: finn nullpunktene først, sjekk fortegnet på hvert delintervall, og integrer bit for bit.

La oss regne et helt eksempel. Vi vil finne arealet mellom grafen til $f(x) = 4 - x^2$ og $x$-aksen. Først nullpunktene: $4 - x^2 = 0$ gir $x = \pm 2$. Mellom $-2$ og $2$ er $f(x) \geq 0$ (parabelen vender den hule siden ned og har toppunkt i $(0, 4)$), så her trenger vi ingen oppdeling:

$$\begin{aligned} A &= \int_{-2}^2 (4 - x^2) \, dx \\ &= \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2 \\ &= \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) \\ &= \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \end{aligned}$$

Arealet er $\displaystyle \frac{32}{3} \approx 10{,}7$ arealenheter. Hadde vi i stedet integrert en funksjon som krysser aksen, for eksempel fra måned 0 til måned 12 i kaffebrenneriet, ville vi delt i krysningsmåneden: tapet er absoluttverdien av integralet før nullpunktet, gevinsten er integralet etter.

Areal mellom to kurver

Tilbake i kaffebrenneriet får du to kurver på bordet: inntektsraten $f(x)$ og kostnadsraten $g(x)$. Så lenge $f$ ligger over $g$, tjener bedriften penger, og det samlede overskuddet i perioden er nettopp arealet mellom de to kurvene. Slike spørsmål — hvor mye mer er den ene enn den andre, samlet over et intervall — dukker opp overalt i økonomi og samfunnsfag.

Formelen er naturlig: arealet mellom grafene til $f$ og $g$ på $[a, b]$, der $f(x) \geq g(x)$, er

$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx$$

Vi integrerer rett og slett differansen «øvre minus nedre». Vet vi ikke hvilken graf som ligger øverst — eller bytter de plass underveis — bruker vi den generelle formen $A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$ og deler opp i skjæringspunktene, akkurat som vi delte opp i nullpunkter i forrige seksjon.

Ofte er det skjæringspunktene selv som avgrenser området, og da blir de integrasjonsgrensene. La oss ta standardeksempelet: arealet mellom $f(x) = x^2$ og $g(x) = x$. Skjæringspunktene finner vi ved å løse $x^2 = x$, altså $x(x - 1) = 0$, som gir $x = 0$ og $x = 1$. På intervallet $[0, 1]$ er $x > x^2$ (prøv $\displaystyle x = \frac{1}{2}$: $0{,}5 > 0{,}25$), så linjen ligger øverst:

$$A = \int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

Oppskriften er alltid den samme: finn skjæringspunktene, avgjør hvem som ligger øverst, integrer differansen. I neste kapittel skal du se at akkurat denne teknikken beregner konsument- og produsentoverskudd i et marked.

Fra fortegn til flate

Kaffebrennerens spørsmål — hvor mye tapte vi, hvor mye tjente vi — viste seg å være et spørsmål om areal. Nå har du hele verktøyet. Arealet mellom en graf og $x$-aksen er $A = \int_a^b |f(x)|\,dx$: integralet direkte når $f \geq 0$, absoluttverdien når grafen ligger under aksen, og en oppdeling i nullpunktene når funksjonen skifter fortegn. Husk alltid rekkefølgen: nullpunkter først, fortegn etterpå, integrer bit for bit.

For to kurver integrerer du differansen øvre minus nedre, $A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$, der grensene som regel er skjæringspunktene du finner ved å løse $f(x) = g(x)$. Eksemplene er verdt å huske som referanser: parabelen $4 - x^2$ omslutter arealet $\displaystyle \frac{32}{3}$ sammen med $x$-aksen, og mellom $y = x$ og $y = x^2$ ligger det nøyaktig $\displaystyle \frac{1}{6}$.

Det viktigste å ta med videre er skillet mellom integral og areal: integralet er fortegnsbestemt og gir nettoresultatet, arealet er alltid positivt og krever at du håndterer fortegnene selv. I neste delkapittel setter vi alt dette i arbeid på praktiske størrelser — gjennomsnittsverdier, totale endringer og økonomiske overskudd — der areal under og mellom kurver plutselig måles i kroner.