1.2 Bestemte integraler | Matematikk S2

Bestemte integraler og areal under graf.

60 min

19 oppgaver

Bestemt integralAreal under grafAnalysens fundamentalteorem

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Ubestemte integraler

Brukes videre i

1.3Areal 1.4Anvendelser av integrasjon 2.4Modellering med differensiallikninger

Det bestemte integralet

Vi deler intervallet $[a, b]$ i $n$ like deler med bredde $\displaystyle \Delta x = \frac{b - a}{n}$ og tegner et rektangel over hver del. Høyden er en funksjonsverdi i delintervallet. Summen av rektangelarealene kalles en rektangelsum:
$S_n = f(x_1)\,\Delta x + f(x_2)\,\Delta x + \dots + f(x_n)\,\Delta x$

Bruker vi den minste funksjonsverdien i hvert delintervall, får vi en undersum $U_n$ . Bruker vi den største, får vi en oversum $O_n$ . Når $n$ vokser, nærmer undersummen og oversummen seg det samme tallet. Dette tallet er det bestemte integralet:
$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} S_n$

der $a$ er nedre grense og $b$ er øvre grense. Når $f(x) \geq 0$ på $[a, b]$ , er integralet arealet mellom grafen og $x$ -aksen fra $x = a$ til $x = b$ .

✏️Undersum og oversum

Funksjonen $f(x) = x^2$ er gitt på $[0, 2]$ .

a) Regn ut undersummen $U_4$ og oversummen $O_4$ med $4$ rektangler.

b) Tabellen viser summene for flere verdier av $n$ . Hvilket tall nærmer de seg?

$n$	$U_n$	$O_n$
$4$	$1{,}75$	$3{,}75$
$10$	$2{,}28$	$3{,}08$
$100$	$2{,}6268$	$2{,}7068$
$1000$	$2{,}662668$	$2{,}670668$

a) $\displaystyle \Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0{,}5$

Delpunktene er $0$ , $0{,}5$ , $1$ , $1{,}5$ og $2$ . Siden $f$ er voksende på $[0, 2]$ , er den minste verdien i hvert delintervall i venstre endepunkt og den største i høyre endepunkt.

$U_4 = 0{,}5 \cdot (0^2 + 0{,}5^2 + 1^2 + 1{,}5^2) = 0{,}5 \cdot 3{,}5 = 1{,}75$

$O_4 = 0{,}5 \cdot (0{,}5^2 + 1^2 + 1{,}5^2 + 2^2) = 0{,}5 \cdot 7{,}5 = 3{,}75$

Svar: $U_4 = 1{,}75$ og $O_4 = 3{,}75$

b) $\displaystyle O_n - U_n = \big(f(2) - f(0)\big) \cdot \Delta x = 4 \cdot \frac{2}{n} = \frac{8}{n}$ , som går mot $0$ når $n$ vokser.

Kontroll med fundamentalteoremet (neste avsnitt): $\displaystyle \int_0^2 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2{,}667$

Svar: Begge summene nærmer seg $\displaystyle \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3} \approx 2{,}667$ .

📜Analysens fundamentalteorem

Hvis

F(x)

er en antiderivert til

f(x)

, så er:

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b

Teoremet kobler sammen derivasjon og integrasjon. Begrunnelsen står under figuren.

Begrunnelse for fundamentalteoremet

La $f(x) \geq 0$ og la $A(x)$ være arealet under grafen til $f$ fra $a$ til $x$ . Når $x$ øker med en liten $h$ , øker arealet med en smal stripe med bredde $h$ og høyde omtrent $f(x)$ :
$A(x + h) - A(x) \approx f(x) \cdot h$
$\frac{A(x + h) - A(x)}{h} \approx f(x)$

Når $h \to 0$ , blir tilnærmingen eksakt, og venstresiden blir den deriverte:
$A'(x) = f(x)$

Arealfunksjonen er altså en antiderivert til $f$ . To antideriverte til samme funksjon skiller seg bare med en konstant, så $A(x) = F(x) + C$ . Siden $A(a) = 0$ , er $C = -F(a)$ , og
$\int_a^b f(x) \, dx = A(b) = F(b) - F(a)$

Konsekvenser: Vi kan regne ut et bestemt integral eksakt uten rektangelsummer når vi kjenner en antiderivert. Derivasjon og integrasjon er omvendte operasjoner: den deriverte av arealfunksjonen er funksjonen selv.

✏️Beregne bestemt integral

Beregn $\int_1^3 (2x + 1) \, dx$ .

Finn antiderivert:

F(x) = x^2 + x

Bruk fundamentalteoremet:
$\begin{aligned} &\int_1^3 (2x + 1) \, dx = [x^2 + x]_1^3 \\ = {}&(9 + 3) - (1 + 1) \\ = {}&12 - 2 = 10 \end{aligned}$

Svar: $10$

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Bestemt integral som areal

Det bestemte integralet

\displaystyle \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}

vises som det skraverte arealet under grafen. Endre grensene i Integral-kommandoen og se hvordan arealet endrer seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2
a = Integral(f, 0, 2)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Egenskaper

$\int_a^a f(x) \, dx = 0$

$\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$

$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$

$\int_a^b kf(x) \, dx = k\int_a^b f(x) \, dx$

✏️Eksempel med eksponentialfunksjon

Beregn $\int_0^2 e^x \, dx$ .

\int_0^2 e^x \, dx = [e^x]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}39

Svar: $e^2 - 1 \approx 6{,}39$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^2 3x^2 \, dx$ .

Beregn $\int_1^4 2x \, dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Beregn $\int_{-1}^1 x^2 \, dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^1 (x^3 - x) \, dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x} \, dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^{\ln 2} e^x \, dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Beregn $\int_1^4 \sqrt{x} \, dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^1 2xe^{x^2} \, dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int_0^2 \frac{x}{x^2+1} \, dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Vis at $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$ hvis $f$ er en odde funksjon.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Finn $k > 0$ slik at $\int_0^k 2x \, dx = 8$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int_1^2 (x + \frac{1}{x})^2 \, dx$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Gjennomsnittsverdien av $f$ på $[a,b]$ er $\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ . Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = x^2$ på $[0, 3]$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 13

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = 2x + 1$ på intervallet $[0, 3]$ .

Finn undersummen $U_3$ med $n = 3$ delintervaller.

Finn oversummen $O_3$ med $n = 3$ delintervaller.

Regn ut $\displaystyle\int_0^3 (2x + 1)\,dx$ og sammenlikn med svarene i a) og b).

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Funksjonen $A$ er gitt ved $A(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2 + 1)\,dt$ .

Bruk begrunnelsen for fundamentalteoremet til å finne $A'(2)$ uten å regne ut integralet.

Regn ut $A(x)$ og kontroller svaret i a).

Løs oppgaven

Oppsummering

Læringspunkter:
- Analysens fundamentalteorem knytter integrasjon og derivasjon sammen: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ der $F'(x) = f(x)$ .
- Et bestemt integral er et tall (ikke en funksjon), og integrasjonskonstanten $C$ faller bort.
- Integralet kan være negativt hvis grafen ligger under $x$ -aksen.
- For en odde funksjon er $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$ på grunn av symmetri.
- Det bestemte integralet er grenseverdien av rektangelsummer: undersum og oversum nærmer seg samme tall når antall rektangler vokser.
- Når integranden er en kjernederivert, for eksempel $2xe^{x^2}$ , finner vi en antiderivert og kontrollerer med kjerneregelen.

Nøkkelbegrep	Forklaring
Bestemt integral	$\int_a^b f(x)\,dx$ — et tall som måler fortegnsbestemt areal
Integrasjonsgrenser	$a$ (nedre) og $b$ (øvre)
Fundamentalteoremet	$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Innsettingsnotasjon	$\big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$

Viktige formler:

\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)

\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx, \qquad \int_a^c = \int_a^b + \int_b^c

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.