1.2 Bestemte integraler | Matematikk S2

Bestemte integraler og areal under graf.

60 min

17 oppgaver

Bestemt integralAreal under grafAnalysens fundamentalteorem

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Ubestemte integraler

Brukes videre i

1.3Areal mellom kurver 1.4Integrasjonsmetoder

Det bestemte integralet

Et bestemt integral beregner "summen" av funksjonsverdier over et intervall:
$\int_a^b f(x) \, dx$

der $a$ er nedre grense og $b$ er øvre grense.

📜Analysens fundamentalteorem

Hvis

F(x)

er en antiderivert til

f(x)

, så er:

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b

Dette kobler sammen derivasjon og integrasjon!

✏️Beregne bestemt integral

Beregn $\int_1^3 (2x + 1) \, dx$ .

Finn antiderivert:

F(x) = x^2 + x

Bruk fundamentalteoremet:
$\int_1^3 (2x + 1) \, dx = [x^2 + x]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10$

📊Utforsk: Bestemt integral som areal

Det bestemte integralet $\displaystyle \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}$ vises som det skraverte arealet under grafen. Endre grensene i Integral-kommandoen og se hvordan arealet endrer seg.

Egenskaper

$\int_a^a f(x) \, dx = 0$

$\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$

$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$

$\int_a^b kf(x) \, dx = k\int_a^b f(x) \, dx$

✏️Eksempel med eksponentialfunksjon

Beregn $\int_0^2 e^x \, dx$ .

\int_0^2 e^x \, dx = [e^x]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}39

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^2 3x^2 \, dx$ .

Beregn $\int_1^4 2x \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Beregn $\int_{-1}^1 x^2 \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^1 (x^3 - x) \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x} \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^{\ln 2} e^x \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Beregn $\int_1^4 \sqrt{x} \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Beregn $\int_0^1 2xe^{x^2} \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int_0^2 \frac{x}{x^2+1} \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Vis at $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$ hvis $f$ er en odde funksjon.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Finn $k$ slik at $\int_0^k 2x \, dx = 8$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int_1^2 (x + \frac{1}{x})^2 \, dx$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Gjennomsnittsverdien av $f$ på $[a,b]$ er $\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ . Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = x^2$ på $[0, 3]$ .

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Læringspunkter:
- Analysens fundamentalteorem knytter integrasjon og derivasjon sammen: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ der $F'(x) = f(x)$ .
- Et bestemt integral er et tall (ikke en funksjon), og integrasjonskonstanten $C$ faller bort.
- Integralet kan være negativt hvis grafen ligger under $x$ -aksen.
- For en odde funksjon er $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$ på grunn av symmetri.
- Substitusjon fungerer også i bestemte integraler — husk å bytte grenser eller gå tilbake til $x$ .

Nøkkelbegrep	Forklaring
Bestemt integral	$\int_a^b f(x)\,dx$ — et tall som måler fortegnsbestemt areal
Integrasjonsgrenser	$a$ (nedre) og $b$ (øvre)
Fundamentalteoremet	$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Innsettingsnotasjon	$\big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$

Viktige formler:

\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)

\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx, \qquad \int_a^c = \int_a^b + \int_b^c

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.