1.1 Ubestemte integraler | Matematikk S2

Antiderivasjon og integrasjonsregler.

55 min

17 oppgaver

AntiderivasjonUbestemt integralIntegrasjonskonstantIntegrasjonsregler

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.2Bestemte integraler 4.6Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

Hva er et integral?

Integrasjon er den omvendte operasjonen av derivasjon. Hvis vi vet den deriverte $f'(x)$ , kan vi finne tilbake til $f(x)$ ved integrasjon.

En antiderivert (eller primitiv funksjon) til $f(x)$ er en funksjon $F(x)$ slik at $F'(x) = f(x)$ .

Ubestemt integral

f(x)

📜Grunnleggende integrasjonsregler

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int e^{kx} \, dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C \quad (k \neq 0)$

$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

$\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$

$\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$

Hver regel kontrolleres ved å derivere høyre side. For eksempel er $\displaystyle \left(\frac{1}{k}e^{kx}\right)' = \frac{1}{k} \cdot k e^{kx} = e^{kx}$ .

✏️Enkle integraler

Beregn:
a) $\int x^3 \, dx$
b) $\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \, dx$
c) $\int (3x^2 - 2x + 5) \, dx$

a) $\displaystyle \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C$

b) $\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

c) $\displaystyle \int (3x^2 - 2x + 5) \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - x^2 + 5x + C$

Svar: a) $\displaystyle \frac{x^4}{4} + C$ b) $\displaystyle -\frac{1}{x} + C$ c) $x^3 - x^2 + 5x + C$

✏️Eksponential- og logaritmefunksjoner

Beregn $\displaystyle \int (e^x + \frac{2}{x}) \, dx$ .

\int (e^x + \frac{2}{x}) \, dx = \int e^x \, dx + 2\int \frac{1}{x} \, dx

= e^x + 2\ln|x| + C

Svar: $e^x + 2\ln|x| + C$

Fordypning (utenfor læreplanen)

Dette stoffet hører ikke til læreplanen i matematikk S2 (MAT04-02). Integrasjon ved substitusjon hører til matematikk R2. I S2 holder det å kunne regelen $\displaystyle \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ , som du finner i regelboksen over. Du trenger det ikke til S2-eksamen.

Substitusjon (innsetting)

For å integrere sammensatte funksjoner bruker vi substitusjon:
$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$

der $u = g(x)$ og $du = g'(x) \, dx$ .

✏️Substitusjon

Beregn $\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx$ .

u = x^2

. Da er

du = 2x \, dx

$\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C$

Svar: $e^{x^2} + C$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Beregn $\int x^5 \, dx$ .

Beregn $\int 4x^3 \, dx$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Beregn $\int (2x + 3) \, dx$ .

Beregn $\int (x^2 - 4x + 1) \, dx$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Beregn $\int \sqrt{x} \, dx$ .

Beregn $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Beregn $\int 3e^x \, dx$ .

Beregn $\int 2^x \, dx$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int \frac{3}{x} \, dx$ .

Beregn $\displaystyle \int (e^x - \frac{1}{x}) \, dx$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn $f(x)$ hvis $f'(x) = 2x - 1$ og $f(0) = 3$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

(Fordypning) Løs oppgavene:

Bruk substitusjon til å beregne $\int 6x(x^2+1)^2 \, dx$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Beregn $\int e^{3x} \, dx$ .

📝Oppgave 9

(Fordypning) Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx$ .

📝Oppgave 10

(Fordypning) Løs oppgavene:

Beregn $\int x\sqrt{x+1} \, dx$ med substitusjon $u = x+1$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Verifiser at $\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C$ ved å derivere høyre side.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Hastigheten til en partikkel er $v(t) = 3t^2 - 2t$ m/s. Finn posisjonen $s(t)$ hvis $s(0) = 4$ m.

Løs oppgaven

Oppsummering

Læringspunkter:
- Et ubestemt integral $\int f(x)\,dx$ er mengden av alle antideriverte til $f$ , og skrives $F(x) + C$ der $F'(x) = f(x)$ .
- Potensregelen: $\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ for $n \neq -1$ .
- Spesialtilfeller: $\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$ og $\int e^x\,dx = e^x + C$ .
- Substitusjon (fordypning, R2) brukes når integranden inneholder en indre funksjon og dens deriverte.
- En initialbetingelse, f.eks. $f(0) = 3$ , bestemmer konstanten $C$ .

Nøkkelbegrep	Forklaring
Antiderivert	Funksjon $F$ slik at $F'(x) = f(x)$
Integrasjonskonstant $C$	Vilkårlig konstant — deriverte av en konstant er null
Integrand	Funksjonen som skal integreres
Substitusjon	Variabelbytte $u = g(x)$ , $du = g'(x)\,dx$

Viktige formler:

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C, \qquad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

\int \big(af(x) + bg(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.