1.1 Ubestemte integraler

Når du kjenner farten, men vil vite veien

Tenk deg at du jobber som analytiker i en norsk nettbutikk. Økonomiavdelingen har regnet ut at marginalkostnaden — altså hvor mye kostnadene øker for hver ekstra enhet dere produserer — følger modellen $K'(x) = 3x^2 - 2x + 5$ kroner per enhet. Det er nyttig informasjon, men sjefen din spør om noe annet: «Hva er den totale kostnadsfunksjonen $K(x)$?»

Du kjenner altså den deriverte, men trenger funksjonen selv. Dette er det motsatte av alt du gjorde i S1 og første del av S2, der du startet med en funksjon og fant den deriverte. Nå skal vi gå baklengs, og den operasjonen kalles integrasjon. Integrasjon er rett og slett den omvendte operasjonen av derivasjon: hvis vi vet $f'(x)$, kan vi finne tilbake til $f(x)$.

Funksjonen vi leter etter, har et eget navn. En antiderivert (eller primitiv funksjon) til $f(x)$ er en funksjon $F(x)$ slik at $F'(x) = f(x)$. Hvis $f(x) = 2x$, er $F(x) = x^2$ en antiderivert, fordi $(x^2)' = 2x$. Men legg merke til noe viktig: $x^2 + 7$ er også en antiderivert, og det samme er $x^2 - 100$. Den deriverte av en konstant er jo null, så konstanten forsvinner i derivasjonen — og dermed kan vi aldri vite hvilken konstant som «var der» før vi deriverte.

I dette kapittelet skal vi lære notasjonen og grunnreglene for integrasjon, og til slutt teknikken substitusjon. Da kan du svare sjefen din — på kroner og øre.

Det ubestemte integralet og grunnreglene

Matematikere har en egen skrivemåte for «alle antideriverte til $f$». Det ubestemte integralet av $f(x)$ skrives

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

der $F(x)$ er en antiderivert til $f(x)$ og $C$ er en vilkårlig konstant som kalles integrasjonskonstanten. Tegnet $\int$ er integraltegnet, funksjonen $f(x)$ kalles integranden, og $dx$ forteller hvilken variabel vi integrerer med hensyn på. Konstanten $C$ må alltid være med, nettopp fordi $F(x) + C$ har samme deriverte som $F(x)$ uansett hvilken verdi $C$ har.

Hvordan integrerer vi i praksis? Den viktigste regelen er potensregelen: $\displaystyle \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ for $n \neq -1$. Vi øker eksponenten med én og deler på den nye eksponenten. For eksempel er $\displaystyle \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C$, og skriver vi $\displaystyle \frac{1}{x^2}$ som $x^{-2}$, får vi $\displaystyle \int \frac{1}{x^2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.

Unntaket $n = -1$ har sin egen regel: $\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. Eksponentialfunksjonen er integrasjonens drømmekunde: $\int e^x\,dx = e^x + C$, og for en generell vekstfaktor gjelder $\displaystyle \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

I tillegg er integrasjon lineær: konstanter kan settes utenfor, $\int k \cdot f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$, og summer kan integreres ledd for ledd, $\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$. Dermed kan du ta marginalkostnaden fra introduksjonen ledd for ledd: $\int (3x^2 - 2x + 5)\,dx = x^3 - x^2 + 5x + C$. Og et blandet uttrykk som $\displaystyle \int \big(e^x + \frac{2}{x}\big)\,dx$ blir $e^x + 2\ln|x| + C$.

Substitusjon og den manglende konstanten

Grunnreglene tar oss langt, men hva med sammensatte funksjoner? Si at en kollega gir deg integralet $\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$ — kanskje fra en modell der vekstfarten avhenger av $x^2$. Ingen av grunnreglene passer direkte. Da bruker vi substitusjon (innsetting), som bygger på mønsteret

$$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$$

der vi setter $u = g(x)$ og dermed $du = g'(x)\,dx$. Trikset er å lete etter en indre funksjon hvis deriverte også står i integranden. I eksempelet vårt setter vi $u = x^2$, som gir $du = 2x\,dx$ — og se, faktoren $2x\,dx$ står der allerede! Integralet kollapser til $\int e^u\,du = e^u + C = e^{x^2} + C$. Substitusjon er rett og slett kjerneregelen baklengs.

Tilbake til sjefen din og marginalkostnaden $K'(x) = 3x^2 - 2x + 5$. Du har funnet $K(x) = x^3 - x^2 + 5x + C$, men hva er $C$? Her trenger du én opplysning til, en initialbetingelse. Regnskapet viser at de faste kostnadene — det bedriften betaler selv uten produksjon — er $K(0) = 1000$ kroner. Setter du inn $x = 0$, får du $0 - 0 + 0 + C = 1000$, altså $C = 1000$. Den fullstendige kostnadsfunksjonen er

$$K(x) = x^3 - x^2 + 5x + 1000$$

Slik fungerer det generelt: det ubestemte integralet gir en hel familie av funksjoner, og en initialbetingelse som $f(0) = 3$ plukker ut den ene som passer virkeligheten. Det er denne kombinasjonen — integrer først, bestem $C$ etterpå — du kommer til å bruke igjen og igjen, både i økonomimodeller og i differensiallikningene senere i boka.

Fra rate til funksjon

Du startet med et spørsmål fra sjefen: marginalkostnaden var kjent, men totalkostnaden ukjent. Nå har du verktøyet som løser slike problemer. Integrasjon er derivasjon baklengs, og en antiderivert til $f$ er en funksjon $F$ med $F'(x) = f(x)$. Det ubestemte integralet $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ beskriver hele familien av antideriverte, og integrasjonskonstanten $C$ er der fordi deriverte av konstanter er null.

Verktøykassen din består av potensregelen $\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ for $n \neq -1$, spesialtilfellene $\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$ og $\int e^x\,dx = e^x + C$, og lineariteten som lar deg integrere ledd for ledd med konstanter utenfor. Når integranden er sammensatt, leter du etter en indre funksjon og dens deriverte og bruker substitusjonen $u = g(x)$, $du = g'(x)\,dx$.

Til slutt så du hvordan en initialbetingelse — for eksempel den faste kostnaden $K(0) = 1000$ — bestemmer konstanten $C$ og gir én bestemt funksjon. Den arbeidsflyten, integrer og bestem konstanten, blir helt sentral når vi i neste delkapittel gir integralet grenser og lar det regne ut konkrete tall: bestemte integraler.