Tilbake
4.6
Alle fag for VG3

4.6 Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

Tetthetsfunksjoner, kumulativ fordeling, uniform og eksponentialfordeling.

60 min
9 oppgaver
TetthetsfunksjonKumulativ fordelingUniform fordelingEksponentialfordeling
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Fra diskrete til kontinuerlige fordelinger

En diskret stokastisk variabel kan bare ta et tellbart antall verdier (1, 2, 3, ...). Men mange størrelser er kontinuerlige - de kan ta alle reelle verdier i et intervall.

Eksempler på kontinuerlige variabler:
- Høyde til en tilfeldig valgt person (f.eks. mellom 140 og 220 cm)
- Ventetid til neste buss
- Temperatur en tilfeldig dag
- Feil i en produksjonsprosess

For en kontinuerlig stokastisk variabel XX gir det ikke mening å snakke om P(X=x)P(X = x) for en enkelt verdi - sannsynligheten er alltid null. I stedet snakker vi om sannsynligheter for intervaller:

P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx

Der f(x)f(x) er tetthetsfunksjonen (eng. probability density function, pdf) til XX.

Tetthetsfunksjon (pdf)
En funksjon f(x)f(x) er en tetthetsfunksjon for en stokastisk variabel XX dersom:

1. f(x)≥0f(x) \geq 0 for alle xx (ikke-negativ)
2. ∫−∞∞f(x) dx=1\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1 (total sannsynlighet er 1)

Sannsynligheten for at XX faller i intervallet [a,b][a, b] er:
P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx

Geometrisk tolkning: P(a≤X≤b)P(a \leq X \leq b) er arealet under grafen til f(x)f(x) mellom aa og bb.

Merk: f(x)f(x) er ikke en sannsynlighet! f(x)f(x) kan godt være større enn 1 - det er arealet som gir sannsynligheten.

Forventningsverdi og varians:
E(X)=∫−∞∞x⋅f(x) dxE(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\, dx
Var(X)=∫−∞∞x2⋅f(x) dx−[E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x)\, dx - [E(X)]^2 = E(X^2) - [E(X)]^2

Kumulativ fordelingsfunksjon (cdf)
Den kumulative fordelingsfunksjonen (eng. cumulative distribution function, cdf) til en stokastisk variabel XX er:

F(x)=P(X≤x)=∫−∞xf(t) dtF(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt

Egenskaper:
- F(x)F(x) er ikke-avtagende: x1<x2⇒F(x1)≤F(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow F(x_1) \leq F(x_2)
- F(−∞)=0F(-\infty) = 0 og F(∞)=1F(\infty) = 1
- F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) (tetthetsfunksjonen er derivert av cdf)

Bruk til sannsynlighetsberegning:
P(a≤X≤b)=F(b)−F(a)P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)
P(X>a)=1−F(a)P(X > a) = 1 - F(a)

Cdf er nyttig fordi den tillater oss å slå opp sannsynligheter direkte (f.eks. fra tabeller for normalfordelingen).

Uniform fordeling
En stokastisk variabel XX er uniformt fordelt på intervallet [a,b][a, b], skrevet X∼U(a,b)X \sim U(a, b), dersom tetthetsfunksjonen er:

f(x)={1b−afor a≤x≤b0ellersf(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & \text{for } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{ellers} \end{cases}

Alle verdier i [a,b][a, b] er like «tette» - den uniforme fordelingen beskriver fullstendig tilfeldighet.

Kumulativ fordelingsfunksjon:
F(x)={0x<ax−ab−aa≤x≤b1x>bF(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ \dfrac{x - a}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 1 & x > b \end{cases}

Forventningsverdi og varians:
E(X)=a+b2,Var(X)=(b−a)212E(X) = \frac{a + b}{2}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}

Eksponentialfordeling
En stokastisk variabel XX er eksponentialfordelt med parameter λ>0\lambda > 0, skrevet X∼Exp(λ)X \sim \text{Exp}(\lambda), dersom tetthetsfunksjonen er:

f(x)={λe−λxx≥00x<0f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}

Eksponentialfordelingen brukes til å modellere ventetider mellom hendelser (f.eks. tid til neste telefonsamtale, levetid til en komponent).

Kumulativ fordelingsfunksjon:
F(x)=1−e−λxfor x≥0F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \quad \text{for } x \geq 0

Dermed: P(X>t)=e−λtP(X > t) = e^{-\lambda t} (overlevelsessannsynlighet)

Forventningsverdi og varians:
E(X)=1λ,Var(X)=1λ2E(X) = \frac{1}{\lambda}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}

Hukommelsesløshet: P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) - en eksponentialfordelt variabel «husker ikke» fortiden.

✏️Tetthetsfunksjon og sannsynlighetsberegning

La f(x)={cx2for 0≤x≤30ellersf(x) = \begin{cases} cx^2 & \text{for } 0 \leq x \leq 3 \\ 0 & \text{ellers} \end{cases}.

(a) Bestem cc slik at ff er en gyldig tetthetsfunksjon.
(b) Finn P(1≤X≤2)P(1 \leq X \leq 2).
(c) Finn E(X)E(X).

(a) Kravet er ∫03cx2 dx=1\int_0^3 cx^2\, dx = 1:
c[x33]03=c⋅273=9c=1  ⟹  c=19c\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = c \cdot \frac{27}{3} = 9c = 1 \implies c = \frac{1}{9}

(b)
P(1≤X≤2)=∫12x29 dx=19[x33]12=19⋅8−13=727≈0,259P(1 \leq X \leq 2) = \int_1^2 \frac{x^2}{9}\, dx = \frac{1}{9}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{1}{9} \cdot \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{27} \approx 0{,}259

(c)
E(X)=∫03x⋅x29 dx=19∫03x3 dx=19[x44]03=19⋅814=94=2,25E(X) = \int_0^3 x \cdot \frac{x^2}{9}\, dx = \frac{1}{9}\int_0^3 x^3\, dx = \frac{1}{9}\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^3 = \frac{1}{9} \cdot \frac{81}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25

📊Utforsk: Tetthetsfunksjon og sannsynlighet som areal

Eksponentialfordelingen med λ=0,5\lambda = 0{,}5: tettheten f(x)=0,5e−0,5xf(x) = 0{,}5e^{-0{,}5x}. Det skraverte arealet er P(0≤X≤2)=1−e−1≈0,63P(0 \le X \le 2) = 1 - e^{-1} \approx 0{,}63. For kontinuerlige fordelinger er sannsynlighet alltid areal under tetthetskurven.

✏️Eksponentialfordeling - ventetid

Anrop til et kundesenter ankommer i gjennomsnitt 4 per time. Ventetiden XX mellom to påfølgende anrop er eksponentialfordelt med λ=4\lambda = 4.

(a) Finn sannsynligheten for at det tar mer enn 30 minutter til neste anrop.
(b) Finn P(X≤16)\displaystyle P(X \leq \frac{1}{6}) (innen 10 minutter).
(c) Finn forventet ventetid.

(a) 30 minutter =0,5= 0{,}5 timer:
P(X>0,5)=e−4⋅0,5=e−2≈0,135P(X > 0{,}5) = e^{-4 \cdot 0{,}5} = e^{-2} \approx 0{,}135

Det er ca. 13,5 % sannsynlighet for at det tar mer enn 30 minutter.

(b) 10 minutter =16\displaystyle = \frac{1}{6} time:
P ⁣(X≤16)=1−e−4⋅1/6=1−e−2/3≈1−0,513=0,487P\!\left(X \leq \tfrac{1}{6}\right) = 1 - e^{-4 \cdot 1/6} = 1 - e^{-2/3} \approx 1 - 0{,}513 = 0{,}487

(c)
E(X)=1λ=14=0,25 timer=15 minutterE(X) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \text{ timer} = 15 \text{ minutter}

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

a

Avgjør om f(x)={2xfor 0≤x≤10ellersf(x) = \begin{cases} 2x & \text{for } 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{ellers} \end{cases} er en gyldig tetthetsfunksjon. Begrunn svaret.

b

Finn P(0,3≤X≤0,7)P(0{,}3 \leq X \leq 0{,}7) for tetthetsfunksjonen i a).

c

Finn E(X)E(X) og Var(X)\text{Var}(X) for tetthetsfunksjonen i a).

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

a

En tilfeldig variabel X∼U(2,8)X \sim U(2, 8). Finn E(X)E(X), Var(X)\text{Var}(X) og P(3≤X≤6)P(3 \leq X \leq 6).

b

Finn den kumulative fordelingsfunksjonen F(x)F(x) for X∼U(2,8)X \sim U(2, 8) og bruk den til å beregne P(X>5)P(X > 5).

c

La f(x)={cx(1−x)0≤x≤10ellersf(x) = \begin{cases} cx(1-x) & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{ellers} \end{cases}. Bestem cc og finn E(X)E(X).

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

a

En lyspære har levetid X∼Exp(0,001)X \sim \text{Exp}(0{,}001) (målt i timer). Finn forventet levetid og sannsynligheten for at lyspæren varer mer enn 1500 timer.

b

Finn P(500≤X≤2000)P(500 \leq X \leq 2000) for lyspæren i a).

c

Forklar hva det vil si at eksponentialfordelingen er «hukommelsesløs». Gi et eksempel.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

a

La f(x)={34(1−x2)−1≤x≤10ellers\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{3}{4}(1-x^2) & -1 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{ellers} \end{cases}. Verifiser at ff er en gyldig tetthetsfunksjon.

b

Finn den kumulative fordelingsfunksjonen F(x)F(x) for f(x)={6x(1−x)0≤x≤10ellersf(x) = \begin{cases} 6x(1-x) & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{ellers} \end{cases} og bruk den til å finne P(X>0,75)P(X > 0{,}75).

c

Beregn Var(X)\text{Var}(X) for f(x)=6x(1−x)f(x) = 6x(1-x), 0≤x≤10 \leq x \leq 1. (Hint: Finn E(X)E(X) og E(X2)E(X^2) ved integrasjon.)

Løs oppgavenTren

Oppsummering

Tetthetsfunksjon (pdf):
- f(x)≥0f(x) \geq 0 og ∫−∞∞f(x) dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1
- P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx = areal under kurven

Kumulativ fordelingsfunksjon (cdf):
- F(x)=P(X≤x)=∫−∞xf(t) dtF(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt
- P(a≤X≤b)=F(b)−F(a)P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)
- F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)

Uniform fordeling U(a,b)U(a,b): E(X)=a+b2\displaystyle E(X) = \frac{a+b}{2}, Var(X)=(b−a)212\displaystyle \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}

Eksponentialfordeling Exp(λ)\text{Exp}(\lambda): E(X)=1λ\displaystyle E(X) = \frac{1}{\lambda}, P(X>t)=e−λtP(X > t) = e^{-\lambda t}, hukommelsesløs

Tips til eksamen: Husk at du alltid kan utlede cdf ved integrasjon av pdf, og finne sannsynligheter via cdf. Kontroller alltid at tetthetsfunksjonens integral er 1.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.