4.4 Forventningsverdi og varians

Regneregler for E(X) og Var(X), lineærtransformasjoner og standardisering.

55 min

8 oppgaver

ForventningsverdiVariansStandardiseringLineærtransformasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Sannsynlighetsfordelinger

Brukes videre i

4.5Simulering og stokastiske eksperimenter 4.6Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

Regneregler for forventningsverdi og varians

I kapittel 4.1 ble forventningsverdi og varians introdusert. I dette kapitlet går vi dypere inn i regnereglene og ser hvordan de brukes til å analysere sammensatte situasjoner - for eksempel summer av stokastiske variabler, lineærtransformasjoner og standardisering.

Forventningsverdi og varians er de to viktigste beskrivende størrelsene for en sannsynlighetsfordeling:
- Forventningsverdien $E(X) = \mu$ forteller oss senteret i fordelingen - det langsiktige gjennomsnittet.
- Variansen $\text{Var}(X) = \sigma^2$ forteller oss om spredningen rundt senteret.
- Standardavviket $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ gir spredningen i samme enhet som $X$ .

Vi husker grunnformlene:
$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)$
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

📜Regneregler for forventningsverdi

For stokastiske variabler $X$ og $Y$ , og konstanter $a$ , $b$ og $c$ :

Regel 1: $E(c) = c$ (forventningsverdien til en konstant er konstanten selv)

Regel 2: $E(aX + b) = aE(X) + b$ (linearitet)

Regel 3: $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ (additivitet - gjelder alltid, også for avhengige variabler)

Regel 4: $E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c$

Disse reglene sier at forventningsverdien er en lineær operator: vi kan flytte konstanter ut og splitte summer.

Merknad: $E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)$ gjelder bare dersom $X$ og $Y$ er uavhengige.

📜Regneregler for varians

For en stokastisk variabel

X

og konstanter

a

b

Regel 1: $\text{Var}(c) = 0$ (en konstant har ingen spredning)

Regel 2: $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Merk at konstanten $b$ ikke påvirker variansen. Å legge til en konstant forskyver hele fordelingen, men endrer ikke spredningen.

For uavhengige stokastiske variabler $X$ og $Y$ :

Regel 3: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Regel 4: $\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Merk at variansen adderes også ved subtraksjon! Usikkerheten øker uansett om vi adderer eller subtraherer to uavhengige variabler.

Generelt for uavhengige $X$ og $Y$ :
$\text{Var}(aX + bY + c) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$

Standardisering av en stokastisk variabel

X

✏️Forventningsverdi og varians for en lineærkombinasjon

En bedrift selger to produkter. Antall solgte enheter per dag er $X$ (produkt A) og $Y$ (produkt B), med $E(X) = 30$ , $E(Y) = 50$ , $\text{Var}(X) = 16$ og $\text{Var}(Y) = 25$ . Antall solgte enheter er uavhengige. Fortjenesten per enhet er 40 kr og 25 kr, og bedriften har faste kostnader på 500 kr per dag. La $F$ være total daglig fortjeneste. Finn $E(F)$ , $\text{Var}(F)$ og $\text{SD}(F)$ .

Fortjeneste:

F = 40X + 25Y - 500

Forventningsverdi:
$E(F) = 40E(X) + 25E(Y) - 500 = 40 \cdot 30 + 25 \cdot 50 - 500 = 1200 + 1250 - 500 = 1950 \text{ kr}$

Varians (bruker $\text{Var}(aX + bY + c) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$ for uavhengige):
$\text{Var}(F) = 40^2 \cdot 16 + 25^2 \cdot 25 = 1600 \cdot 16 + 625 \cdot 25 = 25\,600 + 15\,625 = 41\,225$

Standardavvik:
$\text{SD}(F) = \sqrt{41\,225} \approx 203{,}0 \text{ kr}$

Konstanten $-500$ påvirker forventningen, men ikke variansen. Bedriften kan forvente 1950 kr i daglig fortjeneste med et standardavvik på ca. 203 kr.

Tolkning av standardavvik og Tsjebysjevs ulikhet

Standardavviket gir oss en praktisk tommelfingerregel for spredning. For mange vanlige fordelinger gjelder:
- Ca. 68 % av verdiene ligger innenfor $\mu \pm \sigma$
- Ca. 95 % av verdiene ligger innenfor $\mu \pm 2\sigma$
- Ca. 99{,}7 % av verdiene ligger innenfor $\mu \pm 3\sigma$

Denne 68-95-99,7-regelen gjelder eksakt for normalfordelingen, men er en god tilnærming for mange andre «klokkeformede» fordelinger.

For alle fordelinger (uansett form) har vi Tsjebysjevs ulikhet:

$P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Det betyr at minst $\displaystyle 1 - \frac{1}{k^2}$ av sannsynligheten ligger innenfor $k$ standardavvik fra gjennomsnittet. For $k = 2$ gir dette minst 75 %, og for $k = 3$ minst 88,9 %.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

La $X$ være en stokastisk variabel med $E(X) = 10$ og $\text{Var}(X) = 4$ . Finn $E(3X + 7)$ og $\text{Var}(3X + 7)$ .

Finn $E(2 - 5X)$ og $\text{Var}(2 - 5X)$ .

Standardiser $X$ . Det vil si, finn $\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ og bekreft at $E(Z) = 0$ og $\text{Var}(Z) = 1$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

To uavhengige stokastiske variabler har $E(X) = 5$ , $\text{Var}(X) = 3$ , $E(Y) = 8$ , $\text{Var}(Y) = 7$ . Finn $E(X + Y)$ , $\text{Var}(X + Y)$ og $\text{SD}(X + Y)$ .

Finn $E(X - Y)$ , $\text{Var}(X - Y)$ og $\text{SD}(X - Y)$ .

Forklar hvorfor $\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X + Y)$ når $X$ og $Y$ er uavhengige.

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

En kaffemaskin fyller kopper med en mengde kaffe $X$ (i ml) der $E(X) = 200$ og $\text{SD}(X) = 5$ . Kaffebønner koster bedriften $0{,}10$ kr per ml og en kopp selges for 35 kr. La $F$ = fortjeneste per kopp. Finn $E(F)$ og $\text{SD}(F)$ .

Bedriften selger 100 kopper per dag (uavhengige fyllinger). Finn $E(T)$ og $\text{SD}(T)$ for total daglig fortjeneste $T$ .

En elev fikk 72 poeng på matematikk ( $\mu = 60$ , $\sigma = 8$ ) og 85 poeng på norsk ( $\mu = 75$ , $\sigma = 12$ ). Standardiser begge resultatene og avgjør hvilken prøve eleven klarte seg relativt best på.

Oppsummering

Regneregler for forventningsverdi:
- $E(aX + b) = aE(X) + b$ (lineær)
- $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ (gjelder alltid)

Regneregler for varians (uavhengige variabler):
- $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$ (konstant $b$ påvirker ikke)
- $\text{Var}(X \pm Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ (adderes alltid!)
- $\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$

Standardisering:
- $\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ gir $E(Z) = 0$ og $\text{Var}(Z) = 1$
- Brukes for å sammenligne verdier fra ulike fordelinger

Tips til eksamen: Vær nøye med å skille mellom standardavvik og varians i beregninger. Husk at $\text{SD}(aX) = |a| \cdot \text{SD}(X)$ , mens $\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$ .

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.