4.1 Sannsynlighetsfordelinger | Matematikk S2

Stokastiske variabler, forventningsverdi, varians, regneregler og standardisering.

55 min

25 oppgaver

Stokastisk variabelForventningsverdiVarians og standardavvikRegnereglerStandardisering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 25 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

4.2Hypergeometrisk og binomisk fordeling 4.5Simulering og stokastiske eksperimenter 4.6Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

Stokastiske variabler

I mange situasjoner er utfallet av et forsøk et tall - for eksempel antall riktige på en prøve, antall kunder i en butikk, eller gevinsten i et spill. Slike tallverdier som er bestemt av tilfeldigheter, kalles stokastiske variabler.

En stokastisk variabel er en variabel som kan ta ulike verdier med ulike sannsynligheter. Vi bruker vanligvis store bokstaver ( $X$ , $Y$ , $Z$ ) for stokastiske variabler.

Diskret stokastisk variabel

X

✏️Sannsynlighetsfordeling for terningkast

En vanlig terning kastes. La $X$ være antall øyne. Sett opp sannsynlighetsfordelingen.

X

kan ta verdiene

1, 2, 3, 4, 5, 6

$x$	$P(X = x)$
1	$\displaystyle \frac{1}{6}$
2	$\displaystyle \frac{1}{6}$
3	$\displaystyle \frac{1}{6}$
4	$\displaystyle \frac{1}{6}$
5	$\displaystyle \frac{1}{6}$
6	$\displaystyle \frac{1}{6}$

Sjekk:

\displaystyle 6 \cdot \frac{1}{6} = 1

Dette er en uniform fordeling - alle utfall er like sannsynlige.
Svar:

\displaystyle P(X = x) = \frac{1}{6}

for

x = 1, 2, \ldots, 6

(uniform fordeling).

Forventningsverdi

X

✏️Forventningsverdi

Et lotteri har følgende gevinster:

Gevinst (kr)	0	50	100	500
Sannsynlighet	0,60	0,25	0,10	0,05

Et lodd koster 40 kr. Hva er forventet gevinst? Er lotteriet «rettferdig»?

X

= gevinst.

$\begin{aligned} &E(X) \\ = {}&0 \cdot 0{,}60 + 50 \cdot 0{,}25 + 100 \cdot 0{,}10 + 500 \cdot 0{,}05 \end{aligned}$
$= 0 + 12{,}50 + 10 + 25 = 47{,}50 \text{ kr}$

Forventet nettogevinst: $47{,}50 - 40 = 7{,}50$ kr.

Lotteriet er ikke «rettferdig» (forventet gevinst $\neq$ pris). I gjennomsnitt tjener spilleren 7,50 kr per lodd. (I praksis har arrangøren et underskudd og ville satt prisen høyere eller justert sannsynlighetene.)

Svar: Forventet gevinst er $47{,}50$ kr, altså $7{,}50$ kr mer enn prisen. Lotteriet er ikke rettferdig: i gjennomsnitt taper arrangøren $7{,}50$ kr per lodd.

📜Regneregler for forventningsverdi

For stokastiske variabler

X

Y

og konstanter

a

b

$E(aX + b) = aE(X) + b$

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Forventningsverdien er lineær - vi kan flytte konstanter ut og splitte summer.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

To mynter kastes. La $X$ være antall mynt. Sett opp sannsynlighetsfordelingen til $X$ .

Finn $E(X)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn forventningsverdien til $X$ med fordeling: $P(X=1) = 0{,}3$ , $P(X=2) = 0{,}5$ , $P(X=3) = 0{,}2$ .

Sjekk at sannsynlighetene summerer til 1.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Et spill gir gevinsten $2X + 10$ kroner, der $X$ har forventningsverdi $E(X) = 3$ . Hva er forventet gevinst?

Løs oppgaven

Varians og standardavvik

X

✏️Beregne varians og standardavvik

En terning kastes. Finn variansen og standardavviket til antall øyne $X$ .

Vi har allerede

E(X)

E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5

Finn $E(X^2)$ :
$\begin{aligned} &E(X^2) \\ = {}&1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6} \end{aligned}$
$= \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15{,}17$

Bruk formelen:
$\begin{aligned} \text{Var}(X) &= E(X^2) - [E(X)]^2 \\ &= \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 \\ &= \frac{91}{6} - \frac{49}{4} \\ &= \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \\ &\approx 2{,}92 \end{aligned}$

Standardavvik:
$\sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1{,}71$

Svar: $\displaystyle \text{Var}(X) = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$ og $\sigma \approx 1{,}71$

📜Regneregler for varians

For en stokastisk variabel

X

og konstanter

a

b

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Merk: Konstanten $b$ påvirker ikke variansen (den forskyver bare fordelingen, men endrer ikke spredningen).

For uavhengige stokastiske variabler $X$ og $Y$ :
$\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

$\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Variansene adderes også ved subtraksjon. Generelt gjelder for uavhengige $X$ og $Y$ :

$\text{Var}(aX + bY + c) = a^2\,\text{Var}(X) + b^2\,\text{Var}(Y)$

✏️Regneregler i praksis

X

har

E(X) = 5

\text{Var}(X) = 4

. Finn

E(Y)

\text{Var}(Y)

der

Y = 3X - 2

Forventningsverdi:

E(Y) = E(3X - 2) = 3E(X) - 2 = 3 \cdot 5 - 2 = 13

Varians:
$\text{Var}(Y) = \text{Var}(3X - 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \cdot 4 = 36$

Standardavvik:
$\text{SD}(Y) = \sqrt{36} = 6$

Svar: $E(Y) = 13$ , $\text{Var}(Y) = 36$ og $\text{SD}(Y) = 6$

Standardisering av en stokastisk variabel

X

✏️Forventningsverdi og varians for en lineærkombinasjon

En bedrift selger to produkter. Antall solgte enheter per dag er $X$ (produkt A) og $Y$ (produkt B), med $E(X) = 30$ , $E(Y) = 50$ , $\text{Var}(X) = 16$ og $\text{Var}(Y) = 25$ . Antall solgte enheter er uavhengige. Fortjenesten per enhet er 40 kr og 25 kr, og bedriften har faste kostnader på 500 kr per dag. La $F$ være total daglig fortjeneste. Finn $E(F)$ , $\text{Var}(F)$ og $\text{SD}(F)$ .

Fortjeneste:

F = 40X + 25Y - 500

Forventningsverdi:
$\begin{aligned} E(F) &= 40E(X) + 25E(Y) - 500 \\ &= 40 \cdot 30 + 25 \cdot 50 - 500 \\ &= 1200 + 1250 - 500 \\ &= 1950 \text{ kr} \end{aligned}$

Varians (bruker $\text{Var}(aX + bY + c) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$ for uavhengige):
$\begin{aligned} \text{Var}(F) &= 40^2 \cdot 16 + 25^2 \cdot 25 \\ &= 1600 \cdot 16 + 625 \cdot 25 \\ &= 25\,600 + 15\,625 \\ &= 41\,225 \end{aligned}$

Standardavvik:
$\text{SD}(F) = \sqrt{41\,225} \approx 203{,}0 \text{ kr}$

Konstanten $-500$ påvirker forventningen, men ikke variansen.
Svar: $E(F) = 1950$ kr, $\text{Var}(F) = 41\,225$ og $\text{SD}(F) \approx 203$ kr.

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn $\text{Var}(X)$ for fordelingen: $P(X=0) = 0{,}5$ , $P(X=1) = 0{,}3$ , $P(X=2) = 0{,}2$ .

Finn standardavviket $\sigma$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

To uavhengige terninger kastes. La $S = X_1 + X_2$ (summen). Finn $E(S)$ og $\text{Var}(S)$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

En aksje gir avkastningen $X$ med $E(X) = 8\%$ og $\text{SD}(X) = 12\%$ . Du investerer 100 000 kr. La $Y$ = beløpet etter ett år. Finn $E(Y)$ og $\text{SD}(Y)$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Et forsikringsselskap tilbyr en forsikring som koster 1200 kr. Med sannsynlighet 0,02 utbetales 50 000 kr, med sannsynlighet 0,005 utbetales 100 000 kr, ellers utbetales ingenting. Hva er selskapets forventede fortjeneste per forsikring?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Tabellen viser $X$ = antall kunder i en butikk per time: $P(X=0)=0{,}1$ , $P(X=1)=0{,}3$ , $P(X=2)=0{,}3$ , $P(X=3)=0{,}2$ , $P(X=4)=0{,}1$ . Finn $E(X)$ , $\text{Var}(X)$ og $\text{SD}(X)$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Vis at $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ved å utvide definisjonen $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Du har to investeringsalternativer. A: $E(X) = 10\%$ , $\sigma = 5\%$ . B: $E(Y) = 15\%$ , $\sigma = 15\%$ . Beregn variasjonskoeffisienten $\displaystyle CV = \frac{\sigma}{\mu}$ for begge. Hvilken investering har relativt sett minst risiko?

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

En stokastisk variabel $X$ tar verdien $-1$ med sannsynlighet $p$ og verdien $1$ med sannsynlighet $1-p$ . Finn $p$ slik at $\text{Var}(X) = 1$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

X

har

E(X) = 4

\text{Var}(X) = 9

. Finn

E(3X + 5)

\text{Var}(3X + 5)

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

I et spill kaster du en terning. Du vinner $X^2$ kr, der $X$ er antall øyne. Innsatsen er 15 kr. Finn forventet nettogevinst.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Du kaster to terninger og beregner differansen $D = |X_1 - X_2|$ . Sett opp sannsynlighetsfordelingen til $D$ og finn $E(D)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

Løs oppgavene:

En portefølje består av to uavhengige aksjer. Aksje 1: $E(R_1) = 8\%$ , $\sigma_1 = 10\%$ . Aksje 2: $E(R_2) = 12\%$ , $\sigma_2 = 20\%$ . Du investerer 60% i aksje 1 og 40% i aksje 2. Finn forventet avkastning og standardavvik for porteføljen $R = 0{,}6R_1 + 0{,}4R_2$ .

📝Oppgave 16

Løs oppgavene:

La $X$ være antall defekte produkter i en pakke med 10. Fordelingen er: $P(X=0)=0{,}50$ , $P(X=1)=0{,}30$ , $P(X=2)=0{,}15$ , $P(X=3)=0{,}05$ . Beregn $E(X)$ og $\sigma$ .

📝Oppgave 17

Løs oppgavene:

To uavhengige stokastiske variabler har $E(X) = 5$ , $\text{Var}(X) = 3$ , $E(Y) = 8$ , $\text{Var}(Y) = 7$ . Finn $E(X + Y)$ , $\text{Var}(X + Y)$ og $\text{SD}(X + Y)$ .

Finn $E(X - Y)$ , $\text{Var}(X - Y)$ og $\text{SD}(X - Y)$ .

Forklar hvorfor $\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X + Y)$ når $X$ og $Y$ er uavhengige.

📝Oppgave 18

Løs oppgavene:

En kaffemaskin fyller kopper med en mengde kaffe $X$ (i ml) der $E(X) = 200$ og $\text{SD}(X) = 5$ . Kaffebønner koster bedriften $0{,}10$ kr per ml og en kopp selges for 35 kr. La $F$ = fortjeneste per kopp. Finn $E(F)$ og $\text{SD}(F)$ .

Bedriften selger 100 kopper per dag (uavhengige fyllinger). Finn $E(T)$ og $\text{SD}(T)$ for total daglig fortjeneste $T$ .

En elev fikk 72 poeng på matematikk ( $\mu = 60$ , $\sigma = 8$ ) og 85 poeng på norsk ( $\mu = 75$ , $\sigma = 12$ ). Standardiser begge resultatene og avgjør hvilken prøve eleven klarte seg relativt best på.

Husk på eksamen: Bruk alltid den alternative variansformelen

\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

. Den er raskere å beregne enn definisjonen

\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]

fordi du slipper å beregne avvik for hver verdi.

Oppsummering

Sentrale begreper:
- Stokastisk variabel $X$ : variabel styrt av tilfeldigheter
- Sannsynlighetsfordeling: oversikt over $P(X = x)$ for alle verdier
- Forventningsverdi: $E(X) = \sum x_i P(X = x_i)$ - «langtidsgjennomsnittet»
- Varians: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ - mål på spredning
- Standardavvik: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ - spredning i samme enhet som $X$

Regneregler:
- $E(aX+b) = aE(X) + b$
- $\text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X)$
- For uavhengige $X, Y$ : $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ og $\text{Var}(X-Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$
- Standardisering: $\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ har $E(Z) = 0$ og $\text{Var}(Z) = 1$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 7 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.