3.6 Avansert funksjonsanalyse

Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner, likninger med eˣ og ln x, og fullstendig drøfting av funksjoner som kombinerer polynom, eksponential og logaritme.

50 min

23 oppgaver

Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjonerLikninger med e^x og ln xFullstendig drøfting

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 23 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.4Asymptoter og grenseatferd

Brukes videre i

3.9Derivasjon, tangent og momentan vekstfart

Eksponential- og logaritmefunksjoner i S2

I S2 møter vi funksjoner som kombinerer polynomer, eksponentialfunksjoner og logaritmer, for eksempel $(x^2 - 2x)e^{-x}$ og $x^2 \ln x$ . For å drøfte dem må vi kunne derivere $e^x$ og $\ln x$ , bruke kjerneregelen, produktregelen og brøkregelen sammen, og løse likninger der $e^x$ eller $\ln x$ inngår.

Kapitlet starter med derivasjonsreglene og likningene, og går deretter over til fullstendig drøfting.

Den deriverte av $e^x$

Tallet $e \approx 2{,}718$ er valgt slik at grafen til $e^x$ har stigningstall $1$ i punktet $(0, 1)$ . Det betyr at

$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$

$h$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$
$\dfrac{e^h - 1}{h}$	$1{,}0517$	$1{,}0050$	$1{,}0005$

Med definisjonen av den deriverte får vi

\begin{aligned} (e^x)' &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} \\ &= e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \\ &= e^x \cdot 1 = e^x \end{aligned}

$e^x$ er altså sin egen deriverte. Med kjerneregelen, der $u = g(x)$ er kjernen, blir

$\left(e^{g(x)}\right)' = e^{g(x)} \cdot g'(x), \qquad \text{for eksempel} \quad \left(e^{kx}\right)' = k\,e^{kx}$

En eksponentialfunksjon med et annet grunntall skrives om med $a = e^{\ln a}$ :

$a^x = \left(e^{\ln a}\right)^x = e^{x \ln a} \quad \Rightarrow \quad (a^x)' = e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a$

Den deriverte av $\ln x$

$\ln x$ er tallet vi må opphøye $e$ i for å få $x$ , så $e^{\ln x} = x$ for alle $x > 0$ . Vi deriverer begge sider, venstresiden med kjerneregelen:

$e^{\ln x} \cdot (\ln x)' = 1$

$x \cdot (\ln x)' = 1$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Med kjerneregelen blir

$\left(\ln g(x)\right)' = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}, \qquad g(x) > 0$

📜Derivasjonsregler for eksponential- og logaritmefunksjoner

Reglene følger av $(e^x)' = e^x$ , $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ og kjerneregelen.

$f(x)$	$f'(x)$
$e^x$	$e^x$
$e^{kx}$	$k\,e^{kx}$
$e^{g(x)}$	$g'(x)\,e^{g(x)}$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\ln g(x)$	$\dfrac{g'(x)}{g(x)}$

✏️Derivere eksponential- og logaritmefunksjoner

Deriver funksjonene.

a) $f(x) = 3e^{2x}$

b) $g(x) = e^{-0{,}5x^2}$

c) $h(x) = \ln(x^2 + 1)$

d) $k(x) = 5 \cdot 1{,}08^x$

e) $m(x) = x\,e^{-x}$

a)
$f'(x) = 3 \cdot 2e^{2x} = 6e^{2x}$

b)
Kjernen er $u = -0{,}5x^2$ , så $u' = -x$ .
$g'(x) = e^{-0{,}5x^2} \cdot (-x) = -x\,e^{-0{,}5x^2}$

c)
Kjernen er $u = x^2 + 1$ , så $u' = 2x$ .
$h'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

d)
$k'(x) = 5 \cdot 1{,}08^x \cdot \ln 1{,}08$

e)
Produktregelen:
$m'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$

Svar: a) $6e^{2x}$ b) $-x\,e^{-0{,}5x^2}$ c) $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$ d) $5 \cdot 1{,}08^x \ln 1{,}08$ e) $e^{-x}(1 - x)$

Likninger med $e^x$ og $\ln x$

$e^x$ og $\ln x$ er omvendte funksjoner: $\ln(e^x) = x$ og $e^{\ln x} = x$ . Det gir to framgangsmåter:

- $e^x$ alene på én side: ta $\ln$ av begge sider.
- $\ln x$ alene på én side: opphøy $e$ i begge sider.

Står $e^x$ i flere ledd, kan vi ofte sette $u = e^x$ og få en andregradslikning. Står $e^x$ som faktor i et produkt som er lik null, bruker vi at $e^x > 0$ for alle $x$ , så den andre faktoren må være null.

En logaritmelikning krever at alle uttrykk inne i $\ln$ er positive. Kontroller hver løsning mot dette kravet.

✏️Eksponentiallikninger

Løs likningene.

a) $e^x = 5$

b) $3e^{0{,}2x} = 12$

c) $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$

a)
$e^x = 5$
$\ln(e^x) = \ln 5$
$x = \ln 5 \approx 1{,}61$

b)
$3e^{0{,}2x} = 12$
$e^{0{,}2x} = 4$
$0{,}2x = \ln 4$
$x = 5\ln 4 \approx 6{,}93$

c)
Vi setter $u = e^x$ , slik at $e^{2x} = (e^x)^2 = u^2$ .
$u^2 - 3u + 2 = 0$
$(u - 1)(u - 2) = 0$
$u = 1$ eller $u = 2$
$e^x = 1$ gir $x = 0$ , og $e^x = 2$ gir $x = \ln 2$ .

Svar: a) $x = \ln 5 \approx 1{,}61$ b) $x = 5\ln 4 \approx 6{,}93$ c) $x = 0$ eller $x = \ln 2 \approx 0{,}69$

✏️Logaritmelikninger

Løs likningene.

a) $\ln x = 2$

b) $\ln(x + 1) + \ln(x - 1) = \ln 3$

c) $(\ln x)^2 - \ln x - 2 = 0$

a)
$\ln x = 2$
$e^{\ln x} = e^2$
$x = e^2 \approx 7{,}39$

b)
Krav: $x + 1 > 0$ og $x - 1 > 0$ , altså $x > 1$ .
$\ln\big((x + 1)(x - 1)\big) = \ln 3$
$x^2 - 1 = 3$
$x^2 = 4$
$x = 2$ eller $x = -2$
$x = -2$ oppfyller ikke kravet $x > 1$ .

c)
Vi setter $u = \ln x$ .
$u^2 - u - 2 = 0$
$(u - 2)(u + 1) = 0$
$u = 2$ eller $u = -1$
$\ln x = 2$ gir $x = e^2$ , og $\ln x = -1$ gir $x = e^{-1}$ .

Svar: a) $x = e^2 \approx 7{,}39$ b) $x = 2$ c) $x = e^2 \approx 7{,}39$ eller $x = e^{-1} \approx 0{,}37$

✏️Når

e^x

er en faktor

a) Løs likningen $x e^x - 2e^x = 0$ .

b) Antall besøkende på en nettside $t$ uker etter lansering er modellert ved $N(t) = 200t\,e^{-0{,}1t}$ . Finn når antallet besøkende er størst, og hvor mange besøkende det er da.

a)
$e^x(x - 2) = 0$
Siden $e^x > 0$ for alle $x$ , må $x - 2 = 0$ .
$x = 2$

b)
$N'(t) = 200e^{-0{,}1t} + 200t \cdot (-0{,}1)e^{-0{,}1t} = 200e^{-0{,}1t}(1 - 0{,}1t)$
$N'(t) = 0$ gir $1 - 0{,}1t = 0$ , altså $t = 10$ .
$N'(t) > 0$ for $t < 10$ og $N'(t) < 0$ for $t > 10$ , så $t = 10$ gir et toppunkt.
$N(10) = 200 \cdot 10 \cdot e^{-1} \approx 736$

Svar: a) $x = 2$ b) Antallet er størst etter 10 uker, med omtrent 736 besøkende.

Drøfting av sammensatte funksjoner

$f(x) = P(x) \cdot e^{g(x)}$ (polynom ganger eksponentialfunksjon)
- Produktregelen og kjerneregelen
- Faktoriser ut $e^{g(x)}$ , som aldri er null
- Nullpunktene til $f'$ bestemmes av den andre faktoren

$f(x) = \dfrac{P(x)}{e^{g(x)}}$ (polynom delt på eksponentialfunksjon)
- Skriv om til $f(x) = P(x) \cdot e^{-g(x)}$ og bruk produktregelen, eller bruk brøkregelen

$f(x) = \ln g(x)$
- $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$
- Definisjonsmengde: $g(x) > 0$

$f(x) = x^a \ln x$
- Produktregelen
- Se på grenseverdien når $x \to 0^+$

✏️Drøfting av polynomisk-eksponentiell funksjon

Gjennomfør en fullstendig funksjonsdrøfting av $f(x) = (x^2 - 2x) \cdot e^{-x}$ .

D_f = \mathbb{R}

Nullpunkter:
$(x^2 - 2x)e^{-x} = 0$
Siden $e^{-x} > 0$ : $x(x - 2) = 0$
$x = 0$ eller $x = 2$

Asymptoter:
$f(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{e^x} \to 0$ når $x \to \infty$ , så $y = 0$ er horisontal asymptote mot høyre.
$f(x) \to \infty$ når $x \to -\infty$ .

Den deriverte:
$\begin{aligned} f'(x) &= (2x - 2)e^{-x} + (x^2 - 2x)(-e^{-x}) \\ &= e^{-x}(-x^2 + 4x - 2) \end{aligned}$
$f'(x) = 0$ gir $x^2 - 4x + 2 = 0$ , altså $x = 2 - \sqrt{2} \approx 0{,}59$ eller $x = 2 + \sqrt{2} \approx 3{,}41$ .
$f'(x) > 0$ for $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ og $f'(x) < 0$ ellers.

$f(2 - \sqrt{2}) = (2 - 2\sqrt{2})e^{\sqrt{2} - 2} \approx -0{,}46$
$f(2 + \sqrt{2}) = (2 + 2\sqrt{2})e^{-2 - \sqrt{2}} \approx 0{,}16$

Den dobbeltderiverte:
$f''(x) = e^{-x}(x^2 - 6x + 6)$
$f''(x) = 0$ gir $x = 3 - \sqrt{3} \approx 1{,}27$ eller $x = 3 + \sqrt{3} \approx 4{,}73$ , og $f''$ skifter fortegn i begge.
$f(3 - \sqrt{3}) \approx -0{,}26$ og $f(3 + \sqrt{3}) \approx 0{,}11$

Svar: Nullpunkter $x = 0$ og $x = 2$ . Bunnpunkt $\approx (0{,}59;\ -0{,}46)$ og toppunkt $\approx (3{,}41;\ 0{,}16)$ . Vendepunkter $\approx (1{,}27;\ -0{,}26)$ og $\approx (4{,}73;\ 0{,}11)$ . Horisontal asymptote $y = 0$ mot høyre.

✏️Drøfting av logaritmisk funksjon

Drøft $f(x) = x - \ln x$ for $x > 0$ .

D_f = \langle 0, \rightarrow \rangle

Grenseverdier:
Når $x \to 0^+$ , går $\ln x \to -\infty$ , så $f(x) \to \infty$ .
Når $x \to \infty$ , vokser $x$ mye raskere enn $\ln x$ , så $f(x) \to \infty$ .

Den deriverte:
$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$
$f'(x) = 0$ gir $x = 1$ .
$f'(x) < 0$ for $0 < x < 1$ og $f'(x) > 0$ for $x > 1$ .
$f(1) = 1 - \ln 1 = 1$

Den dobbeltderiverte:
$f''(x) = \dfrac{1}{x^2} > 0$ for alle $x > 0$ , så grafen vender den hule siden opp, og det er ingen vendepunkter.

Nullpunkter: Den minste verdien er $f(1) = 1 > 0$ , så $f$ har ingen nullpunkter.

Svar: Bunnpunkt $(1, 1)$ , ingen nullpunkter og ingen vendepunkter. $f$ avtar for $0 < x < 1$ og vokser for $x > 1$ .

✏️Drøfting av sammensatt funksjon med brøk

Drøft $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x}$ for $x > 0$ .

D_f = \langle 0, \rightarrow \rangle

Nullpunkt: $\ln x = 0$ gir $x = 1$ .
$f(x) < 0$ for $0 < x < 1$ og $f(x) > 0$ for $x > 1$ .

Grenseverdier:
Når $x \to 0^+$ , går telleren mot $-\infty$ og nevneren mot $0^+$ , så $f(x) \to -\infty$ .
Når $x \to \infty$ , vokser $x$ mye raskere enn $\ln x$ , så $f(x) \to 0$ . Linja $y = 0$ er horisontal asymptote mot høyre.

Den deriverte (brøkregelen):
$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$
$f'(x) = 0$ gir $\ln x = 1$ , altså $x = e$ .
$f'(x) > 0$ for $0 < x < e$ og $f'(x) < 0$ for $x > e$ .
$f(e) = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}37$

Den dobbeltderiverte:
$f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$
$f''(x) = 0$ gir $\ln x = \dfrac{3}{2}$ , altså $x = e^{3/2} \approx 4{,}48$ , og $f''$ skifter fortegn der.
$f(e^{3/2}) = \dfrac{3}{2e^{3/2}} \approx 0{,}33$

Svar: Nullpunkt $x = 1$ , toppunkt $\displaystyle \left(e, \frac{1}{e}\right) \approx (2{,}72;\ 0{,}37)$ , vendepunkt $\approx (4{,}48;\ 0{,}33)$ og horisontal asymptote $y = 0$ mot høyre.

Vanlige feil ved sammensatte funksjoner

- Glemme kjerneregelen: $(e^{2x})' = 2e^{2x}$ , IKKE $e^{2x}$
- Feil med logaritme: $\displaystyle \left(\ln(x^2)\right)' = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$ , IKKE $\displaystyle \frac{1}{x^2}$
- Definisjonsmengde: $\ln(g(x))$ krever $g(x) > 0$
- Forenkling: Faktoriser ut $e^{g(x)}$ (aldri null) for å finne nullpunkter til $f'(x)$

✏️Fullstendig drøfting av eksamensnær oppgave

Drøft $f(x) = x^2 \ln x$ for $x > 0$ .

D_f = \langle 0, \rightarrow \rangle

Nullpunkt: $x^2 > 0$ for $x > 0$ , så $\ln x = 0$ , altså $x = 1$ .
$f(x) < 0$ for $0 < x < 1$ og $f(x) > 0$ for $x > 1$ .

Grenseverdier: $x^2 \ln x \to 0$ når $x \to 0^+$ , og $f(x) \to \infty$ når $x \to \infty$ .

Den deriverte (produktregelen):
$f'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2\ln x + 1)$
$f'(x) = 0$ for $x > 0$ gir $\ln x = -\dfrac{1}{2}$ , altså $x = e^{-1/2} \approx 0{,}607$ .
$f'(x) < 0$ for $0 < x < e^{-1/2}$ og $f'(x) > 0$ for $x > e^{-1/2}$ .
$f(e^{-1/2}) = e^{-1} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2e} \approx -0{,}184$

Den dobbeltderiverte:
$f''(x) = 2\ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2\ln x + 3$
$f''(x) = 0$ gir $x = e^{-3/2} \approx 0{,}223$ , og $f''$ skifter fortegn der.
$f(e^{-3/2}) = e^{-3} \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{3}{2e^3} \approx -0{,}075$

Svar: Nullpunkt $x = 1$ , bunnpunkt $\displaystyle \left(e^{-1/2}, -\frac{1}{2e}\right) \approx (0{,}607;\ -0{,}184)$ og vendepunkt $\approx (0{,}223;\ -0{,}075)$ .

📝Oppgave 1

Deriver funksjonene.

f(x) = 4e^{3x}

g(x) = e^{x^2 - 1}

h(x) = \ln(3x + 2)

k(x) = 2^x

📝Oppgave 2

Løs likningene. Oppgi eksakt svar og svar med to desimaler.

e^x = 10

2e^{0{,}5x} = 14

\ln x = 3

3\ln x - 1 = 5

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs likningene.

e^{2x} - 5e^x + 6 = 0

\ln x + \ln(x + 2) = \ln 8

(x^2 - 4)e^{-x} = 0

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Vis derivasjonsreglene.

Vis at $\left(x^n e^{ax}\right)' = e^{ax}\left(n x^{n-1} + a x^n\right)$ .

Vis at $\left(x^a \ln x\right)' = x^{a-1}(a \ln x + 1)$ for $x > 0$ .

Vis at $\left(\ln(kx)\right)' = \dfrac{1}{x}$ for $k > 0$ og $x > 0$ , og forklar hvorfor svaret ikke avhenger av $k$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = x^2 e^{-x}$ .

Deriver $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Deriver $f(x) = (x+1)e^{2x}$ .

Deriver $g(x) = x \ln x - x$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Finn nullpunkter, ekstremalpunkter og asymptoter til $f(x) = (x - 1)e^{-x}$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Finn definisjonsmengden til $f(x) = \ln(4 - x^2)$ .

Deriver $f(x) = \ln(4 - x^2)$ og finn eventuelle stasjonære punkter.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Gjennomfør en fullstendig drøfting av $f(x) = xe^{-x^2}$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Drøft $f(x) = x^2 e^{-x}$ for $x \geq 0$ . Finn ekstremalpunkter, vendepunkter og asymptote.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Drøft $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x}$ for $x > 0$ . Finn bunnpunkt og avgjør om $f$ har vendepunkter.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at $f(x) = x - \ln x \geq 1$ for alle $x > 0$ .

Bruk resultatet til å vise at $\ln x \leq x - 1$ for alle $x > 0$ .

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Gjennomfør en fullstendig drøfting av $f(x) = (1 - x^2)e^x$ .

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Drøft $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$ for $x > 0$ . Finn toppunkt og vendepunkt.

📝Oppgave 15

Løs oppgavene:

Drøft $f(x) = e^x - ex$ fullstendig. Vis at $f(x) \geq 0$ for alle $x$ .

📝Oppgave 16

Løs oppgavene:

Drøft $f(x) = x \cdot 2^{-x}$ for $x \geq 0$ . Skriv om til naturlig eksponentialfunksjon og finn toppunkt.

📝Oppgave 17

Løs oppgavene:

Finn tangentlinjen til $f(x) = x \cdot e^x$ i punktet der $x = 0$ .

Finn tangentlinjen til $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ i punktet der $x = 1$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 18

Løs oppgavene:

Funksjonen $f(x) = ax^2 e^{bx}$ har toppunkt i $(2, 4e^{-2})$ . Bestem $a$ og $b$ .

Oppsummering

- $(e^x)' = e^x$ , $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ , og med kjerneregelen $\left(e^{g(x)}\right)' = g'(x)e^{g(x)}$ og $\left(\ln g(x)\right)' = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ .
- Likninger: $e^x$ alene gir $x = \ln(\ldots)$ ; $\ln x$ alene gir $x = e^{(\ldots)}$ . Sett $u = e^x$ eller $u = \ln x$ når uttrykket står i flere ledd.
- $e^{g(x)} > 0$ for alle $x$ , så nullpunktene til $f$ og $f'$ bestemmes av de andre faktorene.
- $\ln x$ er bare definert for $x > 0$ . Kontroller alle løsninger av logaritmelikninger.
- Grenseverdier: $e^x$ vokser raskere enn enhver potens av $x$ , og enhver positiv potens av $x$ vokser raskere enn $\ln x$ . Derfor går $x^a e^{-x} \to 0$ når $x \to \infty$ , og $x^a \ln x \to 0$ når $x \to 0^+$ ( $a > 0$ ).

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Eksponential- og logaritmefunksjoner i S2

Den deriverte av exe^xex

Den deriverte av ln⁡x\ln xlnx

Likninger med exe^xex og ln⁡x\ln xlnx

Drøfting av sammensatte funksjoner

Oppsummering

Den deriverte av $e^x$

Den deriverte av $\ln x$

Likninger med $e^x$ og $\ln x$