3.6 Asymptotisk analyse

Modellene fra virkeligheten

Når forskere modellerer virkeligheten — konsentrasjonen av et legemiddel i blodet, effekten av en kampanje, lønnsomhet per investert krone — ender de sjelden opp med et pent polynom. Modellene kombinerer gjerne flere funksjonstyper: polynomer ganget med eksponentialfunksjoner, logaritmer av sammensatte uttrykk, brøker med eksponentialer. I S2 er drøfting av slike sammensatte funksjoner en typisk eksamensoppgave, og de krever at du behersker kjerneregel, produktregel og brøkregel i kombinasjon.

Heldigvis faller de fleste oppgavene i fire gjenkjennelige typer. Type 1 er $f(x) = P(x) \cdot e^{g(x)}$, polynom ganger eksponential: bruk produktregel pluss kjerneregel, og faktoriser alltid ut $e^{g(x)}$ — som aldri er null — slik at nullpunktene til $f'$ bestemmes av den gjenværende faktoren. Type 2 er $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{e^{g(x)}}$: skriv om til $P(x) \cdot e^{-g(x)}$ og bruk type 1, eller bruk brøkregelen direkte. Type 3 er $f(x) = \ln(g(x))$: kjerneregelen gir $\displaystyle f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$, og definisjonsmengden krever $g(x) > 0$. Type 4 er $f(x) = x^a \cdot \ln x$: produktregel, med spesiell oppmerksomhet på grenseatferden nær $x = 0$.

Et par derivasjonsresultater er verdt å ha i bakhodet: $(e^{g(x)})' = g'(x)e^{g(x)}$, $\displaystyle (\ln g(x))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$, $(a^{g(x)})' = g'(x) \ln a \cdot a^{g(x)}$, $([g(x)]^n)' = n g'(x) [g(x)]^{n-1}$, og de praktiske kombinasjonene $(x^n e^{ax})' = e^{ax}(nx^{n-1} + ax^n)$ og $(x^a \ln x)' = x^{a-1}(a \ln x + 1)$. La oss bruke alt dette på ekte drøftinger.

Legemiddelkurven: polynom ganger eksponential

Vi drøfter $f(x) = (x^2 - 2x)e^{-x}$ — en kurvetype som ligner på hvordan virkningen av en dose bygger seg opp og dør ut.

Definisjonsmengden er $\mathbb{R}$. Nullpunktene: siden $e^{-x} > 0$ alltid, er $f(x) = 0$ bare når $x^2 - 2x = x(x-2) = 0$, altså $x = 0$ og $x = 2$. Fortegnet styres også av polynomfaktoren: positivt for $x < 0$ og $x > 2$, negativt mellom. Grenseatferden: mot høyre er $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 2x}{e^x} \to 0$ fordi eksponentialen vinner — horisontal asymptote $y = 0$. Mot venstre vokser $e^{-x}$ uten grenser, så $f(x) \to \infty$.

Så derivasjonen, med produktregel: $f'(x) = (2x-2)e^{-x} + (x^2-2x)(-e^{-x})$. Nå kommer det viktigste grepet: faktoriser ut $e^{-x}$. Da står vi igjen med $f'(x) = e^{-x}(-x^2 + 4x - 2)$, og siden eksponentialfaktoren aldri er null, løser vi bare $x^2 - 4x + 2 = 0$, som gir $x = 2 \pm \sqrt{2}$. Fortegnsskjemaet viser at $f$ avtar, vokser og avtar igjen: bunnpunkt i $x = 2 - \sqrt{2} \approx 0{,}59$ (med $f \approx -0{,}19$) og toppunkt i $x = 2 + \sqrt{2} \approx 3{,}41$ (med $f \approx 0{,}38$).

Samme teknikk en gang til gir $f''(x) = e^{-x}(x^2 - 6x + 6)$, som er null for $x = 3 \pm \sqrt{3}$ — to vendepunkter, i $x \approx 1{,}27$ og $x \approx 4{,}73$. Hele drøftingen hviler på ett prinsipp: trekk ut den eksponentialfaktoren som aldri kan bli null, og analyser resten som et vanlig polynom.

Logaritmens domene

Neste modelltype inneholder logaritmer, og da er definisjonsmengden alltid første sjekkpunkt: $\ln x$ finnes bare for $x > 0$.

Vi drøfter først $f(x) = x - \ln x$ for $x > 0$. Grenseatferden: når $x \to 0^+$ går $\ln x \to -\infty$, så $f(x) \to +\infty$; når $x \to \infty$ dominerer $x$ over $\ln x$, så $f(x) \to \infty$ der også. Den deriverte er $\displaystyle f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$, som er null i $x = 1$: funksjonen avtar på $(0,1)$ og vokser for $x > 1$, med bunnpunkt $(1, 1)$. Og siden $\displaystyle f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0$ overalt, er funksjonen konveks uten vendepunkter. En elegant konsekvens: minimumsverdien er $1 > 0$, så $f$ har ingen nullpunkter i det hele tatt — likningen $x = \ln x$ har ingen løsning.

Så en brøk: $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x}$, som kan tolkes som «logaritmisk utbytte per enhet». Nullpunkt der $\ln x = 0$, altså $x = 1$. Mot null fra høyre: $\displaystyle \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$; mot uendelig: $\displaystyle \frac{\ln x}{x} \to 0$ fordi polynom slår logaritme — horisontal asymptote $y = 0$. Brøkregelen gir $\displaystyle f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$, som er null når $\ln x = 1$, altså $x = e$. Toppunktet er $\displaystyle (e, \frac{1}{e}) \approx (2{,}72,\ 0{,}37)$ — av alle tall er det $e$ som maksimerer $\displaystyle \frac{\ln x}{x}$. Den andrederiverte $\displaystyle f''(x) = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$ gir vendepunkt der $\displaystyle \ln x = \frac{3}{2}$, altså $x = e^{3/2} \approx 4{,}48$.

Generalprøven: $x^2 \ln x$

Til slutt tar vi en oppgave av ren eksamenstype: drøft $f(x) = x^2 \ln x$ for $x > 0$ — type 4 i katalogen vår, potens ganger logaritme.

Nullpunkter: for $x > 0$ er $x^2 > 0$, så $f(x) = 0$ krever $\ln x = 0$, altså $x = 1$. Fortegnet følger logaritmen: negativt på $(0, 1)$, positivt for $x > 1$. Grenseatferden nær null er det spesielle her: $x^2 \to 0$ mens $\ln x \to -\infty$ — hvem vinner? Den viktige grenseverdien $\lim_{x\to 0^+} x^a \ln x = 0$ for $a > 0$ sier at polynomfaktoren vinner: $f(x) \to 0$. Mot uendelig vokser begge faktorene, så $f(x) \to \infty$.

Derivasjon med produktregel: $\displaystyle f'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2\ln x + 1)$. For $x > 0$ er $f'(x) = 0$ når $\displaystyle \ln x = -\frac{1}{2}$, altså $\displaystyle x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0{,}607$. Funksjonen avtar før og vokser etter, så vi har bunnpunkt i $\displaystyle (\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}) \approx (0{,}607, -0{,}184)$. Den andrederiverte: $f''(x) = 2\ln x + 1 + 2 = 2\ln x + 3$, null når $\displaystyle \ln x = -\frac{3}{2}$, altså $x = e^{-3/2} \approx 0{,}223$, med vendepunkt $\displaystyle (e^{-3/2}, -\frac{3}{2e^3}) \approx (0{,}223, -0{,}075)$.

Dermed har vi en huskeliste for avanserte drøftinger: sjekk definisjonsmengden først (spesielt for logaritmer), faktoriser $f'$ og trekk ut $e^{g(x)}$ der det går, bruk veksthierarkiet $\ln x \ll x^a \ll e^x$ for grenseatferd, og sjekk gjerne symmetri — om $f(-x) = f(x)$ (par funksjon) eller $f(-x) = -f(x)$ (odde). Og husk kjerneregelen i hver eneste derivasjon: $(e^{2x})' = 2e^{2x}$, ikke $e^{2x}$.

Oppsummering: fire typer, én strategi

Forskningsmodellenes funksjoner ser avskrekkende ut, men de faller i fire typer med hver sin angrepsmåte: polynom ganger eksponential ($P(x)e^{g(x)}$ — produktregel pluss kjerneregel, faktoriser ut eksponentialen), polynom delt på eksponential (skriv om med negativ eksponent), logaritme av sammensatt uttrykk ($\ln g(x)$ — derivert $\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}$, krev $g(x) > 0$), og potens ganger logaritme ($x^a \ln x$ — produktregel og grensesjekk nær null).

Strategien for drøfting er alltid: definisjonsmengde først, spesielt for logaritmer der $\ln x$ krever $x > 0$. Faktoriser den deriverte og trekk ut $e^{g(x)}$, som aldri er null, slik at nullpunktene til både $f$ og $f'$ bestemmes av de andre faktorene. Bruk veksthierarkiet $\ln x \ll x^a \ll e^x$ og grenseverdien $\lim_{x\to 0^+} x^a \ln x = 0$ til å finne grenseatferden. Og sjekk symmetri når det er aktuelt.

Slik fant vi at legemiddelkurven $(x^2-2x)e^{-x}$ har ekstremalpunkter i $2 \pm \sqrt{2}$ og dør ut mot asymptoten $y = 0$; at $x - \ln x$ aldri blir null fordi bunnpunktet ligger på høyde 1; at $\displaystyle \frac{\ln x}{x}$ topper seg nettopp i $x = e$; og at $x^2 \ln x$ kryper mot null i origo til tross for logaritmens stup mot $-\infty$. Hver gang var det de samme verktøyene — kjerneregel, produktregel, brøkregel og fortegnsskjema — satt sammen med systematikk. Det er det avansert funksjonsanalyse er: kjente verktøy brukt i riktig rekkefølge.