3.5 Drøfting med parametere | Matematikk S2

Funksjonsdrøfting der funksjonen inneholder parametere.

55 min

19 oppgaver

ParametereGenerell drøftingFamilier av funksjonerParameterbestemmelse

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Fullstendig funksjonsdrøfting

Når y ikke er løst for x

Hittil har vi derivert funksjoner gitt eksplisitt som $y = f(x)$ . Men mange sammenhenger er gitt implisitt - som en ligning der $x$ og $y$ er blandet sammen, for eksempel $x^2 + y^2 = 25$ (en sirkel).

I slike tilfeller bruker vi implisitt derivasjon: vi deriverer begge sider av likningen med hensyn på $x$ , og behandler $y$ som en funksjon av $x$ .

Implisitt derivasjon

x

✏️Derivasjon av sirkellikning

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt fra $x^2 + y^2 = 25$ .

Deriver begge sider med hensyn på

x

$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$

$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

Løs for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ :

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$

Kontroll: For den øvre halvsirkelen $y = \sqrt{25 - x^2}$ : $\displaystyle y' = \frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} = -\frac{x}{y}$ ✓

✏️Implisitt derivasjon med produkter

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt fra $x^2 y + xy^2 = 6$ .

Deriver begge sider med hensyn på

x

. Vi bruker produktregelen:

$\frac{d}{dx}(x^2 y) + \frac{d}{dx}(xy^2) = 0$

$\left(2xy + x^2 \frac{dy}{dx}\right) + \left(y^2 + x \cdot 2y \frac{dy}{dx}\right) = 0$

$2xy + y^2 + (x^2 + 2xy)\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy + y^2}{x^2 + 2xy} = -\frac{y(2x + y)}{x(x + 2y)}$

✏️Tangentlinje ved implisitt derivasjon

Finn tangentlinjen til kurven $x^3 + y^3 = 9$ i punktet $(1, 2)$ .

Steg 1: Sjekk at punktet ligger på kurven:

1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9

✓

Steg 2: Implisitt derivasjon:
$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{y^2}$

Steg 3: Stigningstallet i $(1, 2)$ :
$\frac{dy}{dx}\Big|_{(1,2)} = -\frac{1^2}{2^2} = -\frac{1}{4}$

Steg 4: Tangentlinjen:
$y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{4}$

Relaterte rater

Implisitt derivasjon er grunnlaget for relaterte rater - problemer der flere variable endrer seg over tid og vi kjenner noen av endringsratene.

Fremgangsmåte:
1. Identifiser de variable og skriv opp sammenhengen mellom dem
2. Deriver implisitt med hensyn på tid $t$
3. Sett inn kjente verdier og løs for den ukjente raten

✏️Relaterte rater

En ballong blåses opp slik at volumet øker med $100 \text{ cm}^3/\text{s}$ . Hvor raskt øker radiusen når $r = 10$ cm?

Sammenheng:

\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3

Deriver med hensyn på $t$ :
$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$

Sett inn kjente verdier: $\displaystyle \frac{dV}{dt} = 100$ og $r = 10$ :

$100 = 4\pi (10)^2 \frac{dr}{dt} = 400\pi \frac{dr}{dt}$

$\frac{dr}{dt} = \frac{100}{400\pi} = \frac{1}{4\pi} \approx 0{,}080 \text{ cm/s}$

Glem aldri $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ -faktoren (eller $\displaystyle \frac{dr}{dt}$ etc.) når du deriverer et ledd som inneholder $y$ (eller $r$ ). Uten kjerneregelen blir svaret feil!

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt fra $x^2 + y^2 = 16$ .

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt fra $x^2 - y^2 = 9$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt fra $3x + 2y^3 = 7$ .

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt fra $xy = 10$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn tangentlinjen til $x^2 + y^2 = 25$ i punktet $(3, 4)$ .

Finn tangentlinjen til $x^2 + y^2 = 25$ i punktet $(0, 5)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt fra $e^y = x + y$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt fra $x^2y + xy^3 = 2$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt fra $\ln y + xy = 1$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Finn tangentlinjen til kurven $x^2 + xy + y^2 = 7$ i punktet $(1, 2)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt fra $\displaystyle \sin(xy) = \frac{1}{2}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

En stige på 5 meter lener mot en vegg. Bunnen glir utover med 0,3 m/s. Hvor raskt synker toppen av stigen når bunnen er 3 meter fra veggen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Finn $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}$ implisitt fra $x^2 + y^2 = r^2$ (sirkel med radius $r$ ).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn tangentlinjen til ellipsen $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ i punktet $\displaystyle (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Arealet av en sirkel øker med $10 \text{ cm}^2/\text{s}$ . Hvor raskt øker radiusen når arealet er $50\pi \text{ cm}^2$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Finn alle punkter på kurven $x^2 + xy + y^2 = 3$ der tangentlinjen er horisontal.

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ fra $y^2 = 4x$ (parabel).

Finn tangentlinjen til parabelen $y^2 = 4x$ i punktet $(1, 2)$ .

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Implisitt derivasjon - fremgangsmåte:
1. Deriver begge sider med hensyn på $x$
2. Bruk kjerneregelen: $\displaystyle \frac{d}{dx}[g(y)] = g'(y) \cdot \frac{dy}{dx}$
3. Samle alle ledd med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ på én side
4. Løs for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$

Relaterte rater:
1. Finn sammenhengen mellom variablene
2. Deriver med hensyn på tid $t$
3. Sett inn kjente verdier og løs

Husk: Svaret kan inneholde både $x$ og $y$ - det er helt greit!

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.