3.5 Drøfting med parametere

Når y nekter å stå alene

Se for deg at du jobber med en designoppgave: en sirkelformet rundkjøring skal tegnes inn på et kart, beskrevet ved likningen $x^2 + y^2 = 25$ — en sirkel med radius 5. Du trenger stigningstallet til tangenten i et punkt på sirkelen. Men hvor er funksjonen? Det finnes ingen pen formel $y = f(x)$; likningen blander $x$ og $y$ sammen. Sammenhengen er gitt implisitt.

Hittil har vi derivert funksjoner gitt eksplisitt som $y = f(x)$. Men mange viktige sammenhenger — sirkler, ellipser, kurver i økonomiske modeller — lar seg ikke løse for $y$, eller blir stygge når vi prøver. Løsningen heter implisitt derivasjon: vi deriverer begge sider av likningen med hensyn på $x$, og behandler $y$ som en funksjon av $x$.

Nøkkelregelen er kjerneregelen. Siden $y$ er en funksjon av $x$, må hvert ledd som inneholder $y$ deriveres med et ekstra ledd $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ på slutten: $\displaystyle \frac{d}{dx}[g(y)] = g'(y) \cdot \frac{dy}{dx}$. For eksempel blir $\displaystyle \frac{d}{dx}[y^2] = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$ — ikke bare $2y$. Når alt er derivert, samler vi leddene med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ på én side og løser. Svaret kan inneholde både $x$ og $y$, og det er helt greit: stigningstallet i et punkt på kurven avhenger jo av hvor på kurven du står.

La oss bruke teknikken på sirkelen, på styggere kurver — og til slutt på problemer der tiden selv er den skjulte variabelen.

Sirkelen og de sammensatte kurvene

Vi deriverer sirkellikningen $x^2 + y^2 = 25$ ledd for ledd med hensyn på $x$. Venstre side: $\displaystyle \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$, og $\displaystyle \frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$ ved kjerneregelen. Høyre side: konstanten 25 deriveres til null. Dermed har vi $\displaystyle 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$, og vi løser: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.

Vi kan kontrollere svaret. Den øvre halvsirkelen kan faktisk skrives eksplisitt som $y = \sqrt{25 - x^2}$, og vanlig derivasjon gir $\displaystyle y' = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} = -\frac{x}{y}$ — nøyaktig det samme. Men det implisitte svaret gjelder hele sirkelen på én gang, både øvre og nedre halvdel.

Nå en kurve der eksplisitt løsning er håpløs: $x^2 y + xy^2 = 6$. Her trenger vi produktregelen i begge ledd. Første ledd: $\displaystyle \frac{d}{dx}(x^2 y) = 2xy + x^2\frac{dy}{dx}$. Andre ledd: $\displaystyle \frac{d}{dx}(xy^2) = y^2 + 2xy\frac{dy}{dx}$. Summen er null: $\displaystyle 2xy + y^2 + (x^2 + 2xy)\frac{dy}{dx} = 0$, som gir $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{2xy + y^2}{x^2 + 2xy} = -\frac{y(2x+y)}{x(x+2y)}$.

Den vanligste anvendelsen er tangentlinjer. Finn tangenten til kurven $x^3 + y^3 = 9$ i punktet $(1, 2)$. Først sjekker vi at punktet ligger på kurven: $1 + 8 = 9$. ✓ Implisitt derivasjon gir $\displaystyle 3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$, altså $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{y^2}$. I punktet $(1,2)$ er stigningstallet $\displaystyle -\frac{1}{4}$, og ettpunktsformelen gir tangenten $\displaystyle y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 1)$, det vil si $\displaystyle y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{4}$.

Når tiden er den skjulte variabelen

Implisitt derivasjon er grunnlaget for en hel klasse praktiske problemer: relaterte rater. Tenk deg en værballong som blåses opp før oppskytning, slik at volumet øker med $100$ cm$^3$ per sekund. Hvor raskt øker radiusen i det øyeblikket den er 10 cm? Her endrer flere størrelser seg over tid samtidig — volum og radius — og de er knyttet sammen av en likning. Kjenner vi den ene endringsraten, kan vi finne den andre.

Fremgangsmåten har tre steg. Først identifiserer vi de variable og skriver opp sammenhengen mellom dem: for en kule er $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Så deriverer vi implisitt med hensyn på tiden $t$ — både $V$ og $r$ er funksjoner av $t$, så kjerneregelen gir $\displaystyle \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$. Til slutt setter vi inn de kjente verdiene og løser for den ukjente raten: med $\displaystyle \frac{dV}{dt} = 100$ og $r = 10$ får vi $\displaystyle 100 = 4\pi \cdot 100 \cdot \frac{dr}{dt} = 400\pi\frac{dr}{dt}$, altså $\displaystyle \frac{dr}{dt} = \frac{100}{400\pi} = \frac{1}{4\pi} \approx 0{,}080$ cm/s.

Legg merke til logikken i svaret: volumøkningen er konstant, men jo større ballongen blir, desto langsommere vokser radiusen — de 100 kubikkcentimeterne skal smøres utover en stadig større overflate.

En viktig regel: sett inn tallverdiene etter at du har derivert, aldri før. Deriverer du likningen $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3$, deriverer du en konstant og får null — og hele sammenhengen er borte. Derivasjonen skjer alltid på den generelle likningen.

Oppsummering: derivasjon uten fasit for y

Vi startet med en kurve som nektet å la seg skrive som $y = f(x)$, og fant en teknikk som ikke bryr seg: implisitt derivasjon. Fremgangsmåten er alltid den samme. Deriver begge sider av likningen med hensyn på $x$. Bruk kjerneregelen på alle ledd med $y$: $\displaystyle \frac{d}{dx}[g(y)] = g'(y) \cdot \frac{dy}{dx}$ — hver gang du deriverer noe med $y$ i, henger det en faktor $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ på. Samle så alle ledd med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ på én side og løs. At svaret inneholder både $x$ og $y$, er ikke en feil, men et faktum: Stigningstallet avhenger av hvor på kurven du er, slik $\displaystyle -\frac{x}{y}$ gjorde på sirkelen.

Med produktregelen i tillegg taklet vi kurver som $x^2y + xy^2 = 6$, og vi brukte teknikken til det den oftest brukes til: å finne tangentlinjer, som tangenten $\displaystyle y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{4}$ til kurven $x^3 + y^3 = 9$ i $(1,2)$.

Til slutt lot vi tiden være den underliggende variabelen og fikk relaterte rater: finn sammenhengen mellom størrelsene, deriver implisitt med hensyn på $t$, sett inn kjente verdier og løs for den ukjente raten — slik vi fant at ballongens radius vokste med $\displaystyle \frac{1}{4\pi}$ cm/s. Og husk den gylne regelen: tallene settes inn etter derivasjonen, aldri før. Implisitt derivasjon er et lite grep med stor rekkevidde — den åpner for analyse av alle kurver, ikke bare de som er så vennlige å stille opp som funksjoner.