4.2 Hypergeometrisk og binomisk fordeling | Matematikk S2

Sammenligning av fordelinger for utvalg med og uten tilbakelegging.

55 min

21 oppgaver

Hypergeometrisk fordelingBinomisk fordelingUtvalgTilnærming

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Sannsynlighetsfordelinger

Brukes videre i

4.3Normalfordeling og sentralgrensesetningen

To viktige fordelinger

I dette kapittelet lærer vi om to av de viktigste diskrete sannsynlighetsfordelingene:

1. Hypergeometrisk fordeling - for trekking uten tilbakelegging fra en endelig populasjon
2. Binomisk fordeling - for gjentatte uavhengige forsøk med to mulige utfall

Disse fordelingene brukes i svært mange praktiske situasjoner og er sentrale på S2-eksamen.

Hypergeometrisk fordeling

n

✏️Hypergeometrisk fordeling i praksis

I en klasse med 30 elever er 12 jenter. Det trekkes tilfeldig ut 5 elever til en komite. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 2 av de 5 er jenter?

Vi har:
-

N = 30

(totalt antall elever)
-

M = 12

(antall jenter)
-

n = 5

(antall som trekkes)
-

k = 2

(ønsket antall jenter)

$P(X = 2) = \frac{\binom{12}{2} \cdot \binom{18}{3}}{\binom{30}{5}}$

Beregner binomialkoeffisientene:
$\binom{12}{2} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$

$\binom{18}{3} = \frac{18!}{3! \cdot 15!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{6} = 816$

$\binom{30}{5} = \frac{30!}{5! \cdot 25!} = 142506$

$P(X = 2) = \frac{66 \cdot 816}{142506} = \frac{53856}{142506} \approx 0{,}378$

Svar: Sannsynligheten er ca. 37,8%.

Forventningsverdi: $\displaystyle E(X) = 5 \cdot \frac{12}{30} = 2$ jenter.

Fra hypergeometrisk til binomisk

Hypergeometrisk fordeling gjelder for trekking uten tilbakelegging, der sannsynligheten endrer seg fra trekning til trekning. Men dersom populasjonen er svært stor sammenlignet med utvalget, blir endringen i sannsynlighet neglisjerbar.

Tommelfingerregel: Hvis $n < 0{,}05 \cdot N$ (utvalget er mindre enn 5% av populasjonen), kan vi bruke binomisk fordeling som approksimasjon.

Binomisk fordeling gjelder eksakt når vi trekker med tilbakelegging eller gjør uavhengige forsøk.

Binomisk fordeling

n

✏️Binomisk fordeling - flervalgsoppgave

En flervalgstest har 10 spørsmål med 4 alternativer. En elev gjetter tilfeldig på alle spørsmålene. Finn sannsynligheten for at eleven har:
a) Nøyaktig 3 riktige
b) Minst 5 riktige (som er bestått)

X

= antall riktige.

X \sim B(10, 0{,}25)

a) $P(X = 3)$ :
$P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^7$
$= 120 \cdot 0{,}015625 \cdot 0{,}13348 \approx 0{,}250$

b) $P(X \geq 5)$ :
$P(X \geq 5) = \sum_{k=5}^{10} \binom{10}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{10-k}$

Vi beregner ledd for ledd:
$P(X=5) = \binom{10}{5}(0{,}25)^5(0{,}75)^5 = 252 \cdot 0{,}000977 \cdot 0{,}2373 \approx 0{,}0584$
$P(X=6) \approx 0{,}0162$
$P(X=7) \approx 0{,}0031$
$P(X \geq 8) \approx 0{,}0004$

$P(X \geq 5) \approx 0{,}0584 + 0{,}0162 + 0{,}0031 + 0{,}0004 = 0{,}078$

Forventet antall riktige: $E(X) = 10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5$ (langt fra bestått!).

Svar: Det er ca. 25% sjanse for nøyaktig 3 riktige, og bare ca. 7,8% sjanse for å bestå ved ren gjetting.

📊Utforsk: Binomisk fordeling

Stolpediagrammet viser $P(X = k)$ for $X \sim \text{Bin}(20,\ 0{,}4)$ . Fordelingen har topp nær forventningsverdien $E(X) = np = 8$ . Endre $n$ og $p$ og se hvordan formen nærmer seg en normalfordeling for store $n$ .

✏️Hypergeometrisk vs. binomisk

En boks inneholder 100 lyspærer, og 10 av dem er defekte. Vi trekker 5 pærer. Beregn $P(X = 1)$ med:
a) Hypergeometrisk fordeling (uten tilbakelegging)
b) Binomisk approksimasjon

a) Hypergeometrisk:

N = 100

M = 10

n = 5

k = 1

P(X = 1) = \frac{\binom{10}{1}\binom{90}{4}}{\binom{100}{5}} = \frac{10 \cdot 2555190}{75287520} \approx 0{,}3394

b) Binomisk approksimasjon:
$\displaystyle p = \frac{10}{100} = 0{,}1$ , $n = 5$ .
$P(X = 1) = \binom{5}{1}(0{,}1)^1(0{,}9)^4 = 5 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}6561 = 0{,}3281$

Sammenligning: Den binomiske approksimasjonen ( $0{,}328$ ) er nær den eksakte verdien ( $0{,}339$ ). Siden $n = 5 = 5\%$ av $N = 100$ , er vi akkurat på grensen av tommelfingerregelen.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Beregn $\binom{8}{3}$ .

Beregn $\binom{10}{2}$ og $\binom{10}{8}$ . Hva legger du merke til?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

En kortstokk har 52 kort. Du trekker 5 kort. Hva er sannsynligheten for nøyaktig 2 ess? (Hypergeometrisk)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

En mynt kastes 6 ganger. La $X$ = antall mynt. Finn $P(X = 4)$ .

Finn $E(X)$ og $\text{SD}(X)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

En terning kastes 12 ganger. La $X$ = antall seksere. Finn $P(X = 0)$ og $P(X \geq 1)$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

I en eske med 20 kuler er 5 røde og 15 blå. Du trekker 4 kuler uten tilbakelegging. Finn $P(X = 2)$ der $X$ er antall røde.

Finn $E(X)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Et firma produserer skruer, og 3% er defekte. En pakke inneholder 20 skruer. Hva er sannsynligheten for at pakken inneholder minst én defekt skrue?

Hva er forventet antall defekte skruer per pakke?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

80% av kundehenvendelsene til en nettbutikk fører til salg. Av de neste 8 henvendelsene, finn sannsynligheten for at nøyaktig 6 fører til salg.

Finn sannsynligheten for at alle 8 fører til salg.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

En kvalitetskontroll plukker ut 10 produkter fra et parti med 200 produkter, der 20 er defekte. Bør vi bruke hypergeometrisk eller binomisk fordeling? Begrunn.

Beregn $P(X = 0)$ med begge metoder og sammenlign.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Vis at $E(X) = np$ for $X \sim B(n, p)$ ved å bruke definisjonen $E(X) = \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Lotto: 7 tall trekkes fra 34. Du har 7 tall. Finn sannsynligheten for å få nøyaktig 4 riktige.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn den mest sannsynlige verdien (modus) av $X \sim B(10, 0{,}3)$ . Beregn $P(X = k)$ for $k = 2, 3, 4$ og sammenlign.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En medikamentstudie viser at 70% av pasientene responderer positivt. Av 15 pasienter, finn $P(X \geq 12)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

X \sim B(20, 0{,}4)

. Finn

E(X)

\text{Var}(X)

\text{SD}(X)

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

I en populasjon med 50 dyr er 15 merket. En forsker fanger 10 dyr tilfeldig. Finn sannsynligheten for at nøyaktig 3 er merket, og beregn $E(X)$ og $\text{SD}(X)$ .

📝Oppgave 15

Løs oppgavene:

Hvor mange ganger må du kaste en terning for at sannsynligheten for minst én sekser skal være over 90%?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 16

Løs oppgavene:

Avgjør for hvert tilfelle om det er hypergeometrisk eller binomisk fordeling: (i) Trekke 5 kort fra en kortstokk. (ii) Kaste en mynt 10 ganger. (iii) Velge 3 elever fra en klasse med 25.

Typisk eksamensspørsmål: «Forklar hvorfor dette kan modelleres med binomisk fordeling.» Du må vise at:
1. Det er et fast antall forsøk

n

2. Hvert forsøk har to utfall (suksess/fiasko)
3. Sannsynligheten

p

er konstant
4. Forsøkene er uavhengige

Oppsummering

Hypergeometrisk	Binomisk
Situasjon	Uten tilbakelegging	Uavhengige forsøk
Populasjon	Endelig ( $N$ )	Kan være uendelig
Parameter	$N$ , $M$ , $n$	$n$ , $p$
$P(X=k)$	$\displaystyle \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$	$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
$E(X)$	$\displaystyle n\frac{M}{N}$	$np$
$\text{Var}(X)$	$\displaystyle n\frac{M}{N}\frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}$	$np(1-p)$

Tommelfingerregel: Bruk binomisk approksimasjon når

n < 0{,}05N

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.